1、预习导航课程目标 学习脉络1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件；2会求函数的极值；3会求函数在闭区间上的最值；4能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.1函数的极值(1)已知函数 yf(x )，设 x0 是定义域(a，b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有f(x) f(x0)，则称函数 f(x)在点 x0 处取极大值，记作 y 极大 f(x0)，并把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点如果在 x0 附近都有 f(x)f (x0)，则称函数 f(x)在点 x0 处取极小值，记作 y 极小f(x 0)，并把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点(2)极大值与极小
2、值统称为极值，极大值点与极小值点统称为 极值点思考 1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大
3、值未必大于极小值(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义2求函数 yf( x)极值的步骤第 1 步：求导数 f(x )；第 2 步：求方程 f(x )0 的所有实数根；第 3 步：考察在每个根 x0 附近，从左到右，导函数 f( x)的符号如何变化如果 f( x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果由负变正，则 f(x0)是极小值如果在 f(x) 0 的根 xx 0 的左、右侧， f(x) 的符号不变，则 f(x0)不是极值思考 2 (1)导数为 0 的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于 0 吗？提示：(1)不一定，例如对于
4、函数 f(x)x 3，虽有 f(0)0，但 x0 并不是 f(x)x 3 的极值点，要使导数为 0 的点成为 极值点， 还必须满足其他条件(2)不一定，例如函数 f(x)|x 1|，它在 x1 处取得极小值，但它在 x1 处不可导，就更谈不上导数等于 0 了但对 可导函数来说，极 值点处的导 数值一定等于 0.3函数的最值函数 f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小) 的值点拨 函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性(
5、2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值4求函数 yf( x)在 a，b上的最大(小)值的步骤第 1 步：求 f(x)在开区间(a，b) 内所有使 f( x)0 的点第 2 步：计算函数 f(x)在区间(a，b) 内使 f( x)0 的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小
6、值思考 3 如果函数 f(x)在闭区间a，b 上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数 f(x)在闭区间a，b上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到当 f(x)在闭区间a， b上递增时， f(a)是最小值，f (b)是最大值；当 f(x)在闭区间 a，b上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值点拨 函数 f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与 闭区 间加以区别由于是开区 间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极 值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时， 这个极值也必然是最值 如果在无 穷区间(， )上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值
