1、http:/ 年江苏省高考压轴卷数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分。本试卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把
2、答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。第卷（必做题，共 160 分）一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1已知集合 1,2,aABb若 12AB,则 为_.来源:Zxxk.Com2.若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是 0)(xRx使 得 a3. 在棱长为 2 的正方体 1CD中，点 O为底面 ABCD的中心，在正方体1BCD内随机取一点 P，则点 到点 的距离大于 1 的概率为 . 4. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 的值为 2ypx263xyp
3、 5. 已知 ， ,则 =_ _.1tan35cos,(0)6已知实数 满足不等式组 ，则 的最小值为 .,xy1xy2xy7. 按下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为 4000. 在样本中记月收入在 ，10,5http:/ 的人数依次为150,2),0,25),03),05)304、 、 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程A6A图，则样本的容量 ；图乙输出的 （用数字作答）nS8.已知直线 m、 n，平面 、 ,给出下列命题:若 ,，且 n，则 若 /,mn，且 /n，则 /若 /，且 ，则 若 ，
4、且 m，则/其中正确的命题的个数为 _.9.若函数 则 f（x）,0)(210)1,0)(2(log)( faxxfa ） 内 恒 有，在 区 间 （的单调递增区间是 .10. 如图2 所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ， 它们是由整数的倒数组成的，第 n行有 个数 且两 端的数均为 1n2 ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ， 136， 142，则第10 行第 4个数（从左往右数）为 11设函数 的图象在 x=1 处的切线为 l，则圆54)(3xfhttp:/ y x OAB（第 12 题）AEDB CG上的点到直线 l 的最短距离为 .28150xy12 如图，在平面直角坐标
5、系 xOy 中， 点 A 为椭圆 E： 12byax（ ）的左顶点， B，C 在椭圆 E 上，若四边形 OABC 为0ba平行四边形，且OAB30 ，则椭圆 E 的离心率等于 .13.当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 _21x21|3xa14. 已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 使得 ，则n765amna、 14mna的最小值是 4mn来源:学科网 ZXXK二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.15.（本小题满分 14 分）已知复数 ,1sin2 zxi,且 2(3cos2) (,)zximR1z（1）若 且 ，求 的值；0（2）设 ，已知当 时， ，试求 的值 来源:学科网
6、()f2cos(4)316 (本小题满分 14 分)如图，已知空间四边形 ABCD中， ,BD， E是AB的中点求证：（1） 平面 CDE；（2 ）平面 CDE平面 （3 ）若 G 为 A的重心,试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF/平面 CDE来源:Zxxk.Com17 （本小题满分 14 分） 如图所示，某市政府决定在以政府大楼 为中心，正北方向和正东方向的马路为 边界Ohttp:/ ， ， 与 之间的夹角为 .OMR45POBM（1）将图书馆底面矩形 的面积 表示成 的函数.ACDS（2）求当 为何值时，矩形 的面积 有最大值？其最大值是多少？(用含 R 的式子表示)18. (本
7、小题满分 16 分) 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，ABxy3xy3线段 的长为 ， 是 的中点AB32P（1 ）求动点 的轨迹 的方程；C（2 ）过点 任意作直线 （与 轴不垂直） ，设 与（1）中轨迹 交于)0,(QlxlC两点，与 轴交于 点若 ， ，证明： 为定值MN、 yRMQRN19 (本小题满分 16 分) 设数列 的通项是关于 x 的不等式 na xn)12(2的解集中整数的个数 .来源:学_科_网 Z_X_X_K（1）求 并且证明 是等差数列；nan（2）设 m、 k、 pN*， m+p=2k，求证： ；mS1pk2（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等
8、差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由ABCDMO PQFhttp:/ （本题满分 16 分）设函数 23(),()ln.xfgx（1）试判断当 的大小关系；0,xg与（2）求证： ；23*(12)31()()neN（3）设 、 是函数 的图象上的两点，且,Axy22(,Byxygx，证明：210()()gg 其 中 为 的 导 函 数 012(,).xhttp:/ 40 分）21. A （选修：几何 证明 选讲）如图，在梯形 中， BC，点 ， 分别ABCDEF在边 ， 上，设 与 相交于点 ，若 ，BCDEAFG， ， 四点共圆，求证： FEB （选修：矩阵与变换
9、） 已知 M= ，试计算1 -23,20MC （选修：坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知圆 和直线sinco:O:l。2)4sin(（1）求圆 和直线 的直角坐标方程；Ol（2）当 时，求直线 与圆 公共点的极坐标。,0lD （选修：不等式选讲）求函数 最大值.142yx22.（本小题满分 10 分）某大楼共 5 层，4 个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在GF EDCBA（第 21A 题）http:/ 又知电梯只在有人下时才停止.（） 求某乘客在第 i层下电梯的概率 )5,432(i ；（）求电梯在第 2 层停下的概率；（）求电梯停下的次数 的数学期望.23.（本小题满分 10 分）
10、设数列 an满足 1 a， n1 n2 a1， * |2RNnMa， ( )当 ( ,2)时，求证： M；()当 (0, 4时，求证： M ；()当 a( 1,)时，判断元素 a与集合 M 的关系，并证明你的结论http:/ 年江苏省高考压轴卷数学试题（参考答案）一、填空题1 2 3 4 5 6 7,2（3，+）（，1）16 2310000 ，60008 9 10 11 12 13 141 )2,(184023132a2二、解答题15. 解：（1） 12z -2sin3cosxmsin23cosx分若 则 得 -40in20xtax分 , 或23x4 或 - - -6 分6（2） 13()si
11、n23cos2(sincos2)fxxxx -8ii)i分当 时，x12http:/ ， ， -12sin()321sin()341sin(2)3410 分 co(4)2co()co()662sin()3 .- -14 分s3217816 证明：（1 ） BCAEB同理， ADEAB又 D 平面 C 5 分（2 ）由（1 ）有 平面又AB 平面 ， 平面 平面 9 分（3 ）连接 AG 并延长交 CD 于 H，连接 EH， 则 21AG，在 AE 上取点 F 使得 21AE，则 GFEH ，易知 GF平面 CDE14 分17解（）由题意可知，点 M 为 的中点，所以 .PQOMD设 OM 于
12、BC 的交点为 F，则 ， .sinBCRcosF. 1cos2ABOD所以 i(si)S 22(sinsin)， . 2(sin1cs2)R24RR(0,4（）因为 ，则 .0,)4 3(,) 所以当 ，即 时，S 有最大值. 28.2max(1)SR故当 时，矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 .8 2(1)R18. 解：（1 ）设 ， ， ),(yxP),(1yA,2yxB 是线段 的中点， 2 分B12.yhttp:/ 分别是直线 和 上的点， 和 AB、 3yx3yx113yx223yx 4 分12,.3xy又 ， 5 分AB 12)()(121yx ，动点 的轨迹 的方程为 8
13、分241yxPC219xy（2 ）依题 意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 l l()kx设 、 、 ，),(3M),(4yN),0(5yR则 两点坐标满足方程组、 .19,2xk消去 并整理，得 ， 10 分y2(1)80k ， 12 分4398x234kx ， MQR),(),1),0(),( 353 yxy即 与 轴不垂直， ，.)1(353yy13xl 1 ，同理 14 分x4 31x334()2x将代入上式可得 16 分4919 解：（ 1）不等式 即xnx)2(20)2(n解得： ，其中整数有 2n-1 个n03 分an由通项公式可得： ，所以数列 是等差数列4 分1nan
14、a（2）由（1）知 ， Sm=m2， Sp=p2， Sk=k22)(S由 w22kpmSkpm 2)(k =0，http:/ 10 分pmS1k2（3）结论成立，证明如下：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，则 ，2)(2)1(11nn adaS )(2)(2 11kpmSkpm，)( 21 dadap 把 代入上式化简得= 0 ，kpmS2 4)(2)(22pm Sm+Sp2 Sk又 =4)(11pma )(12pmpaa)(2)( 21pmk，4)21kak412ka2)(kS pmpmSSkkS)2(故原不等式得证16 分20 （ 1）解：设 ()()0Fxgfx则 23()1x
15、分由 0,=得即 5 分()0,x()gxf（2 ）证明：由（1）知 3ln)2-()1xx令 则 7 分*(),xnNl()nhttp:/ 分23*(12)1()()neN（3 ）证明： ，于是 ， ，0(gx210-=yx210-lnx以下证明 211-所以 16 分01(,).x第卷（附加题，共 40 分）21. A 证明：连结 EF， 四点共圆， 2 分BCFE, ABCEFD ， 180， 180 6 分DAD 四点共圆8 分 FE, 交 于点 G， 10 分GB 解：矩阵 M 的特征多次式为 ，212()40,3f对应的特征向量分别为 和 ，1而 ，所以12202020133()C
16、解：（1 ）圆 ，即sinco:Osinco2圆 的直角坐标方程为： ，即yx2 02yx直线 ，即 则直线的直角坐标方程为：:l)4sin(1ihttp:/ 。1xy0y（2）由 得2x1yx故直线 与圆 公共点的一个极坐标为 。lO)2,(D解：因为 2(12)yxx123x 8 分，当且仅当 时取“ ”号，即当 时，30xmax3y22.解：（） 41)(iF； （） 2567P （） 可取 1、2、3、4 四种值6)(4C； 6421)()(42CP；3)3(42AP； )(4A故 的分别列如下表：1 2 3 4P64641646 7532E23. 证明：（1）如果 a，则 1|2a， M 2 分（2） 当 04 时， n （ ） 事实上，当 1n时， 12a 设 1k时成立（ 2k 为某整数） ，则对 k， 214k http:/ nN *，|a n| 122 ，所以 aM 6 分（3 ） 当 14a时， M证明如下：对于任意 ， 14na，且 21n对于任意 ， 21 1()4naa ， 则 14na 所以， 1()4naa 当 24n时， 12n a ，即 12n，因此 aM.10 分
