1、第一章 坐标系 2.1.4 圆的渐开线与摆线,数学选修4-4：坐标系与参数方程,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，,渐开线的定义,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。,相应的定圆叫做渐开线的基圆。,思考：动点（笔尖）满足什么几何条件？,渐开线的参数方程,以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。,设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然,点M由角 唯一确定。,渐开线的参数方程,这就是圆的渐开线的参数方程。,渐开线的应用：,由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
2、因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。,在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力.,思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。,思考：圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。,讨论：如何构造摆线的参数方程？,摆线的参数方程,根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。,设圆的半径为r。,所以，摆
3、线的参数方程为：,其他常见类型摆线,例 一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切.当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M(开始时在点A)的轨迹的参数方程.,A,M,C,O,内摆线（星形线） 4:1,B,x,y,D,2011江西理数10 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( ),A,分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半，则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周若小圆转半圈，则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一,N,M,N,M,半圈,一圈,一圈半,两圈,M,N,
