1、1.4.2 微积分基本定理 一、教学目标1知识和技能目标 （1 ）掌握微积分基本定理；（2 ）会熟练地用微积分基本定理计算一些有关微积分的问题2过程和方法目标 从局部到整体，从具体到一般的思想，利用导数的几何意义和定积分的概念，通过寻求导数和定积分之间的内在联系，得到微积分基本定理，进一步得出积分定理3情感态度和价值观目标 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力二、教学重点.难点重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点：了解微积分基本定理的含义。三、学情分析微积分基本定理给微积分
2、学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。本节课是学生学习了导数和定积分的概念后的学习内容，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时为计算定积分提供了一种有效方法，为后面的学习特别是高等数学的学习奠定了基础。因此它在学生学习中起到了承上启下的作用，在教材中处于极其重要的地位。四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)（
3、） ，则物体在时间间隔 内经过的路程可用速度函数表示为 。另一方面，这段路程还可以通过位置函数 S（t）在 上的增量 来表达，即=而 。对于一般函数 ，设 ，是否也有若上式成立，我们就找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差来计算 在 上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数 是 上的连续函数 的任意一个原函数，则证明：因为 = 与 都是 的原函数，故 -=C（ ）其中 C 为某一常数。令 得 - =C，且 = =0即有 C= ，故 = += - =令 ，有此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用 表示 ，即该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法
4、，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。知识应用，深化理解例 1计算下列定积分：（1 ） ； （2） 。解：（1）因为 ，所以 。（2 ） ）因为 ，所以 。例 2计算下列定积分：。由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为 ，所以 ，.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0
5、: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图 1.6 一 3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图 1 . 6 一 3 ( 2 ）（2 ）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积例 3汽车以每小时 32 公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 =1.8 米/秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走
6、了多少距离？解: 首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0 时，汽车速度 =32 公里/小时=米/秒 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶, 其速度为 当汽车停住时,速度 ,故从 解得 秒于是在这段时间内,汽车所走过的距离是= 米,即在刹车后,汽车需走过 21.90 米才能停住.微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果六、当堂检测1. 的值是（ ）A.0 B. C.2 D.42.下列式子正确的是（ ）A. B. C. D.3.函数 的导数是（ ）A. B. C. D.4.已知函数 ，若 成立，则 = ；5.曲线 与坐标轴所围成的面积是（ ）A.2 B.3 C. D.46. 在曲线 上某一点 A 处作一切线使之于曲线及 轴所围成的面积为 ，试求：（1）切点 A 的坐标；（2 ）过切点 A 的切线方程.设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思
