1、有关距离的计算一、点到直线的距离1. 求点 P0(1,2)到下列直线的距离：(1)2xy100； (2)x2； (3)y10.2. 已知点（a，2） （a 0）到直线 l：x-y+3=0 的距离为 1，则 a= 3. 已知点 A（a，6）到直线 3x-4y=0 的距离为 4，则 a= 4. 求过点 P(0,2)且与点 A(1,1)，B(3,1)等距离的直线 l 的方程5.已知直线 l 过点 A(1,2)，且原点到直线 l 的距离为 1，求直线 l 的方程6. 已知点 P(2， 1)，求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程7. 点 P 在直线 3x+y-5=0 上，且点 P 到直线
2、x-y-1=0 的距离为 ，则 P 点坐标为（ ）2A（1，2） B（2，1） C（1，2）或（2，-1） D（2，1）或（-2，1）8. 已知点 ，求 的面积。9. 中， 求 平分线 所在直线的方程ABC3,2,7,1BC、 、 AD10. 已知点 ，若点 在函数 的图象上，则使得 的面积为 的点0,2,ABC2yxABC2的个数为( )CA4 B3 C2 D111. 已知点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 yax b( a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是 ( ) 学 A(0,1) B. C. D.(1 22，12) (1 22，13 13，12)1
3、2. 已知直线 ，则 l1 与 l2 之间的距离为 .1200l:xy,l:xy13. 已知直线 ，则 l1 与 l2 之间的距离为 .123l:xy,l:xy14. 求与直线 3x4y 20 平行且距离为 2 的直线方程15. 到直线 的距离为 的点的轨迹方程是 .210l:xy516. 直线 l1 过点 A(0,1)，l 2 过点 B(5,0)，如果 l1l 2 且 l1 与 l2 的距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程二、最值问题1. 已知 求 的最小值.51260xy， 24xy2. 函数 的最小值为( )A. B. C. D. 3. 求函数 f(x) 的最小值x2 8x 20
4、x2 14. 过点 P（1，2）且与原点 O 距离最大的直线方程是 .5. 已知直线 l 经过直线 l1：2xy50 与 l2：x2y0 的交点(1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值6. 若点 P（x,y）在直线 l：x+2y-3=0 上运动，则 的最小值为 .2xy7. 已知两条互相平行的动直线 l1，l 2,分别过 A（-1，-2） ，B（2，2） ，则 l1，l 2 之间的距离最大值为 ,当 l1，l 2 之间的距离最大值时，直线 l1，l 2 的方程分别为 , .8. 两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(
5、3，1)，并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d. 求出 d 的取值范围？当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程9. 在ABC 中，A(1,0)，B(0，2)，点 C 在抛物线 yx 2 上，求ABC 面积的最小值10. 已知ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、B( m， )、C (4,2)，1m4.当 m 为何值时，ABC 的m面积 S 最大？ 三、应用1. 已知四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A(7,0)，B(2 ，3) ，C(5,6)，D(4,9) ，判断这个四边形是哪种四边形2. 已知ABC 的三个顶点坐标为 A(3,1) ，B(3，3)，C(1,7)，(1
6、)求 BC 边上的中线 AM 的长；(2)证明ABC 为等腰直角三角形参考答案有关距离的计算一、点到直线的距离1. 【解析】(1)由点到直线的距离公式，知 d 2 .2|10|15(2)解法一：把直线方程化为一般式为 x20. 由点到直线的距离公式，得 d 3.2|10|解法二：直线 x2 与 y 轴平行，由图知 d| 12|3.(3)解法一：由点到直线的距离公式，得 d 1.2|10|解法二：直线 y10 与 x 轴平行，由图知 d|2 1|1.2. 3. 4. 解法一：由于点 A(1,1)与 B(3,1) 到 y 轴的距离不相等，所以直线 l 的斜率存在，设为k，又因为直线 l 在 y 轴
7、上的截距为 2，则直线 l 的方程为 ykx2，即 kxy20.由点 A(1,1)与 B(3,1)到直线 l 的距离相等，得 ，解得2|1|k231|kk0 或 k1.故直线 l 的方程是 y2 或 xy20.解法二：当直线 l 过 AB 的中点时，直线 l 与点 A，B 等距离，AB 的中点是(1,1)，又直线 l 过点 P(0,2)，直线 l 的方程是 xy20；当直线 lAB 时，直线 l 与点 A，B 等距离，直线 AB 的斜率为 0，直线 l 的斜率为 0. 故方程为 y2.综上所述，满足条件的直线 l 的方程是 xy20 或 y2.5. 【解析】当直线 l 过点 A(1,2)且斜率
8、不存在时，直线 l 的方程为 x1，原点到直线 l 的距离为 1，满足题意 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线 l 的方程为y2k(x1)，即 kxyk 20.因为原点到直线 l 的距离为 1， 所以 1，解得 k .2|k34所以所求直线 l 的方程为 y2 (x1) ，即 3x4y5 0.34综上所述，所求直线 l 的方程为 x1 或 3x4y50.6. 【解析】过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2 ，1)，可见，过 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)
9、， 即 kxy 2k10.由已知，得 2，解得 k . 此时 l 的方程为 3x4y 100.|k34综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.7. 8. 【解析】设 边上的高为 ，则 。， 边上的高为 就是点 到 的距离。 边所在的直线方程为 ，即 。点 到 的距离因此， 。9. 【解析】设 为 平分线 上任意一点，由已知可求得 边所在直线方程为,MxyADAC， 边所在直线方程为 由角平分线的定义，得5120xyB5120xy或 ，即12,66y51212xyxy或 ，检验可知， 不合题意x610. 【解析】求出 所在直线方程可得 设 ， 到 的距离AB2xy， AB， 2C
10、x， AB为 则有 得 求解方程可得 或d， 12d， 21， 240显然有四个不同解，故选 A20x11. 【解析】选 B 本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力由Error! 消去 x，得 y ，当 a0 时，直线 yaxb 与 x 轴交于点 ，结合a ba 1 ( ba，0)图形知 ，化简得( ab) 2a(a1) ，则 a .12a ba 1(1 ba) 12 b21 2ba0， 0，解得 b .b21 2b 12考虑极限位置，即 a0，此时易得 b1 ，故答案为 B.2212. 213. 略14. 【解析】所求直线
11、与直线 3x4y20 平行，设所求直线方程为 3x4yC0.由两平行直线间的距离公式得 2，即|C2|10.C8 或12.2|所求直线方程为 3x4y 80 或 3x4y120.15. 略16. 直线 l1 过点 A(0,1)，l 2 过点 B(5,0)，如果 l1l 2 且 l1 与 l2 的距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程【解析】当 l1，l 2 的斜率不存在时，即 l1：x 0，l 2：x5 时，满足条件当 l1，l 2 的斜率存在时，设 l1：y kx1，即 kxy10，l 2：yk( x5)，即kx y 5k0，由两条平行直线间的距离公式得 5，解得 k .2|k15此时
12、l1：12x 5y50，l 2： 12x5y600.综上所述，l 1，l 2 斜率不存在时，直线 l1 与 l2 的方程分别为 x0，x5；l 1，l 2 斜率存在时，直线 l1 与 l2 的方程分别为 12x5y50,12x 5y600.二、最值问题1. 【解析】 的最小值是点 到直线 的距离24xy40P， 51260xy25406.13d2. 【答案】C【解析】表示的是 x 轴上动点 到两个定点 的距离和；A ，B 在 x轴的两侧.所以 的最小值就是 A,B 两点间的距离 故选 C学 3. 解：由于 f(x) ，令 A(4,2)，x2 8x 20 x2 1 x 42 0 22 x 02
13、0 12B(0,1)， P(x,0)，则可把问题转化为在 x 轴上求一点 P(x, 0)，使得| PA|PB|取得最小值，作A(4,2)关于 x 轴的对称点 A(4，2) ，连接 AB .由图可直观得出|PA| PB|的最小值为|BA| 5，即 f(x)的最小0 42 1 22值为 5.4. 略 5. 【解析】(1)解法一：由 得交点 B(2,1)250xy当直线斜率存在时，设 l 的方程为 y1k(x2) ，即 kxy12k0. 3. 解得 k . l 的方程为 y1 (x2)， 即 4x3y50.2|51|k4343当直线 l 斜率不存在时，方程为 x2，此时|52|3 也适合，故所求 l
14、 的方程为：x 2，或 4x3y50.解法二：设经过已知直线交点的直线系方程为：(2xy 5)(x2y )0，即(2)x(1 2)y50. 3. 即 22520.22|1解得 2 或 .l 的方程为 4x3y 50，或 x2.1(2)由 解得交点 B(2,1)50xy过点 B 任意作直线 l，设 d 为点 A 到直线 l 的距离，则 d|AB|(仅当 lAB 时等号成立)，d 的最大值为|AB| .106. 略7. 略8. 【解析】 如图，显然有 0d|AB|. 而|AB| 3 .6 32 2 12 10故所求的 d 的变化范围为(0,3 10当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程【解析】
15、由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直而kAB ，2 16 3 13所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为 y23(x6)和 y13(x 3) ，即 3xy200 和 3xy100.9. 【解析】 |AB| ，直线 AB 的方程为 x 1，12 22 5y 2即 2xy20，设 C 点坐标为(a，a 2)，则 C 点到直线 AB 的距离为 d .|2a a2 2|5SABC |a22a2| |(a1) 21| ，12 5|2a a2 2|5 12 12 12所以当 a1 时，ABC 的面积最小，最小值为 .12| |k 10. 【解】 |AC| ，直线 AC 的方程为 ，4
16、12 2 12 10y 12 1 x 14 1即 x3y20.点 B(m， )到直线 AC 的距离 d ，m|m 3m 2|12 32ABC 的面积S |AC|d |m3 2| .12 12 m 12|( m 32)2 14|1m 4，1 2，0 ，0 S .m |(m 32)2 14| 14 18当 ，即 m 时，ABC 的面积 S 最大m32 94三、应用1. 【解析】k AB ，k CD ，k AD3，k BC3，ABCD ，AD BC，且13ABAD，即四边形 ABCD 为矩形|AB|3 ，|AD|3 ，|AB|AD|，即四边形1010ABCD 为正方形2. 【解析】(1)设点 M 的坐标为 (x，y)，因为点 M 为 BC 的中点，所以 x 2，y 2，即点 M 的坐标为(2,2) 3137由两点间的距离公式得 |AM| ，所以 BC 边上的中线 AM 的22316长为 .26(2)证明：根据题意可得，|AB| 2 ，|BC| 2 ，231321376|AC| 2 ，7所以|AB|AC|，且|AB| 2|AC| 2|BC| 2，所以 ABC 为等腰直角三角形 .学
