1、课 题 22.3.2 实际问题与二次函数 课 型 新授 授课时间 教案号 33知识与能力 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题过程与方法 经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验三维目标情 感 态 度 与 价 值 观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。教学重点 通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型教学难点 利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便课时安排 1 教具 课件 预设教学法 讲授法、讨论法等教学环节 教学
2、内容 预设目标 教师活动 学生活动 课堂生成创设情境、导入新课导语一 函数 y=ax2(a0)的图象是一条_，它的顶点坐标是_，对称轴是_，当 a_0 时，开口向上，当 a_O 时，开口向下创设请导入新课 引入新课：在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱导语二 抛物线 y= 的顶点坐标是_,对称轴是_,开口向_；抛物线 y=-3x2的顶点坐标是_，对称轴是_，开口向_导语三 小乔家门前有一座抛物线形拱桥 如图 263 一10当水面在 L 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4m 水面下降 1 m桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。
3、本节课，我们共同研究，如何运用二次函数解决时间问题。学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言简练直角坐标系求解教学环节 教学内容 预设目标 教师活动 学生活动 课堂生成二、探索问题时，水面宽度增加多少? 二次函数建模思想的应用，初步感知与拱桥有关的问题的解决方法。教师点评学生的答案 建立模型解决问题：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系(2)抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便应用迁移巩固提高例 1 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米(1)如图 26312 所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：(2)在正常水位
4、的基础上，当水位上升 h（米)时，桥下水面的宽度为 d(米)，求出将 d 表示为 h 的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米。求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行 类型用二次函数解决“拱桥类”问题了解到实际问题可借用函数思想方法来解决，培养学生的“转化”思想了解到实际问题可借用函数思想方法来解决，培养学生的“转出示问题【点评】求抛物线的解析式 y=ax2，关键是求 a 的值，抛物线经过点 B(10，-4)代人 y=ax2中可求 a 的值抛物线又经过点 D(x，-4+h)，代人 y=ax2中可求出 x值从而求出
5、d 表示为 h 的函数解析式 ，小组探究尝试解决问题用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意(1)建立恰当的平面直角坐标系注意体会(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式化”思想自主探索、合作交流：根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 yx 22x 。45(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?问题 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时
6、，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少 ?是否会超过 1m?初步感知运用函数的观点看一元二次方程 教师分析：根据已知条件，要求 ED的宽，只要求出 FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出 D 点的横坐标。因为点 D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点 D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标。教师巡视指导。教师分析存在的问题，书写解答得出问题(1) 就是求函数yx 22x 最大值，45问题(2) 就是求如图(2)B 点的横坐标；让学生过程。 完成解答，巩固与提高1、 习题 26.3 第 1、2、3 题2、 多媒体展示练习拓广加深多媒体展示问
7、题回答问题小结1、 实际问题与二次函数2、 例题 1：拱桥问题3、 建立适当的平面直角坐标系小结提高 师生共同完成小结师生共同完成小结板书设计26.3.3 二次函数1 实际问题与二次函数2 拱桥问题3 习题与应用4 小结作业反思 如何利用两个点的坐标求距离这一问题有的同学理解不是很透彻，个人在调动学生的积极性方面略显能力不足，教学语言不是很精练，对每个环节的时间也预计不足，以及课堂的应变能力等，希望通过以后的努力来弥补不足，争取更大的进步。No。34 2014.10.1622.3 实际问题与二次函数练习题 21二次函数 122axy 的图像可能是 （ ）2小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线
8、 的一部分如上右图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 l是（ ）A、4.6m B、4.5m C、4m D、3.5m3如图，正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH,设小正方形 EFGH 的面积为 Y，AE 为 X，则 Y 关于 X 的函数图象大致是 （ ）4如下左图,小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为 t(t0)的 P1 点开始，按点的横坐标依次增加 1 的规律，在抛物线 axy(20) 上向右跳动，得到点 P2、P 3，这时P 1P2P3 的面积为 。5.如上右图是抛物线 21yaxbc和一次函数 2ymxn的图象,观察图象写出
9、 21y 时, x的取值范围 .6. 中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥（图 1） 桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称如图 2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形 ABD8D1 和其上方的抛物线 D1OD8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知跨度 AB44m， A45， AC1=4m， D2的坐标为（ 13， 1.69） ，求：（1）抛物线 D1OD8的解析式；（2）桥架的拱高 OH 图 1图 27. 某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长) ，另外的部分
10、用 30 米的竹篱笆围成，现有两种方案：围成一个矩形(如下左图)；围成一个半圆形(如下右图) 设矩形的面积为 S1 平方米，宽为 x 米，半圆形的面积为 S2 平方米，半径为 r 米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(3)8. 已知抛物线 yax 2bxc 的图象交 x 轴于点 A(x0，0)和点 B(2，0)，与 y 轴的正半轴交于点 C，其对称轴是直线 x1，OC=2OA，点 A 关于 y 轴的对称点为点 D(1) 确定 A、C、D 三点的坐标；(2)求过 B、C、D 三点的抛物线的解析式；(3)若过点(0，3)且平行于 x 轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于 M、N
11、 两点，以 MN 为一边，抛物线上任意一点 P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为 S，写出 S 关于 P 点纵坐标 y 的函数解析式(4)当 x4 时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由参考答案1B 2C 3B 4作 PA x轴， 2B x轴, 3PC 轴,垂足分 别为 A,B,C.由题意得 (,0)1,)(2,0)AtBCt，2 2(,)1,(),()tatta123 31122P PPACPABBCSS梯 形 梯 形 梯 形 a 5， x 6 （1）设抛物线 D1OD8 的解析式为 2yax 将 x=13，y= 1.69 代入，解得 a
12、= 抛物线 D1OD8 的解析式为 y= x2 （2） 横梁 D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m， 点 D1 的横坐标是-18 代入 y= x2，得 y=3.24，又 A45， D 1 C1=AC1=4m OH=3.24+4=7.24m 7解：S 1x(302x) 2x 230x2(x )2 当 x 米时，S 1 取最大值 平方米 由 30r 得 r10 米 S2 r2 3100150 平方米 150S 1S 2 应选择方案 8(1)点 A 与点 B 关于直线 x1 对称，点 B 的坐标是(2，0) 点 A 的坐标是(4，0) 由 tanBAC2 可得 OC8 C(0，8) 点 A 关
13、于 y 轴的对称点为 D 点 D 的坐标是(4，0) (2)设过三点的抛物线解析式为 ya(x2)(x4) 代入点 C(0，8)，解得 a1 抛物线的解析式是 yx 26x8 (3)抛物线 yx 26x8 与过点(0 ，3)平行于 x 轴的直线相交于 M 点和 N 点M(1，3)，N(5，3)， 4 而抛物线的顶点为(3，1)当 y3 时 S4(y3)4y12 当1y3 时 S4(3y)4y12 (4)以 MN 为一边， P(x，y)为顶点，且当 x4 的平行四边形面积最大，只要点 P 到 MN 的距离 h 最大 当 x3，y1 时，h4 S h4416 满足条件的平行四边形面积有最大值 16
14、No。35 2014.10.17第 22 章二次函数单元测试卷 1一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1下列函数不属于二次函数的是 （ ）A.y(x1)(x2) B.y (x1) 2 C. y1 3x2 D. y2(x3) 22x 22. 抛物线 的顶点坐标是 （ ）A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）3. 函数 yx 24x3 图象顶点坐标是 （ ）A.（2，1） B.（2，1） C.（2，1） D.（2， 1）4已知二次函数 )(mxy的图象经过原点，则 m的值为 （ ）A 0 或 2 B 0 C 2 D无法确定5二次函数的 cbxy2
15、图象上有两点(3，4)和(5，4)，则此拋物线的对称轴是直线 （ ）A 1x B 1 C 2x D 3x6函数 y2x 23x4 经过的象限是 （ ）A.一、二、三象限 B.一、 二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限7抛物线 yx 2bx8 的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定为 （ ）A.4 B. 4 C.2 或2 D.4 2或48二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）Aa0 Bb0 Cc0 Dabc09如图，正AOB 的顶点 A 在反比例函数 y (x0)的图象上，则点 B 的坐标为（ ）A(2，0) B( ，0) C(2 ，0) D( ，0)3 3(第
16、 8 题图) (第 9 题图) (第 10 题图)10如图，OAP、ABQ 均是等腰直角三角形，点 P、Q 在函数 的图像上，直角顶点 A、B 均在 x 轴上，则点 B 的坐标为 （ ）A( 12，0) B( 15，0) C(3，0) D( 15，O)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）11抛物线 bxy32的顶点在 y 轴上，则 b的值为 12如图，P 为反比例函数 的图象上的点，过 P 分别向 x 轴和 y 轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为 2，这个反比例函数解析式为_(第 12 题图) (第 13 题图) 13如图所示,在同一坐标系中,作出 23xy
17、2xy的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) 14把抛物线 y cbxa2先向右平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位得到抛物线 22xy，那么 a ， b ，c三、解答题15 （6 分)已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(2，5)，求此二次函数的解析式四、(本题共 2 小题 ，每小题 7 分，满分 14 分)16用长为 20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为 xcm，面积为 ycm2(1)求出 y 与 x 的函数关系式 （2）当边长 x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？18如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度 AB18m.一同学站在门
18、内，在离门脚 B 点 1m 远的 D 处，垂直地面立起一根 1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上 C 处根据这些条件，请你求出该大门 的高 h五、(本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)19. 已知函数 yy 1y 2，y 1与 x 成正比例，y 2与 x 成反比例，且当 x 1 时，y 1；当 x 3 时，y 5求 y 关于 x 的函数关系式20抛物线 682xy（1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2） x取何值时， y随 x的增大而减小？（3） 取何值时， 0； 取何值时， y0； x取何值时， y0 六、 （本大题满分 10 分）21已知抛物线 yax 26x8
19、与直线 y3x 相交于点 A(1，m) （1）求抛物线的解析式；（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到 yax 2的图象？七、 （本大题满分 12 分）22某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度 y(米)与水平距离 x(米)之间的关系式是 yx 22x ，请你寻求：（1）柱子 OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因
20、素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外八、 （本大题满分 14 分）23.如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少24、 （本大题满分 14 分）如图，二次函数 y=x2-x+c 的图象与 x 轴分别交于 A,B 两点，顶点 M 关于 x 轴对称点是 M.（1）若 A(
21、-4，0)，求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形 AMBM的面积；（3）是否存在抛物线 y=x2-x+c，使得四边形 AMBM为正方形，若存在，请求出此抛物线的关系式；若不存在，请说明理由. 第 22 章二次函数答案一、选 择题1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10.B 二、填空题112； 12 ； 13.； 14 1，2，3三、1510m16 设此二次函数的解析式为 4)1(2xay其图象经过点(2，5)， 54)12(a， 1a， 322xxy四、17.（1） 210；（2） 5)(2xy，所以当 x5 时，矩形的面积最大，最大为 25
22、cm218解法一：如图 1，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为 yax 2bx由题意知 B、C 两点坐标分别为 B(18,0)， C(17,1.7)把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式得解得抛物线的解析式为 y0.1x 21.8x0.1(x9) 28.1该大门的高 h 为 8.1m解法二：如图 2，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为 yax 2由题意得 B、C 两点坐标分别为 B(9,h)，C(8,h1.7)把 B、C 两点坐标代入 yax 2得 解得 y0.1x 2.该大门的高 h 为 8.1m说明：此题还可以以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为
23、y0.1x 28.1五、19.解： 提示：设 20 2)(682xxy（1）顶点坐标为（2，2） ，对称轴为直线 x； （2）当 x时， y随 x的增大而减小；（3）当 1或 3时， 0；当 31x时， y0；当 1x或 3时， y0 六、21解：（1）点 A(1,m)在直线 y3x 上，m313把 x1，y3 代入 yax 26x8，求得 a1抛物线的解析式是 yx 26x8（2）yx 26x8(x3) 21顶点坐标为(3,1)把抛物线 yx 26x8 向左平移 3 个单位长度得到 yx 21 的图象，再把 yx 21 的图象向下平移 1 个单位长度(或向下平移 1 个单位再向左平移 3 个
24、单位)得到 yx 2的图象七、22(1)当 x0 时，y ，故 OA 的高度为 1.25 米(2)yx 22x (x1) 22.25，顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是 2.25 米(3)解方程(x1) 22.250,得 B 点坐标为 OB 故不计其他因素，水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在水池外八、23. (1)设抛物线的表达式为 yax 23.5由图知图象过点： (1.5，3.05)y1.5 2 a3.53.05a0.2抛物线的表达式为 y0.2x 23.5(2)设球出手时，他跳离地面的高度为 h m，则球出手时，球的高度为：h1.80.25(h2.05) m，h2.050.2(2.5) 2 3.5,h0.2(m)
