1、1平方差公式及其应用（含解析）一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1 的个位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 82.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）A. （x+a）（xa） B. （xb）（xb）C. （a+b）（ab） D. （b+m）（mb）3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是 （ ） A. （x-y）（-x+y） B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y）D. （x+y）（-x+y）4.下列各式能用平方差公式计算的是( ) A. (2ab)(2ba) B. C. (ab)(a2b)D. (2x1)(2x
2、1)5.下列各式中能用平方差公式的是（ ）A. （2a3）（2a+3） B. （a+b）（ab）C. （3a+b）（b3a） D. （a+1）（a2）6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（ ） 2A. b -a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. （2a-b）（-2a+b） B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b） D. （-2a-b）（2a+b）8.下列能用平方差公式计算的是（ ） A. （a+b）（ab） B. （x+2）（2+x）C. D. （x2）（x+1）9.若（x+m）2=x
3、2+kx+4 是一个完全平方式，则 k 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 410.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1） D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）11.下列各式中，计算结果为 81x2 的是（ ） A. （x+9）（x9） B. （x+9）（x9）C. （x+9）（x9） D. （x9）（x9）12.为了应用平方差公式计算（x+2y1）（x2y+1），下列变形正确的是（ ） A. x（2y+1）2 B. x+（2y+1）2C. x（2y1）x+（2y1
4、） D. （x2y）+1（x2y）113.下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. （xy）（yx） B. （x2y2）（x2+y2）C. （a+bc）（cb+a） D. （x+y）（xy）314.下列运算结果错误的是（ ）A. （x+y）（xy）=x2y2 B. （ab）2=a2b2C. （x+y）（xy）（x2+y2）=x4y4 D. （x+2）（x3）=x2x615.下列多项式中，与-x-y 相乘的结果是 x2-y2 的多项式是( ) A. y-x B. x-y C. x+y D. -x-y二、填空题16.分解因式： _ 17.分解因式： _ 18.计算：（2mn）（n+2m）=_
5、 19.已知 a2b2=6，ab=2，则 a+b=_ 20.若 x2y2=6，x+y=3，则 xy=_ 21.计算：(2x+5)(2x5)(4+3x)(3x4)=_ 22.分解因式：4m29n2=_ 三、计算题23.计算： （1）（5m6n）（6n5m）； （2）（ x2y2+3m）（3m+ x2y2） 24.计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ 25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（21）得：解：原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）=（221）（22+1）（24+1）=（241）（24+1）=281根据上题求：（2+
6、1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1 的个位数字 26.计算：（1x）（1+x）=1x2 （1x）（1+x+x2）=1x3 （1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想： （1x）（1+x+x2+x3+xn）=_； （2）根据你的猜想进行下列运算： （a）（12）（1+2+22+23+24）=_；（b）（x1）（x99+x98+x2+x+1）=_； （3）计算：2+22+23+2n 四、解答题427.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ） 28.计算： （1）（ ）1+2（2）2-（+3.14）0（ ）3
7、（2）用简便方法计算：12521241264101（0.25）99 29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数例如 4=2202 ， 12=4222 ， 4 和 12 就是奇异数，两个连续正偶数分别用 2k+2 和 k 表示（k 是非负整数） （1）小雷说一个奇异数一定是 4 的倍数，你能说出其中的理由吗？ （2）小华说：“不是所有的 4 倍数都是奇异数”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的 4 的倍数 （3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数若一个美丽数一定是 m 的倍数，m= ；m 的倍数一定 （填是
8、或不是）美丽数；是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由 五、综合题30.化简 （1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)(x16+ y16)； （2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 5答案解析部分一、单选题1. 3（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1 的个位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】C 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（232+
9、1）+1=（241）（24+1）（28+1）（232+1）+1=2641+1=264 ， 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，个位上数字以 2，4，8，6 为循环节循环，644=16，264 个位上数字为 6，即原式个位上数字为 6故选 C【分析】原式中的 3 变形为 221，反复利用平方差公式计算即可得到结果2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）A. （x+a）（xa） B. （xb）（xb）C. （a+b）（ab） D. （b+m）（mb）【答案】C 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：A、B、D 符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；C、两
10、项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算故选 C【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是 （ ） A. （x-y）（-x+y） B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y）D. （x+y）（-x+y）【答案】A 【考点】平方差公式 【解析】6【分析】根据公式（a+b)（a-b)=a2-b2 的左边的形式，判断能否使用【解答】A、由于两个括号中含 x、y 项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A 正确；B、两个括号中，-x 相同，含 y 的项的符号相反，故能使用平方差公式，B
11、错误；C、两个括号中，含 x 项的符号相反，y 项的符号相同，故能使用平方差公式，C 错误；D、两个括号中，含 x 项的符号相反，y 项的符号相同，故能使用平方差公式，D 错误；故选：A4.下列各式能用平方差公式计算的是( ) A. (2ab)(2ba) B. C. (ab)(a2b)D. (2x1)(2x1)【答案】B 【考点】平方差公式 【解析】【解答】能用平方差公式计算的，必须是两项的和与这两项的差的积.故选 B.5.下列各式中能用平方差公式的是（ ）A. （2a3）（2a+3） B. （a+b）（ab）C. （3a+b）（b3a） D. （a+1）（a2）【答案】C 【考点】平方差公式
12、 【解析】【解答】解：A、（2a3）（2a+3）=（2a3）（2a3）=（2a3）2 ， 不能用平方差公式，故本选项错误；B、（a+b）（ab）=（a+b）（a+b）=（a+b）2 ， 不能用平方差公式，故本选项错误；C、（3a+b）（b3a）=（b+3a）（b3a），两多项式的一项互为相反数，一项相等，符合平方差公式，即能用平方差公式，故本选项正确；D、平方差公式的特点是两多项式的一项互为相反数，一项相等，a 和 a 相等，1 和2不互为相反数，不能用平方差公式，故本选项错误；故选 C【分析】提取1 后得出（2a3）（2a3）推出（2a3）2 ， 即可判断 A；提取1 后得出（a+b）（a+
13、b）推出（a+b）2 ， 即可判断 B；根据平方差公式的特点是两多项式相乘，且两多项式的一项互为相反数，一项相等，即可判断 C、D76.计算（a+b）(-a+b)的结果是（ ） A. b -a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 【答案】A 【考点】平方差公式 【解析】解答：（a+b）(-a+b)=（b+a）(b-a)= b -a . 分析：本题考查了平方差公式，掌握运算法则是解答本题的关键.故选 A.7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. （2a-b）（-2a+b） B. （a-2b）（2a+b）C. （2a-b）（-2a-b） D. （-2a-b
14、）（2a+b）【答案】C 【考点】平方差公式 【解析】【分析】两数之和与两数差的积等于这两个数的平方差，据此作答即可【解答】A、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；B、不是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式；C、是两数之和与两数差的积，能使用平方差公式；D、是两数之和与两数差的积，不能使用平方差公式故选 C【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是注意必须是两数之和与两数差的积8.下列能用平方差公式计算的是（ ） A. （a+b）（ab） B. （x+2）（2+x）C. D. （x2）（x+1）【答案】C 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：A、两项都是互为相反数，不符合平
15、方差公式； B、两项都完全相同，不符合平方差公式；C、两项有一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式；D、有一项2 与 1 不同，不符合平方差公式故选 C【分析】根据能用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解89.若（x+m）2=x2+kx+4 是一个完全平方式，则 k 的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4【答案】D 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：（x+m）2=x2+2mx+m2=x2+kx+4 是一个完全平方式，2m=k，m2=4，解得：m=2，k=4，故选 D【分析】
16、利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 k 的值10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. （-a-1）（-a+1）B. （-a-1）（-a+1）C. （-a-1）（-a+1） D. （a-1）（-a-1）E. （a-1）（-a-1）【答案】D 【考点】平方差公式 【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个数的和乘以两个数的差，对各选分析判断即可得解【解答】A、（-a-1)（-a+1)，是-a 与 1 的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；B、（a-1)（-a-1)，是-1 与 a 的和与差的积，符合公式结构，故本选项正确；C、（a-1)（1+a)，是 a 与 1 的和与
17、差的积，符合公式结构，故本选项正确；D、（a+1)（-a-1)，a 与 1 都是相反数，不符合公式结构，故本选项错误故选 D【点评】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键，是基础题，难度不大11.下列各式中，计算结果为 81x2 的是（ ） A. （x+9）（x9） B. （x+9）（x9）C. （x+9）（x9） D. （x9）（x9）【答案】D 【考点】平方差公式 9【解析】【解答】解：81x2=（x9）（x9）或者（9+x）（9x）故选 D【分析】本题是平方差公式的应用，选项 D 中，9 是相同的项，互为相反项是 x 与x，据此即可解答 12.为了应用平方差公式计算（x+2y1）
18、（x2y+1），下列变形正确的是（ ） A. x（2y+1）2 B. x+（2y+1）2C. x（2y1）x+（2y1） D. （x2y）+1（x2y）1【答案】C 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：（x+2y1）（x2y+1）=x（2y1）x+（2y1）， 故选C【分析】根据平方差公式（a+b）（ab）=a2b2 的特点进行计算即可13.下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A. （xy）（yx） B. （x2y2）（x2+y2）C. （a+bc）（cb+a） D. （x+y）（xy）【答案】D 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：A、（xy）（yx）符合平方差公式的特点，能用
19、平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、（x2y2）（x2+y2）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（a+bc）（cb+a）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（xy）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意故选：D【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法14.下列运算结果错误的是（ ）A. （x+y）（xy）=x2y2 B. （ab）2=a2b2C. （x+y）（xy）（x2+y2）=x4y4 D. （x+2）（x3）=x2x6【答案
20、】B 【考点】平方差公式 10【解析】【解答】解：A、（x+y）（xy）=x2y2 ， 正确，不符合题意；B、（ab）2=a22ab+b2 ， 错误，符合题意；C、（x+y）（xy）（x2+y2）=（x2y2）（x2+y2）x4y4 ， 正确，不符合题意；D、（x+2）（x3）=x2x6，正确，不符合题意故选 B【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式法则计算后利用排除法求解15.下列多项式中，与-x-y 相乘的结果是 x2-y2 的多项式是( ) A. y-x B. x-y C. x+y D. -x-y【答案】A 【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：因为（x+y）（x-
21、y）=（-x-y）（y-x）=x2-y2故答案为：A【分析】根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ， 求出代数式.二、填空题16.分解因式： _ 【答案】(x+3)(x-3) 【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：原式=(x+3)(x-3)。故答案为：(x+3)(x-3)【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，因此利用平方差公式分解因式即可。17.分解因式： _ 【答案】【考点】平方差公式 【解析】【解答】 = 故答案为： 【分析】本题考查了用平方差公式法进行因式分解的能力，应用公式的前提是准确认清公式的结构.18.计算：（2mn）（n+2m）=_ 【答
22、案】4m2n2 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：原式=4m2n2 故答案为：4m2n2【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果19.已知 a2b2=6，ab=2，则 a+b=_ 【答案】3 11【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：a2b2=（a+b）（ab）=6，ab=2，a+b=3，故答案为：3【分析】根据平方差公式 a2b2=（a+b）（ab），把 ab=2 代入，求出 a+b 的值.20.若 x2y2=6，x+y=3，则 xy=_ 【答案】2 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：x2y2=6，（x+y）（xy）=6，x+y=3，xy=2，故答案为：2【分析】根据已知第一
23、个等式左边利用平方差公式变形，将第二个等式代入求出 x-y 的值即可.21.计算：(2x+5)(2x5)(4+3x)(3x4)=_ 【答案】5x2-9 【考点】平方差公式 【解析】【解答】(2x+5)(2x5)(4+3x)(3x4)=（4x225）（9x216）=4x2259x2+16=5x2-9故填5x2-9.【分析】先利用平方差公式进行乘法运算，再去括号合并同类项.22.分解因式：4m29n2=_ 【答案】（2m+3n）（2m3n） 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：4m29n2=（2m+3n）（2m3n）故答案为：（2m+3n）（2m3n）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可
24、三、计算题23.计算： （1）（5m6n）（6n5m）； （2）（ x2y2+3m）（3m+ x2y2） 【答案】（1）解：（5m6n）（6n5m）， =（6n）2（5m）2 ， =36n225m212（2）解：（ x2y2+3m）（3m+ x2y2）， =（ x2y2）2（3m）2 ， = x4y49m2 【考点】平方差公式 【解析】【分析】（1）观察可知含 m 的项是符号相反的平方项，含 n 的项是符号相同的平方项，利用平方差公式进行计算即可；（2）观察可知含 m 的项是符号相反的平方项，含xy 的项是符号相同的平方项，利用平方差公式进行计算即可24.计算：（5+1）（52+1）（54+1
25、）（58+1）（516+1）+ 【答案】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ， = （51）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ ，= （5321）+ ，= 【考点】平方差公式 【解析】【分析】本题是平方差公式的应用，把多项式：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ 转化为 （51）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+ = （ 5321）+ 的形式，然后再利用平方差公式计算 （51621）+ = 25.王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（21）得：解：原式=（
26、21）（2+1）（22+1）（24+1）=（221）（22+1）（24+1）=（241）（24+1）=281根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1 的个位数字 【答案】解：原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（241）（24+1）（28+1）（232+1）+1=2641+1=26413264 个位数字是 6，（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1 的个位数字是 6 【考点】平方差公式 【解析】【分析】先变式得出（21）（2
27、+1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1，在依次根据平方差公式进行计算，最后即可得出答案26.计算：（1x）（1+x）=1x2 （1x）（1+x+x2）=1x3 （1x）（1+x+x2+x3）=1x4 （1）请你仔细观察以上运算，作出大胆猜想： （1x）（1+x+x2+x3+xn）=_； （2）根据你的猜想进行下列运算： （a）（12）（1+2+22+23+24）=_；（b）（x1）（x99+x98+x2+x+1）=_； （3）计算：2+22+23+2n 【答案】（1）1xn+1（2）-31；1+x100（3）解：（12）（1+2+22+23+2n）=12n+1 ， 2+2
28、2+23+2n=2n+12， 【考点】平方差公式 【解析】【解答】解：（1）（1x）（1+x+x2+x3+xn）=1xn+1；（2）（a）（12）（1+2+22+23+24）=125=132=31；（b）（x1）（x99+x98+x2+x+1）=（1x）（x99+x98+x2+x+1）=1+x100；故答案为：（1）1xn+1；（2）（a）31；（b）1+x100【分析】（1）根据已知等式猜想即可得到结果；（2）原式各项利用得出的结论计算即可得到结果；（3）原式变形后，利用得出的结论计算即可得到结果四、解答题27.解方程：5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x- ）（x+ ） 【答案】解
29、：5x+6（3x+2）（3x2）54（x ）（x+ ）=2， 5x+6（9x24）54（x2 ）=2，5x=20，x=4 【考点】平方差公式 【解析】【分析】分别利用平方差公式计算，再利用去括号法则去掉括号，然后合并同类项整理出简单的一元一次方程，系数化为 1 即可28.计算： （1）（ ）1+2（2）2-（+3.14）0（ ）3 （2）用简便方法计算：12521241264101（0.25）99 14【答案】（1）解：原式=2+2 -1-27=2+0.5-28=-25.5（2）解：原式=1+4=5 【考点】平方差公式 【解析】【分析】（1）考查负整数次幂的法则 (a 不为 0)，及非零数的
30、0 次幂为 1；（2）运用平方差公式，积的乘方的逆运算进行简便计算.29.如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数例如 4=2202 ， 12=4222 ， 4 和 12 就是奇异数，两个连续正偶数分别用 2k+2 和 k 表示（k 是非负整数） （1）小雷说一个奇异数一定是 4 的倍数，你能说出其中的理由吗？ （2）小华说：“不是所有的 4 倍数都是奇异数”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的 4 的倍数 （3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数若一个美丽数一定是 m 的倍数，m= ；m 的倍数一定 （填是
31、或不是）美丽数；是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由 【答案】（1）解：由题意得：（2k+2）2（2k）2=4（2k+1），所以奇异数一定是 4 的倍数；（2）解：说法正确4 的偶数倍不是奇异数，如 16=4202 不是奇异数；（3）解：m=8；是；不存在因为奇异数一定是 4 的奇数倍，而美丽数是 8 的倍数，即是 4 的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数 【考点】平方差公式 【解析】【分析】（1）根据“奇异数”的定义，只需看能否把 2k+2 和 k 这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判
32、断即可；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可五、综合题30.化简 （1）( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)(x16+ y16)； 15（2）(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 【答案】（1）解：原式=( x2- y2)( x2+ y2)( x4+ y4)(x16+ y16)=( x4- y4)( x4+ y4)(x16- y16)x32- y32（2）解：原式(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(22-1)(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(22-1)(28-1)(28+1)(216+1)(22-1)(28-1) (28+1) (216+1)(22-1)(216-1) (216+1)(22-1)(232-1)(22-1)= (232-1) 【考点】平方差公式 【解析】【分析】（1）根据平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 ， 逐步计算，得到结果；（2）把原式乘以（22-1），再除以（22-1），得到平方差公式的形式，计算出结果.
