1、3.2.1 复数的加法和减法1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.(重点)2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点、易混点)基础初探教材整理 1 复数代数形式的加减运算阅读教材 P57 例 1 以上内容 ，完成下列问题.1.运算法则设 z1abi ，z 2cdi(a，b，c，dR) ，则(1)z1 z2(ac )(bd)i；(2)z1 z2(ac )(bd)i.2.加法运算律交换律z1z 2z 2z 1结合律(z1z 2)z 3z 1(z 2z 3)1.已知复数 z134i，z 234i，则 z1z 2( )A.8i B.6C.68i D.68i【解析】 z
2、1z 2(34i)(34i)(33) (4 4)i6.【答案】 B2.已知 z12i，z 21 2i，则复数 zz 1z 2 对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】 zz 1z 2(2i)(12i)(21)(12)i 1i ，对应的点为(1， 1) 位于第四象限 .【答案】 D教材整理 2 复数加减法的几何意义阅读教材 P58练习 A 以上内容，完成下列问题.1.复数加法的几何意义如图 321，设复数 z1，z 2 对应向量分别为 ， ，四边形 OZ1ZZ2 为平OZ1 OZ2 行四边形，则与 z1z 2 对应的向量是 .OZ 图 3212.复数减法的几
3、何意义如图 322 所示，设 ， 分别与复数 z1a bi，z 2cdi 对应，且OZ1 OZ2 ， 不共线，则这两个复数的差 z1z 2 与向量 (即 )对应，OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 Z2Z1 这就是复数减法的几何意义.图 322这表明两个复数的差 z1z 2(即 )与连接两个终点 Z1，Z 2，且指向OZ1 OZ2 被减数的向量对应.在复平面内，向量 对应的复数为1i，向量 对应的复数为 1i ，OZ1 OZ2 则 对应的复数为_.OZ1 OZ2 【解析】 由复数加法运算的几何意义知， 对应的复数即为OZ1 OZ2 (1 i)(1i)2i.【答案】 2i质疑手记预习完成后，请将你的
4、疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型复数的加减运算计算：(1)(13i)(2i) (23i)；(2)(2i)( 15i) (34i)；(3)5i(34i)( 13i)；(4)(abi)(3a4bi) 5i(a，bR).【精彩点拨】 复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行.【自主解答】 (1)原式 (14i) (23i)1i.(2)原式(36i)(34i)62i.(3)原式5i (4i)4 4i.(4)原式(2a5bi)5i 2a(5b5)i.1.复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若
5、无括号，可从左到右依次进行.2.算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.3.准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.再练一题1.计算：(1)(23i)(5i) ；(2)(1 i)(1 i)；2 2(3)(abi)(2a3bi) 3i(a，bR).【解】 (1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1 i)(1 i) (11)( )i2 i.2 2 2 2 2(3)(abi)(2a3bi) 3i(a2a)(b3b3)i a(4b3)i.复数加减运算的几何意义设 及 分别与复数 z153i 及复数 z24i 对应，试计算OZ
6、1 OZ2 z1z 2，并在复平面内作出 . OZ1 OZ2 【精彩点拨】 利用加法法则求 z1z 2，利用复数的几何意义作出 OZ1 .OZ2 【自主解答】 z 153i，z 24i，z1z 2(5 3i)(4i)94i. (5 ，3)， (4 ，1)，OZ1 OZ2 由复数的几何意义可知， 与复数 z1z 2对应，OZ1 OZ2 (5，3)(4 ，1)(9，4)，OZ1 OZ2 作出向量 ，如图所示.OZ1 OZ2 1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数
7、形结合思想解决复数问题提供了可能.再练一题2.复平面内三点 A，B，C，A 点对应的复数为 2 i，向量 对应的复数为BA 12i，向量 对应的复数为 3i，求点 C 对应的复数 .BC 【解】 对应的复数为 12i， 对应的复数为 3i ，BA BC 对应的复数为(3i)(12i) 23i.AC BC BA 又 ，OC OA AC C 点对应的复数 为(2 i)(23i)42i.探究共研型复数加减法几何意义的综合应用探究 1 |z 1z 2|的几何意义是什么？【提示】 |z 1z 2|表示复数 z1，z 2对应的两点 Z1 与 Z2间的距离.探究 2 满足条件|zi|3 4i| 的复数 z
8、在复平面上对应点的轨迹是什么曲线？【提示】 |zi|3 4i|5，复数 z 在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心 ，5 为半径的 圆.已知|z1i|1，求| z34i|的最大值和最小值.【精彩点拨】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.【自主解答】 法一：设 wz34i，zw34i ，z1iw 45i.又|z1i|1，|w45i|1.可知 w 对应的点的轨迹是以(4，5)为圆心，1 为 半径的圆.如图(1)所示， |w|max 1，| w|min 1.41 41(1) (2)法二：由条件知复数 z 对应的点的轨迹是以(1，1)为圆心，1 为半径的圆，而|z34i|z(34i
9、)|表示复数 z 对应的点到点(3 ，4)的距离，在圆上与(3 ，4) 距离最大的点为 A，距离最小的点 为 B，如图(2)所示，所以|z34i| max 1，|z34i| min 1.41 41|z1 z2|表示复平面内 z1，z 2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.再练一题3.已知|z|2，则|z34i|的最大值是_.【解析】 由|z|2 知复数 z 对应的点在圆 x2y 2 4 上，圆心为 O(0，0)，半径 r 2.而|z34i|z(34i)|表示复数 z 对应的点与 M(3，4)之间的距
10、离，由于| OM|5 ，所以|z34i|的最大值为| OM|r527.【答案】 7构建体系1.复数(1 i) (2i)3i 等于( )A.1i B.1iC.i D.i【解析】 (1i) (2i)3i(1 2)(113)i1i.【答案】 A2.已知 z13i，z 21 5i，则复数 zz 2z 1 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】 zz 2z 1 (15i)(3i)(1 3)(51)i24i.【答案】 B3.若|z1|z1|，则复数 z 对应的点 Z( )A.在实轴上 B.在虚轴上C.在第一象限 D.在第二象限【解析】 设 zxy i(x，yR)
11、，由|z1|z 1|，得(x 1) 2y 2(x1) 2y 2，化简得 x0.【答案】 B4.在复平面内，O 是原点， ， ， 对应的复数分别为OA OC AB 2i，32i，15i，那么 对应的复数为_.BC 【解析】 ( )， 对应的复数为(2i)BC OA OC AB BC (3 2i)(15i)(23 1)(12 5)i( 44i)44i.【答案】 44i5.计算：(1)(109i)(87i) (33i)；(2)(12i)(23i) (34i)(45i)(2 0152 016i) (2 0162 017i).【解】 (1)(109i)(87i)(33i)(10 83)(973)i 15i.(2)原式(12342 0152 016)(23452 0162 017)i 1 0081 008i.
