1、第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法,栏目链接,1了解数学归纳法的原理及其使用范围 2会用数学归纳法证明一些简单问题 3掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论,栏目链接,栏目链接,1数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在_时成立，这是递推的基础；第二步是假设在_时命题成立，再证明_时命题也成立，这是递推的依据实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限证明时，关键是k1步的推证，要有目标意识 2从试验、观察出发，用不完全归纳法作出_，再用数学归纳法进行_，这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值猜想证明),nn0(n0N*),nk(kn0，kN*),nk1,归
2、纳猜想,严格证明,栏目链接,栏目链接,栏目链接,题型一 证明恒等问题,栏目链接,栏目链接,变 式训 练,栏目链接,所以当nk1时，等式仍然成立 由(1)、(2)可知，对于nN*，等式恒成立 点评：用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证nn0时命题的真假(必不可少)明确从“假设nk时命题正确”到写出“nk1时”命题形式是什么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.,栏目链接,题型二 证明整除问题,例2 求证：
3、an1(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.,栏目链接,由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立 由(1)(2)知，对nN*，命题成立 点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题获证,栏目链接,变 式训 练,2用数学归纳法证明(3n1)7n1能被9整除(nN*),分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a或一个代数式g(n)整除，主要是找到f(k1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k1)f(k)f1(k)af2(k)，就可证得命题成立 证明：(1)当n1时，原
4、式(311)7127，能被9整除，命题成立 (2)假设当nk(k1)时，,栏目链接,变 式训 练,(3k1)7k1能被9整除，则当nk1时， 3(k1)17k1121(k1)77k1 (3k1)(18k27)7k1 (3k1)7k19(2k3)7k， (3k1)7k1和9(2k3)7k都能被9整除， (3k1)7k19(2k3)7k能被9整除， 即3(k1)17k11能被9整除，,栏目链接,即当nk1时命题成立 由(1)(2)可知，对任何nN*命题都成立 分析：本题如果将nk1时，3(k1)17k11变为7(3k1)7k137k16，再去证明37k16能被9整除，困难就大一些，即为了能利用归纳
5、假设，拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，需要观察式子的特点，不能盲目变形，要有目标,栏目链接,题型一 证明几何或数列问题,例3 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)n2n2(nN*)个部分,分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n1)f(n)2n.,栏目链接,有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解 证明：(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立 (2)假设nk(k1)时命题成立，即k个圆抒平面分成f(k)k2k2个部分 则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，,栏目链接,每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2. 当nk1时命题成立 综上(1)(2)可知，对一切nN*命题成立,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,变 式训 练,栏目链接,栏目链接,
