1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1 数 列2.1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念 .2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.知识点一 数列及其有关概念思考 1 数列 1，2，3 与数列 3，2，1 是同一个数列吗？答案 不是.顺序不一样.思考 2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？答案 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.梳理 (1)按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项.数列中的每一项都和
2、它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ，第 2 项，第 n 项，.(2)数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n，简记为 an.(3)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做 无穷数列.(4)按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列.知识点二 通项公式思考 1 数列 1，2，3，4，的第 100 项是多少？你是如何猜的？答案 100.由前四项与它们的序号相同，猜第 n 项 ann，从而第 100 项应为 100.高考资源网（） 您身
3、边的高考专家思考 2 a n(1) n+1 与 ansin ，nN 是否表示同一个数列？( 2 n)答案 是，它们都表示数列 1，1，1，1，.梳理 如果数列的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个函数式 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一.知识点三 数列与函数的关系思考 数列a n用表格形式给出如下：n 1 2 3 4 5 an 1 12 13 14 15 在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n1，2，3，4，5.这些点都在哪个函数图象上？答案 这些点都在 y 的图象上.1x梳理 如图
4、，数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 1，2，n)为定义域的函数 anf(n) ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.不同之处是定义域，数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.高考资源网（） 您身边的高考专家因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示.1.数列 1，1，1是无穷数列.( )2.有些数列没有通项公式.( )3.数列也可以看作一个函数，其项就是项数的函数.( )类型一 数列的概念及分类例 1 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1， ， ，1
5、3 132 133B.sin ，sin ，sin ，sin ，13 213 313 413C.1， ， ， ，12 13 14D.1，2，3，4，30答案 C解析 A 是无穷递减数列；B 是无穷摆动数列；D 是有限数列.反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.(2)数列单调性的判断判 断 数 列 的 单 调 性 ， 则 需 要 从 第 2 项 起 ， 观 察 每 一 项 与 它 的 前 一 项 的 大 小 关 系 ， 若 满 足anan1 ，则是递减数列；若满足 ana n1
6、，则是常数列；若 an与 an1 的大小不确定时，则是摆动数列.跟踪训练 1 下列数列：1，2，2 2，2 3，2 63； 1，0.5，0.5 2，0.5 3，；0，10，20，30，1000； 2，4，6，8，10，；高考资源网（） 您身边的高考专家1，1，1，1，1，； 7，7，7，7，； ， ， ，.1319 127 181其中有穷数列是，无穷数列是，递增数列是，递减数列是，摆动数列是，常数列是.(填序号)答案 类型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例 2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)1， ， ；(2) ，2，8；(3)9 ，99，999，99
7、99；(4)2 ，0，2，0.1213 14 12 92解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an ，nN . 1n+1n(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： ， ，124292162所以它的一个通项公式为 an ，nN .n22(3)各项加 1 后，变为 10，100，1000，10000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an10 n1，nN .(4)这个数列的前 4 项构成一个奇数项是 2，偶数项是 0 的数列，所以它的一个通项公式为an(1) n+11，nN .反思
8、与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将 an表示为 n 的函数关系.跟踪训练 2 写出下列数列的一个通项公式：(1)3，5，9，17，33，；(2) ， ， ，；12347815163132(3) ，1， ， ， ， ，.23 107 179 2611 3713解 (1)3 可看作 211，5 可看作 221，9 可看作 231， 17 可看作 241，33 可看作高考资源网（） 您身边的高考专家251，.所以 an2 n1，nN .(2)每 一 项 的 分
9、 子 比 分 母 小 1， 而 分 母 组 成 的 数 列 为 21， 22， 23， 24， ， 所 以an ， nN .2n 12n(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式( 1) n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第 3 项到第 6 项可见，分母分别由奇数 7，9，11，13 组成，而分子则是321，4 21，5 21，6 21，按照这样的规律，第 1，2 两项可分别改写为 ，12 12 1，22 122 1所以 an ， nN . 1n+1n2 12n 1类型三 数列通项公式的应用命 题 角 度 1 考 查 对 应 关 系例 3 已知数列a n的通项公式 an ，n N .
10、1nn 12n 12n 1(1)写出它的第 10 项；(2)判断 是不是该数列中的项.233解 (1)a 10 . 110111921 11399(2)令 ，n 12n 12n 1 233化简得 8n233n350，解得 n5 .(n 78舍 去 )当 n5 时，a 5 ，233 233所以 不是该数列中的项.233引申探究高考资源网（） 您身边的高考专家对于本例中的a n.(1)求 an1 ；(2)求 a2n.解 (1)a n1 . 1n+1n 1 12n 1 12n 1 1 1n+1n 22n 12n 3(2)a2n . 12n2n 122n 122n 1 2n 14n 14n 1反思与感
11、悟 在通项公式 anf(n)中，a n相当于 y，n 相当于 x.求数列的某一项，相当于已知 x 求 y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知 y 求 x，若求出的 x 是正整数，则 y 是该数列的项，否则不是.跟踪训练 3 已 知 数 列 an的 通 项 公 式 为 an (n N )， 那 么 是 这 个 数 列 的 第 _1nn 2 1120项.答案 10解析 ，1nn 2 1120n(n2) 10 12，n10.命 题 角 度 2 考 查 单 调 性 、 最 值例 4 已知函数 f(x) ，设 anf (n)(nN ).x 1x(1)求证：a n0.因此 ann1，所以 an1 a n
12、0，即 an1 an，所以a n是递增数列.高考资源网（） 您身边的高考专家反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是 N 或 N 的子集1，2，n 这一约束条件.跟踪训练 4 数列a n的通项公式 an(n1) n(nN )，写出数列的第 7 项，第 8 项，(1011)第 10 项，并求出数列中的最大项.解 an(n1) n，(1011)a7 8 7， a89 8，a 1011 10，(1011) (1011) (1011)an中每一项都是正数.令 1(n2，nN )，anan 1即 1，整理得 ，解得 n10，n 1(1011)nn(1011
13、)n 1 n 1n 1110即 a1a11a12，数列 an从第 1 项到第 9 项递增，从第 10 项起递减，即数列 an先递增，后递减.可知 a9a 10 最大.10101191.下列叙述正确的是( )A.数列 1，3，5，7 与 7，5， 3，1 是相同的数列B.数列 0，1，2，3，可以表示为 nC.数列 0，1，0，1，是常数列高考资源网（） 您身边的高考专家D.数列 是递增数列nn 1答案 D解析 由数列的通项 an 1 知，当 n 的值逐渐增大时， 逐渐增大，即nn 1 1n 1 1n 1an逐渐增大，所以数列 是递增数列，故选 D.nn 12.数列 2，3，4，5，的一个通项公
14、式为( )A.ann，nN B.ann1，nN C.ann2，nN D.an2n，nN 答案 B解析 这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以它的一个通项公式为 ann1，nN .3.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，3，5，7，9，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)0，1，0，1，.解 (1)数列各项的绝对值为 1，3，5，7，9，是连续的正奇数，考虑 (1) n+1 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为 an(1) n+1(2n1)，nN .(2)将数列变形为 ， ， ，所以该数列的一个通项公式为 an89(1 110) 89(1 1100) 8
15、9(1 11000) 89，nN .(1 110n)(3)anError!或 an (nN )或 an (nN ).1 1n2 1 cosn24.已知数列a n的通项为 an2n 229n3，求数列a n中的最大项.解 由已知，得 an2n 229n32 2 .(n 294) 8658由于 nN ，故当 n 取距离 最近的正整数 7 时，a n取得最大值 108.294数列 an中的最大项为 a7 108.1.数列的概念的理解高考资源网（） 您身边的高考专家(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上.数列可以看成是以正整数集 N 或它的有限子集1，2，3，n为定义域的函数，即
16、自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.(2)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于 f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于 f(n)中的 n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.可重复性：数列中的数可以重复.有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2.数列的通项公式(1)如果知道了数列的通项公式，那么依次用 1，2，3， 去替代公式中的 n 就可以求出这个数列的各项
17、；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.(3)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一.(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一.一、选择题1.已知数列a n的通项公式为 an ，nN ，则该数列的前 4 项依次为( )1 1n+12A.1，0，1，0 B.0，1，0，1C. ，0，0 D.2，0，2，012 12高考资源网（） 您身边的高考专家答案 A解析 当 n 分别等于 1，2，3，4 时，a 11，a 20，a 3
18、1，a 40.2.已知数列a n的通项公式为 ann 2n50，nN ，则8 是该数列的( )A.第 5 项 B.第 6 项C.第 7 项 D.非任何一项答案 C解析 解 n2n508，得 n7 或 n6(舍去).3.数列 1，3，6，10，的一个通项公式是( )A.ann 2n1，nN B.an ，nN nn 12C.an ，nN D.ann 21，nN nn 12答案 C解析 令 n1，2，3，4，代入 A，B，C，D 检验.即可排除 A，B，D，故选 C.4.数列 ，的第 10 项是( )23456789A. B. C. D.1617 1819 2021 2223答案 C解析 由数列的前
19、 4 项可知，数列的一个通项公式为 an ，nN ，当 n10 时，2n2n 1a10 .210210 1 20215.已知数列 ，则 0.94，0.96，0.98，0.99 中属于该数列的有( )12233445A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个答案 C解析 数列 ，的通项公式为 an ，nN ，12233445 nn 10.94 ，0.96 ，94100 4750 96100 24250.98 ，0.99 ，98100 4950 99100高考资源网（） 您身边的高考专家， ， 都在数列 中，故有 3 个.24254950 99100 nn 16.如图 1 是第七届国际数学教育大
20、会(简称 ICME7) 的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1A 1A2A 2A3A 7A81，如果把图 2中的直角三角形继续作下去，记 OA1，OA 2，OA n，的长度构成数列a n，则此数列的通项公式为( )A.ann，nN B.an ，nN n 1C.an ，nN D.ann 2，nN n答案 C解析 OA 11，OA 2 ，OA 3 ，OA n ， ，2 3 na1 1，a 2 ，a 3 ，a n ，nN .2 3 n7.设 an (nN )，那么 an1 a n等于( )1n 1 1n 2 1n 3 12nA. B.12n 1 12n 2
21、C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2答案 D解析 a n ，1n 1 1n 2 1n 3 12nan 1 ，1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2an 1a n .12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2二、填空题8.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1， ， ， ， ， ，.3 5 7 11答案 3解析 由于数列的前几项中根号下的数是从小到大的奇数，所以需要填的数为 3.99.数列 3，5，9，17，33，的一个通项公式是.答案 a n2 n1，nN 高考资源网（） 您身边的高考专家解析 由于数列中 32 11，52 21，92 31，17
22、2 41，332 51，所以an2 n1，nN .10.323 是数列n(n2) 的第项.答案 17解析 由 ann 22n323，解得 n17(负值舍去).所以 323 是数列n(n2) 中的第 17 项.11.已知数列a n的通项公式 an192n，则使 an0 成立的最大正整数 n 的值为.答案 9解析 由 an192n0，得 n .192nN ，n9.三、解答题12.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)1，7，13，19，；(2) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(3) ，1， ， ，.32 710 917解 (1)符号问题可通过(1) n
23、或(1) n+1 表示，其各项的绝对值的排列规律：后面数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1) n(6n5)，nN .(2)各项的分母分别为 21，2 2，2 3，2 4，易看出第 2， 3，4 项的分子均比分母小 3.因此把第 1 项变为 ，2 32因此原数列可化为 ， ， ， ，21 321 22 322 23 323 24 324an (1) n ，n N .2n 32n(3)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3，5，7，9， 是序号的 2 倍加 1，可得分子3255 710 917的通项公式为 bn2n1，对于分母 2，5，10，17，联想到数列 1，4，9，16，
24、即数列n 2，可得分母的通高考资源网（） 您身边的高考专家项公式为 cnn 21，可得原数列的一个通项公式为 an ，nN .2n 1n2 113.在数列a n中，a 12，a 1766，通项公式 an是 n 的一次函数 .(1)求a n的通项公式；(2)88 是不是数列a n中的项？解 (1)设 anknb，k 0.则Error!解得Error!an 4n2，nN .(2)令 an88，即 4n288，解得 n22.5N ，88 不是数列a n中的项.四、探究与拓展14.如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式为.答案 a n4n2，nN 解
25、析 这三个图案中白色正六边形的个数如下图所示，依次为 6，64，642，所以这个数列的一个通项公式为 an64(n1) 4n2.15.已知数列 ，nN .9n2 9n 29n2 1 (1)求这个数列的第 10 项；(2) 是不是该数列中的项，为什么？98101(3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间 内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.(13， 23)高考资源网（） 您身边的高考专家(1)解 设 f(n) .9n2 9n 29n2 1 3n 13n 23n 13n 1 3n 23n 1令 n10，得第 10 项 a10f(10) .2831(2)解 令 ，得 9n300.3n 23n 1 98101此方程无正整数解， 不是该数列中的项.98101(3)证明 a n 1 ，3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1an 1a n 1 33n 1 1 (1 33n 1) 0，nN .33n 4 3n 13n 13n 4 93n 13n 4an是递增数列.(4)解 令 an ，13 3n 23n 123即Error!解得Error! n .76 83当且仅当 n2 时，上式成立，故区间 内有数列中的项，且只有一项 a2 .(13，23) 47
