1、1.2.1 平面的基本性质与推论学习目标：1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系 (重点 )3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用 (难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1平面的概念 几何里所说的“平面” ，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的2平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成 45，且横边长等于其邻边长的 2 倍如图 211.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图 211
2、. 图 2113平面的表示法图 211的平面可表示为平面 、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD.4平面的基本性质公理 内容 图形 符号公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，B l，且A， B l公理 2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C 三点不共线存在唯一的 使A，B，C公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P， P l 且 Pl基础自测1思考辨析 (1)三点可以确定一个平面( )(2)一条直线和一个点可以确定一个平面( )(3)四边形是平面图形( )(4)两条相交直线可以确定一个平面( )提示 (
3、1) 不共线的三点确定一个平面(2) 点需在直 线外(3) 空间四 边形不是平面图形 (4)2如图 212 所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为( )图 212A平面 MN B平面 NQPC平面 D平面 MNPQA 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示 为平面 MP.选 A.3如图 213 所示，下列符号表示错误的是( )图 213合 作 探 究攻 重 难图形语言、文字语言、符号语言的相互转化(1)点 P 在直线 a 上，直线 a 在平面 内可记为( )AP a，a BPa，aCPa，a DPa，a(2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图
4、形：解 (1)依题意，P a，a，选 A.(2)点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内；直线 l 在平面 内，直线 m 与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上；直线 l 经过 平面 外一点 P 和平面 内一点 Q.图形分别如图， ，所示 规律方法 三种语言的转换方法1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”. 提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1用
5、符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面 ， 相交于一点 P，且平面 与平面 相交于 PA，平面 与平面 相交于 PB，平面 与平面 相交于 PC；(2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC.解 (1)符号语言表示： P， PA， PB， PC ，图形表示：如图 .(2)符号语言表示：平面 ABD平面 BDCBD，平面 ABC平面 ADCAC ，图形表示：如图.点、线共面问题如图 214 所示，已知直线 abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c ，l 共面. 图 214证明 ab，a，b 确定一个平面 ，la A，lbB， A，
6、B.又Al，Bl，l .bc，b，c 确定一个平面 . 同理可证 l. 于是 b， l ，b，l，即 b， l.又b 与 l 不重合， 与 重合，a，b，c，l 共面规律方法 证明点线共面常用的方法1纳入法：先由部分直 线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内. 2重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知直线 ab，直线 l 与 a，b 都相交，求证：过 a，b，l 有且只有一个平面证明 如图 所示，由已知 ab，所以过 a，b 有且只有一个平面 .设 alA ，blB ，A，B，且 Al，Bl，l .即过 a，b，l 有且只有一个
7、平面点共线与线共点问题探究问题1如图 215，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设 A1C平面 ABC1D1E.能否判断点 E 在平面 A1BCD1 内？图 215提示 如图，连接 BD1， A1C平面 ABC1D1E，EA1C，E平面 ABC1D1.A1C 平面 A1BCD1，E平面 A1BCD1.2上述问题中，你能证明 B，E，D1 三点共线吗？提示 由于平面 A1BCD1 与平面 ABC1D1 交于直线 BD1，又 EBD1，根据公理 3 可知 B，E，D1 三点共 线如图 216，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 M，N ，E，F分别是棱 CD，AB，DD 1，AA 1
8、 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q，求证：D，A， Q 三点共线. 【导学号：07742090】图 216思路探究：欲证 D、A、Q 三点共线，只需说明三点均在平面 AD1 和平面 AC的交线 DA 上即可解 MNEFQ，Q直线 MN，Q直线 EF，又M直线 CD，N直线 AB，CD平面 ABCD，AB平面 ABCD.M、N平面 ABCD，MN 平面 ABCD.Q平面 ABCD.同理，可得 EF平面 ADD1A1.Q平面 ADD1A1，又平面 ABCD平面 ADD1A1AD，Q直线 AD，即 D，A，Q 三点共线规律方法 点共线与线共点的证明方法(1)点共线：证 明多点共线通常利用公理
9、3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内， 证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上(2)三线共点： 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证 两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练3如图 217 所示，四边形 ABCD 中，已知ABCD ，AB ，BC，DC ，AD( 或延长线)分别与平面 相交于 E，F ，G，H，求证：E， F，G ，H 必在同一直线上图 217证明 因为 ABCD，所以 AB，
10、CD 确定平面 AC，因为 ABE，所以 E平面 AC，E，由公理 3 可知，E 必在平面 AC 与平面 的交线上同理 F，G，H 都在平面 AC 与平面 的交 线上，因此 E，F，G，H 必在同一直线上当 堂 达 标固 双 基1下列空间图形画法错误的是( )D 遮 挡 部分应画成虚线故 D 错， 选 D.2下列说法中正确的个数为( )三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点只能确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1 B2 C3 D4C 圆心和 圆上两点若在同一直 线上，可确定无数个平面，故不正确；正确，故选 C.3 “平面 与平面 有一
11、条公共直线 l，且直线 m 在平面 内”用符号语言可表示为_ 【导学号：07742091】 l，且 m 平面 与平面 有一条公共直线 l，记作 l ，直线m 在平面 内，记作 m .4给出下列命题：A，B，C 三点确定一个平面；若直线 a直线 bA，则直线 a 与 b 能够确定一个平面；已知平面 ，直线 l 和点 A，B，若 Al，Bl，且 A，B，则l.其中正确命题的序号是_. 中，只有不共 线 的三点才可以确定一个平面，因此错误；中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此正确；中，由于点 A，B 既在直线 l 上又在平面 内，即直线 l 上的两点在平面 内，所以直 线 l 在平面 内，即 l，因此 正确 综上，可知正确命题的序号是.5如图 218 所示，ABCD，ABB，CDD ，AC E .求证：B，E，D 三点共线图 218证明 因为 ABCD，所以 AB，CD 共面，设为平面 ，所以 AC 在平面 内，即 E 在平面 内而 ABB，CD D，ACE，可知 B，D，E 为平面 与平面 的公共点，根据公理 3 可得，B， D，E 三点共线
