1、1.2.3 空间中的垂直关系第 1 课时 直线与平面垂直学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题知识点一 直线与平面垂直的定义及性质(1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示 图形语言及画法 有关名称 重要结论如果一条直线(AB )和一个平面( )相交于点O，并且和这个平面内过交点(O) 的 任何直线都垂直我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB把直线 AB 画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线 AB：
2、平面 的垂线；平面 ：直线AB 的垂面；点 O：垂足；线段 AO：点A 到平面 的垂线段；线段 AO 的长：点 A到平面 的距离如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD ，DC 与桌面接触)观察折痕 AD 与桌面的位置关系思考 1 折痕 AD 与桌面一定垂直吗？答案 不一定思考 2 当折痕 AD 满足什么条件时， AD 与桌面垂直？答案 当 ADBD 且 ADCD 时，折痕 AD 与桌面垂直梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论 文字语言 图形
3、语言 符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条相交直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直Error! a推 论 1条件：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面Error!m推 论 2条件：两条直线垂直于同一个平面，结论：这两条直线平行Error! lm1若直线 l平面 ，则 l 与平面 内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )2若直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l.( )3若 ab，b，则 a.( )类型一 直线与平面垂直的判定例 1 如图，已知 PA 垂直于O 所在的平面，AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，求证：BC平面 PAC.证明
4、PA平面 ABC，PABC.又AB 是O 的直径，BCAC .而 PAACA， BC平面 PAC.引申探究 若本例中其他条件不变，作 AEPC 交 PC 于点 E，求证：AE平面 PBC.证明 由例 1 知 BC平面 PAC，又AE平面 PAC，BC AE.PCAE，且 PCBCC，AE平面 PBC.反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线(3)根据判定定理得出结论跟踪训练 1 如图，直角ABC 所在平面外一点 S，且 SASBSC，点 D 为斜边 AC 的中点(1)求证：SD 平面 ABC；
5、(2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC.证明 (1)因为 SASC ，D 为 AC 的中点，所以 SDAC.在 Rt ABC 中，ADDCBD，又因为 SBSA，SDSD，所以ADSBDS.所以 SDBD.又 ACBDD，所以 SD平面 ABC.(2)因为 BABC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC .又由(1)知 SD 平面 ABC，所以 SDBD .于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线，所以 BD平面 SAC.类型二 线面垂直的性质的应用例 2 如图所示，在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，EF 与异面直线 AC，A 1D 都垂直相交求证：EFBD 1.证明 如图，
6、连接 AB1，B1C，BD，B1D1.DD 1平面 ABCD，AC平面 ABCD，DD 1AC.又 ACBD，DD 1BDD，AC 平面 BDD1B1，ACBD 1.同理，BD 1B 1C，BD 1平面 AB1C.EFA 1D，且 A1DB 1C，EFB 1C.又EFAC，ACB 1CC，EF平面 AB1C，EF BD 1.反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练 2 如图，已知平面 平面 l ，EA，垂足为 A，EB，垂足为 B，直线a，aAB.求证：al.证明 因为 EA ，l，即 l，所以 lEA.同理 lEB，又 EAEBE，所以 l平面 EAB.因为 EB，a，所以 EB
7、a，又 aAB，EB ABB，所以 a平面 EAB.因此，a l.类型三 线面垂直的综合应用例 3 如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在平面，M，N 分别是 AB，PC 的中点，求证：MNCD.证明 如图，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE，因为 N 为 PC 的中点，则 NECD， NE CD，12又因为 AMCD，AM CD，12所以 AMNE，AM NE，即四边形 AMNE 是平行四边形，所以 MNAE.因为 PA矩形 ABCD 所在平面，所以 PACD，又四边形 ABCD 为矩形，所以 ADCD，又 PAAD A，所以 CD平面 PAD，AE平面 PAD，所以 CDAE ，所以
8、 MNCD.反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直， 证明这条直 线和另一条直线平行，可利用 线面垂直的性质定理，证明另一条直 线和这个平面垂直， 证明 时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质跟踪训练 3 如图，ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且AEAB2a，CDa，F 是 BE 的中点，求证：(1)DF 平面 ABC；(2)AFBD.证明 (1)取 AB 的中点 G，连接 FG，CG，可得 FGAE， FG AE.12CD平面 ABC，AE平面 ABC，CDAE .又CD AE，12FGCD，FGCD.FG平面 ABC，四边形 CDFG 是矩形，DF
9、CG .又CG平面 ABC，DF平面 ABC，DF平面 ABC.(2)在 RtABE 中，AEAB，F 为 BE 的中点，AFBE.ABC 是正三角形，CGAB ，DFAB .AE平面 ABC，CG平面 ABC，AECG，AE DF.且 AEABA，DF平面 ABE，AF平面 ABE，AFDF.BEDF F，BE平面 BDE，DF平面 BDE，AF平面 BDE，AFBD.1如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A B C D答案 A解析 由线面垂直的判定定理知，直 线垂直于图形所在的平面而图形中的两边
10、不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直2空间中直线 l 和三角形的两边 AC，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系是( )A平行 B垂直C相交 D不确定答案 B解析 由于直线 l 和三角形的两 边 AC，BC 同时垂直，而 这 两边相交于点 C，所以直线 l 和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边 AB 在这个平面内，所以 lAB.3下列条件中，能使直线 m平面 的是( )Amb，mc，b，c Bmb，bCmbA，b Dm b，b答案 D解析 由直线与平面垂直的判定定理的推论 1 知， 选项 D 正确4.如图，设平面 EF，AB，CD，垂足分别是 B，D，B
11、D EF，则 AC 与 EF 的位置关系是_答案 垂直解析 AB ，CD ，ABCD，故直线 AB 与 CD 确定一个平面AB，EF，ABEF，又 BDEF，ABBDB，EF平面 ABDC.AC平面 ABDC，ACEF.5.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，O 是底面 ABCD的中心，求证：EF平面 BB1O.证明 ABCD 为正方形，ACBO.又BB 1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACBB 1，又BOBB 1B，AC平面 BB1O，又 EF 是ABC 的中位线，EFAC，EF平面 BB1O.1直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；
12、(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线2对于线面垂直的性质定理(推论 2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理( 推论 2)给出了判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据一、选择题1若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于( )A平面 OAB B平面 OACC平面 OBC D平面 ABC答案 C解析 OAOB，OA OC 且 OBOCO，OA平面 OBC.2直线 a直线 b，直线 b平面 ，则 a 与 的关系是( )Aa BaCa Da 或 a答案 D解析 若 a ，b平面 ，可
13、 证得 ab；若 a，过 a 作平面 ，c，b平面 ，c ，则 bc，ac，于是 ba.故答案为 D.3已知空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC，BD 的关系是( )A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交答案 C解析 如图，取 BD 中点 O，连接 AO，CO，则 BDAO ，BDCO ，AO OCO，BD平面 AOC，BDAC，又 BD 与 AC 异面，故选 C.4.如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P，PB ，C 是平面 内异于 A 和 B 的动点，且 PCAC，则ABC 为 ( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D无法确定
14、答案 B解析 易证 AC面 PBC，所以 ACBC.5.如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，H 是 EF 的中点现沿AE，AF，EF 把这个正方形折成一个几何体，使 B，C，D 三点重合于点 G，则下列结论中成立的是( )AAG平面 EFG BAH 平面 EFGCGF平面 AEF DGH平面 AEF答案 A解析 AGGF，AG GE，GFGEG ，AG平面 EFG.6已知直线 PG平面 于 G，直线 EF ，且 PFEF 于 F，那么线段 PE，PF，PG 的大小关系是( )APEPG PF BPG PFPECPE PFPG DPFPEPG答案 C解析 由于 P
15、G平面 于 G，PFEF，PG 最短，PF PE，PG PFPE.7已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：PABC； PBAC；PCAB；ABBC .其中正确的是( )A BC D答案 A解析 由 PA，PB，PC 两两垂直可得 PA平面 PBC；PB 平面 PAC；PC平面 PAB，所以 PABC；PBAC；PCAB ，正确错误因为若 ABBC ，则由 PA平面 PBC，得 PABC，又 PAABA，所以 BC平面 PAB，又 PC平面 PAB，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾二、填空题8已知直线 l，a，b，平面 ，若要得到结论 l，则
16、需要在条件 a ，b，l a，lb中另外添加的一个条件是_答案 a 与 b 相交9如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若B 1MN 是直角，则C 1MN_.答案 90解析 B 1C1平面 ABB1A1，B 1C1MN.又MNB 1M，B1C1B 1MB 1，MN平面 C1B1M.又 C1M平面 C1B1M，MNC 1M，C 1MN90.10.如图所示，PA平面 ABC，ABC 中 BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案 4解析 Error! Error! BC平面 PACBC PC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.11如
17、图，在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1CB 1D1.(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)答案 BDAC(答案不唯一)解析 要找底面四边形 ABCD 所满足的条件，使 A1CB 1D1，可从结论 A1CB 1D1 入手A 1CB 1D1，BDB 1D1，A 1CBD .又AA 1BD ，而 AA1A 1CA 1，AA1平面 A1AC，A1C平面 A1AC，BD平面A1AC，BD AC.此题答案不唯一三、解答题12.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN平面 A
18、1DC.求证：(1)MNAD 1；(2)M 是 AB 的中点证明 (1)ADD 1A1为正方形，AD 1A 1D.又CD平面 ADD1A1，CDAD 1.A 1DCDD，AD 1平面 A1DC.又MN平面 A1DC，MNAD 1.(2)连接 ON，在A 1DC 中，A 1OOD， A1NNC.ON 綊 CD 綊 AB，12 12ONAM.又MNOA，四边形 AMNO 为平行四边 形，ONAM.ON AB，AM AB， M 是 AB 的中点12 1213如图所示，在ABC 中，ABC 为直角，P 是ABC 所在平面外一点，且PAPB，PB BC.若 M 是 PC 的中点，试确定 AB 上点 N
19、的位置，使得 MNAB.解 因为 CBAB，CBPB ，ABPB B，所以 CB平面 APB.过 M 作 MECB ，则 ME平面 APB，所以 MEAB.若 MNAB，因 为 MEMNM，则 AB平面 MNE，所以 ABEN .取 AB 中点 D，连接 PD，因为 PAPB，所以 PDAB，所以 NEPD.又 M 为 PC 的中点，MEBC ，所以 E 为 PB 的中点因为 ENPD，所以 N 为 BD 的中点，故当 N 为 AB 的四等分点(AN3BN )时，MNAB.四、探究与拓展14在ABC 中，AB AC 5，BC 6，PA平面 ABC， PA8，则 P 到 BC 的距离是( )A.
20、 B2 C3 D45 5 5 5答案 D解析 如图所示，作 PDBC 于 D，连接 AD.PA平面 ABC，PA BC.又 PAPD P，BC平面 PAD，ADBC.在ACD 中，AC5，CD3，AD4.在 Rt PAD 中，PA8，AD 4，PD 4 .82 42 515.如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BC1，ACB90，AA 1 ，D 是 A1B1 的2中点(1)求证 C1D 平面 AA1B1B；(2)当点 F 在 BB1 上的什么位置时，会使得 AB1平面 C1DF？并证明你的结论证明 (1)ABCA 1B1C1 是直三棱柱，A 1C1B 1C11，且A 1C1B19
21、0.又 D 是 A1B1 的中点，C 1DA 1B1.AA 1平面 A1B1C1，C1D平面 A1B1C1，AA 1C 1D，又 A1B1AA 1A 1，C 1D平面 AA1B1B.(2)作 DEAB 1 交 AB1 于 E，延 长 DE 交 BB1 于 F，连接 C1F，则 AB1平面 C1DF，点 F 为所求C 1D平面 AA1B1B，AB1平面 AA1B1B，C 1DAB 1.又 AB1DF ，DFC 1DD，AB 1平面 C1DF.AA 1A 1B1 ，2四边形 AA1B1B 为正方形又 D 为 A1B1 的中点，DF AB 1，F 为 BB1 的中点，当点 F 为 BB1 的中点时，AB 1平面 C1DF.
