1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,第九章 曲线积分 曲面积分 矢量分析初步,习题课,湘潭大学数学与计算科学学院,2,（一）曲线积分与曲面积分,（二）各种积分之间的联系,（三）场论初步,一、主要内容,湘潭大学数学与计算科学学院,3,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,湘潭大学数学与计算科学学院,4,湘潭大学数学与计算科学学院,5,湘潭大学数学与计算科学学院,6,湘潭大学数学与计算科学学院,7,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Gua
2、ss公式,（二）各种积分之间的联系,湘潭大学数学与计算科学学院,8,积分概念的联系,定积分,二重积分,湘潭大学数学与计算科学学院,9,曲面积分,曲线积分,三重积分,曲线积分,湘潭大学数学与计算科学学院,10,计算上的联系,湘潭大学数学与计算科学学院,11,其中,湘潭大学数学与计算科学学院,12,理论上的联系,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,湘潭大学数学与计算科学学院,13,3.三重积分与曲面积分的联系,高斯公式,4.曲面积分与曲线积分的联系,斯托克斯公式,湘潭大学数学与计算科学学院,14,Green公式,Guass公式,Stokes公式之
3、间的关系,推广,推广,湘潭大学数学与计算科学学院,15,梯度,通量,旋度,环流量,散度,（三）场论初步,湘潭大学数学与计算科学学院,16,二、典型例题,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,(一)、曲线积分的计算法,湘潭大学数学与计算科学学院,17,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类
4、曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,湘潭大学数学与计算科学学院,18,例1. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),湘潭大学数学与计算科学学院,19,例2. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,湘潭大学数学与计算科学学院,20,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,湘潭大学数学与计算科学学院,21,思考题解答:,(1),(2),湘潭大学数学
5、与计算科学学院,22,思路:,闭合,非闭,闭合,非闭,补充曲线或用公式,湘潭大学数学与计算科学学院,23,解,湘潭大学数学与计算科学学院,24,解,(如下图),湘潭大学数学与计算科学学院,25,湘潭大学数学与计算科学学院,26,曲面面积的计算法,湘潭大学数学与计算科学学院,27,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,湘潭大学数学与计算科学学院,28,解,由对称性,湘潭大学数学与计算科学学院,29,湘潭大学数学与计算科学学院,30,(二)、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类
6、: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,湘潭大学数学与计算科学学院,31,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,湘潭大学数学与计算科学学院,32,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,湘潭大学数学与计算科学学院,33,例6,解,利用两类曲面积分之间的关系,湘潭大学数学与计算科学学院,34,湘潭大学数学与计算
7、科学学院,35,向量点积法,湘潭大学数学与计算科学学院,36,例7,解,利用向量点积法,湘潭大学数学与计算科学学院,37,湘潭大学数学与计算科学学院,38,解,(如下图),湘潭大学数学与计算科学学院,39,湘潭大学数学与计算科学学院,40,湘潭大学数学与计算科学学院,41,例9.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,湘潭大学数学与计算科学学院,42,例10. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,湘潭大学数学与计算科学学院,43,例11. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取
8、下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,湘潭大学数学与计算科学学院,44,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,湘潭大学数学与计算科学学院,45,例12. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,湘潭大学数学与计算科学学院,46,例13.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,湘潭大学数学与计算科学学院,47,D 的形心,湘潭大学数学与计算科学学院,48,测 验 题,湘潭大学数学与计算科学学院,49,湘潭大学数学与计算科学学院,50,湘潭大学数学与计算科学学院,51,湘潭大学数学与计算科学学院,52,湘潭大学数学与计算科学学院,53,湘潭大学数学与计算科学学院,54,湘潭大学数学与计算科学学院,55,湘潭大学数学与计算科学学院,56,测验题答案,
