1、102第二章平面 解析 几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1 对于数轴上的任意三点 A,B,O,下列关于有向线段的数量关系不恒成立的是 ( )A.AB=OB-OA B.AO+OB+BA=0C.AB=AO+OB D.AB+AO+BO=0解析： AB+AO+BO=AB+BO+AO=AO+AO=2AO,AO 不一定为 0,故 D 项不恒成立.答案： D2 在数轴上 ,E,F,P 的坐标分别为 -3,-1,13,则 EP+PF=( )A.2 B.-2 C.6 D.-6解析： EP+PF=13-(-3)+(-1)-13=16-14=2.答案： A3 点 A(2a,1)与 B(2,a)之间的距离为
2、( )A. (a-1) B. (1-a) C. |a-1| D.5(a-1)25 5 5解析： 由两点的距离公式,可得 A,B 之间的距离为 d(A,B)=|a-1|.(2-2)2+(-1)2=5(-1)2=5答案： C4 已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,- 2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不可能是( )A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3)解析： 设第四个顶点的坐标为(x,y ),然后分情况讨论 .(1)若点(3,- 2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有 ,解得3+52=-1+2,-2+22 =4+2x=9,y=-4,即(9, -4);(2
3、)若(5,2),( -1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);(3)若(3,- 2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故应选 D.答案： D25 已知 ABC 的三个顶点的坐标为 A( ,2),B(0,1),C(0,3),则此三角形的形状是( )3A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形解析： 判断三角形的形状,首先要知道三角形都有哪些形状.按边分:等边三角形,等腰三角形;按角分:锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.所以在判断三角形的形状时,既要考虑到边的情况,也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点的距离公式计算三角形的三
4、条边长.因为|AB|= =2,( 3-0)2+(2-1)2|AC|= =2,( 3-0)2+(2-3)2|BC|= =2,(0-0)2+(1-3)2故ABC 为等边三角形.答案： D6 已知点 A(1,3),B(5,2),点 P 在 x 轴上,则|AP|+|PB|的最小值为( )A.6 B. C. D.541 17 2解析： 如图,作点 A(1,3)关于 x 轴的对称点 A(1,-3),连接 AB 交 x 轴于点 P.可知|AB|即为|AP|+|PB|的最小值,而|AB|= .故|AP|+|PB| 的最小值为 .(5-1)2+(2+3)2=41 41答案： B7 在直线坐标系中有点 A(1),
5、若点 A 负向移动 3 个单位长度到达点 B,则 AB= .向量 与以 B 点为起点,终点坐标为 的向量是相等向量. 解析： 由于 A(1)负向移动 3 个单位长度到达 B 点, 所以 B 点坐标为-2,且向量 的坐标为-3,若以 B 点为起点 ,向量为 -3,则终点坐标应为- 5.答案： -3 -58 已知点 A(5,12),在 x 轴上求一点 P,使点 P 与点 A 的距离等于 13,则满足条件的点为 .3解析： 设点 P 的坐标为( x,0),根据题意,得 =13,解得 x1=0,x2=10.(5-)2+(12-0)2答案： (0,0)或 (10,0)9 已知ABCD 的三个顶点 A(0
6、,0),B(x1,y1),D(x2,y2),则顶点 C 的坐标为 . 解析： 由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定,则点 C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质对角线互相平分,再根据中点坐标公式的逆向应用,即可求出点 C 的坐标.设顶点 C 的坐标为(m,n),AC 与 BD 的交点为 O,则 O 为 AC 和 BD 的中点,根据题意得点 O 的坐标为 ,(2+12 ,2+12 )又因为点 O 为 AC 的中点,所以 ,+02 =2+12,+02=2+12解得 m=x2+x1,n=y2+y1,所以点 C 的坐标为(x 1+x2,y1+y2).答案： (x1+x2,y1+y2)10 如图,
7、等边三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(- ,0),点 B,C 在 y 轴上.3(1)写出 B,C 两点的坐标 ;(2)求 ABC 的面积和周长.解 (1)如题图, 因为 ABC 为等边三角形,|AO|= ,3所以|OC|= 1,|OB|=1,即 B,C 两点的坐标分别为 B(0,-1),C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,所以ABC 的周长为 6,面积为 2 .12 3=3411 河流的一侧有 A,B 两个村庄,如图,两村庄为了发展经济,计划在河上共建一小型水电站供两村使用.已知 A,B 两村到河边的垂直距离分别为 300 m 和 600 m,且两村相距500 m.问:建水电站所需
8、的最省的电线长是多少?解 如图,以河边所在直线为 x 轴,以 AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,300),B(400,600).设 A 关于 x 轴的对称点为 A,则 A(0,-300),且 d(A,B)=100 ,由三角形三边的性质及对称性,知需要的最省的电(400-0)2+(600+300)2 97线长即为线段 AB 的长,因此 ,所需的最省的电线长为 100 m.97 12如图,在ABC 中,C=90,P 为三角形内一点,且 SPAB=SPBC=SPCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2.证明 如图,以 CA 所在的直线为 x 轴,点 C 为原点建立平面直角坐标系,设 C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y). SPCA=SPCB=SPAB, SPCA= SABC.13即 3ay= 3a3b,12 1312 y=b. SPBC= SABC,135即 3bx= 3a3b,12 1312 x=a. 适合条件的点 P 的坐标为(a,b).此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2,|PB|2=(3b-b)2+a2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2,|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2, 结论成立.
