1、1.1.2 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积学习目标：1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法( 重点)2.会求组合体的表面积与体积(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1柱体、锥体、台体的表面积公式图形 表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积圆柱底面积：S 底 r 2；侧面积：S 侧 2rl ；表面积：S2rl 2r 2圆锥底面积：S 底 r 2；侧面积：S 侧 rl ；表面积：Srl r 2旋转体圆台上底面面积：S 上底 r 2；下底面面积：S 下底 r 2；侧面积：S 侧 (rr)l；表面积：S(r 2r 2r lrl
2、)2.柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式 VSh( S 为底面面积，h 为高)；锥体的体积公式 VError!Sh(S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式 VError!(SS) h.思考：(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？提示 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： S 圆柱侧 2rl Error!S 圆台侧 (rr)lError!S 圆锥侧 rl .(2)柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？提示 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：VShError! VError! (SS)hError!VError!Sh.基础自测1思考辨析(1)多面体的表面积等于各个
3、面的面积之和( )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的( )(3)圆台的高就是相应母线的长( )(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图表面积相等( )提示 (1)(2) 侧面展开 图不一定是等腰梯形(3) 圆台的高是上、下两底面间的距离而不是母线长(4)2正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( )A48 B64 C 16 D96B 设正方体的棱长为 a，则 6a296， a4.其体积 Va 34 364.故选 B.3侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是( )A.Error!a2 BError!a 2C.Error!a2 DError!a 2
4、A 设 正三棱 锥的侧棱长为 b，则由条件知， b2b 2a 2，即 b2Error!a 2，S 表Error!a 23 Error!Error!a2Error!a 2.故选 A.4圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )A15 B30 C12 D36C 设圆锥的高为 h，如 图， 则 h4.所以其体积 VError! ShError! 32412.故选 C.合 作 探 究攻 重 难柱体、棱体、台体的表面积与侧面积(1)(2018全国卷 )已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O 2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12
5、B12 C 8 D10(2)已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为_. (3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 和 8 的正方形，侧面是腰长为 8 的等腰梯形，则该四棱台的表面积为_cm 2.(1)B (2)144 (3)8048 (1)因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆 柱的高为 2，底面 圆的直径 为 2，所以 该圆柱的表面积为 2()2 2212.(2)由题意，得该圆锥的母线长 l10，该圆锥的侧面积为 81080 ，底面 积为 8264 ，该圆锥的表面积为 8064144.(3)如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1
6、中，过 B1 作 B1FBC，垂足为 F，在 RtB1FB 中，BF Error!(84)2，B 1B8，故 B1F2，所以 S 梯形 BB1C1CError!(84)212，故四棱台的侧面积 S 侧 41248，所以 S 表 4844888048.规律方法 空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面 积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧 面积与底面圆的面积之和跟踪训练1若圆锥的侧面展开图是圆心角为 180，半径为 4 的扇形，则这个圆锥的表面积是_. 12 设圆锥的底面半径
7、为 r，则 2r4，r 2，圆锥的表面积为Sr 2Error!4 24 Error! 1612.2圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则圆台的表面积为( )A81 B100C168 D169C 圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为 R，则 它的母线长为 l5r10，所以 r 2，R8.故 S 侧 (R r)l(82)10100 ，S 表 S 侧 r 2 R21004 64168.柱体、锥体、台体的体积(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16，则圆锥的体积是( )AError! BError!C64 D128(2)棱台的上、下底面面积分别是 2,
8、4，高为 3，则该棱台的体积是( )A186 B62C24 D18(3)如图 131 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，过顶点 B，D，A 1 截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为_图 131思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；(2)直接利用公式求体积即可；(3)正方体的体积减去锥体体积即可(1)A (2)B (3)Error!a3 (1)设圆锥 的底面半径为 r，母线长为 l，圆锥的 轴截面是等腰直角三角形，2r，即 l r，由题意得，侧面积 S 侧 rlr 216 ，r4.l 4，高 h4.圆锥的体 积 VError!ShError! 424Err
9、or!，故选 A.(2)VError! (SS)hError!(24)362.故选 B.(3)V 三棱锥 AABDError!S ABDAAError!Error!a 2a Error!a3.故剩余部分的体积 VV 正方体 V 三棱锥 AABDa 3Error!Error! a3.规律方法 求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体 补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积提醒：求几何体的体积时，要注意利用好几何体
10、的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积跟踪训练3若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为( ) A3 BError!C DError!B 设圆锥底面圆的半径为 r，则圆锥的高为 r.由题意，得Error! (2r)2，得r1，所以该圆锥的体积 VError!1 2Error!.4已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，4 ，侧面积是 6，则这个圆台的体积是_Error! 设圆台的上、下底面半径分 别为 r 和 R，母线长为 l，高为 h，则 S 上r 2 ，S 下 R 24， r1，R2，S 侧 ( rR )l6， l2， h， V
11、Error!(1 22 212)Error! .组合体的表面积和体积如图 132 所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm，高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，图 132高为 2 cm，现从中间挖去一个直径为 2 cm 的圆柱，求此几何体的体积解 V 六棱柱 Error! 426248(cm 3)，V 圆柱 3 2327(cm 3)，V 挖去圆柱 1 2(32)5(cm 3)，此几何体的体积：VV 六棱柱 V 圆柱 V 挖去圆柱(48 22)(cm3)规律方法 1求组合体的表面积和体积的三个基本步骤：(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么(2)根据组
12、合体的组成形式设计计算思路(3)根据公式计算求值2求组合体的表面积和体积的解题策略：(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面的重合对组合体表面积的影响(2)对于从基本几何体中通过切挖得到的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化跟踪训练5.如图 133 所示，ABC 中，AC3，BC4，AB5，以 AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积图 133解 过 C 点作 CDAB 于点 D.如图所示， ABC 以 AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥， 这两个 圆锥的高的和为 AB5，底面半径 DCError!Error!，故 S 表
13、 DC( BCAC)Error! .当 堂 达 标固 双 基1若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为( )A27 cm 3 B60 cm 3C64 cm3 D125 cm 3B V3 4560 cm 3，选 B.2圆台的体积为 7，上、下底面的半径分别为 1 和 2，则圆台的高为( )A3 B4C5 D6A 由 题 意， VError!(24)h7，所以 h3. 选 A.3已知正四棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此棱锥的侧面积为( )A6 B12 C24 D48D 正四棱 锥的斜高 h4，S 侧 4Error!6448.4已知三棱锥 SABC 的棱长均为 4，则该三棱锥的体积是_. Error! 如图，在三棱锥 SABC 中，作高 SO，连接 AO 并延长 AO 交 BC 于点 D，则 AOError!4Error!Error! .在 RtSAO 中，SO Error!Error!，所以VError! Error!Error!42Error!.5如图 134 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段AA1，B 1C 上的点，求三棱锥 D1EDF 的体积图 134解 VD 1EDFVFDD 1EError!S D1DEABError!Error!111Error! .
