1、圆幂定理,我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。,O,P,A,B,切线长定理,切线与切线长的区别与联系：,（1）切线是一条与圆相切的直线；,（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,1=2,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,1,2,相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。,PAPB=PCPD,切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。,PT2= PAPB,如图，CD是弦，AB
2、是直径，CDAB，垂足为P。 求证：PC2PAPB,相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。,PC2= PAPB,如图，PAB和PCD是O的两条割线。 求证：PAPBPCPD,切割线定理推论（割线定理） 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。,PAPBPCPD,如图，在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC交O于C。求证：PC2PAPB,练习,如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。,练习,如图，C为AB的中点，BCDE是以BC
3、为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H、K。 求证：AHAK=2AC2。,如图，O和O都经过点A、B，PQ切O于P，交O 于Q、M，交AB的延长线于N。 求证：PN2NMNQ,练习,学会用半径加减或加减半径,如图，已知PAB是O的割线，PO14cm，PA4cm，AB16cm。求O的半径。,运动观点看本质,切线长定理 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理,本质一样 圆幂定理,P,A,B,C,D,相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理,PAPB=PCPD PAPB=PCPD PA=PCPD PA=PC,几个定理得统一,统一叙述为：过一点P（无论点P在圆
4、内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D，PAPB=PCPD 。,(1)经过O内或外一点P作两条直线交O于A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先写出这个式子，然后只就图给予证明；,圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值 （等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）,已知：P是O的直径CB的延长线上的一点，PA和O相切于A，若PA15，PB5。（1）求tanABC的值；（2）弦AD使BADP，
5、求AD的长。,如图已知：点C是O外一点，过C作O的切线CB和CD，切点分别为B、D，连BO并延长交O于点E，交CD的延长线于A，若 ADmAE，且 ，求m的值。,3,如图，PA切O于A，割线PBC交O于B、C两点，D为PC的中点，且AD延长线交O于E，又 求证：（1）PA=PD；,已知在RtABC中，C90，A的外角平分线交BC的延长线于D交ABC的外接圆O于E，DF切O于F， 求证：,已知：AB是O的直径，D是BA延长线上的一点，DC切O于点C，CPBD，垂足为P，E是BC上一点，BE:ECPO:PA，tanEPB7/24，BC8，(1)判断线段PE、DC所在直线是否平行，并证明你的结论；(2)求O的直径；,(3)若M、N分别是线段BC、BD上的动点(M与B、C不重合)，且MN/CO，设MNx，四边形MCDN的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域。,已知AC、AB是O的弦，ABAC. (1)如图,能否在AB上确定一点E，使AC2AEAB，说明理由。 (2)如图，在条件(1)的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和O的位置关系，并说明理由；,图,图,(3)在条件(2)的情况下， 如果E是PD的中点， 那么C是PE的中点吗？ 为什么？,
