1、 4.1 教学结构设计：零点概念的建构零点存在性定理的探究创设情境，感知概念辨析讨论，明确概念实例尝试，归纳定理辨析应用，熟悉定理例题变式，深化拓展应用与巩固小结反思，提高认识布置作业，独立探究结课约 10 分钟约 15 分钟约 12 分钟约 3 分钟（一）创设情境，感知概念1、实例引入解方程：（1）2 -x=4；（2）2 -x=x意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系填空：方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根 x1=-1，x 2=3 x1=x2=1 无实数根函数 y=x2-2x-3 y
2、=x2-2x+1 y=x2-2x+3图象42-2-43-1 1 2O xy42-2-43-1 1 2O xy42-23-1 1 2O xy图象与 x 轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0) 一个交点：(1,0) 没有交点问题 1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式 0 0 0方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根两个不相等的实数根 x1、x 2有两个相等的实数根 x1 = x2 没有实数根函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象 Oxyx1 x2 Oyxx1 Oxy函数的图象与 x 轴的交点两个交点：(x1,0)，( x2,0)一个交点：(x1,0) 无交点3、一般函数的图象与方程
3、根的关系问题 3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y 2x 4，y 2x8，y ln(x2)，y( x 1)(x2)(x3) 比较函数图象与x 轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程 f(x)0 有几个根，yf(x )的图象与 x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫（二）辨析讨论，深化概念4、函数零点概念：对于函数 yf( x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) 的零点即兴练习：函数 f(x)=x
4、(x216)的零点为 （ D ）A(0，0) ，(4，0) B0， 4 C(4，0)，(0 ，0)，(4，0) D4，0，4练习：求下列函数的零点： 2 2(1)3()lg)fxfxx设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根） （三）实例探究，归纳定理6、零点存在性定理的探索问题 5：在怎样的条件下，函数 yf (x)在区间a，b 上一定有零点？探究：（1）观察二次函数 f(x)x 22x3 的图象：在区间-2，1 上有零点 _；f(-2)=_，f(1)=_，f (-2)f(1)_0（“ ”或“”） 在区间(2，4) 上有零点_；f (2)f(4)_0（“ ”或“ ”） （2）观察
5、函数的图象：abcxyO d2-2-41O 1-2 2 3 4-3-1-1yx在区间 (a，b )上_(有/无)零点；f(a) f(b) _ 0（“” 或“”） 在区间 (b，c)上_(有/无)零点；f(b)f(c) _ 0（“”或“”） 在区间 (c，d)上_(有/无)零点；f(c)f(d) _ 0（“”或“”） 意图：通过归纳得出零点存在性定理7、零点存在性定理：如果函数 yf(x )在区间 a，b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf( x)在区间( a，b) 内有零点即存在 c(a，b )，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根即兴
6、练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log 2x，x ，2； （2）f(x)=e x-1+4x-4， x0，11（四）正反例证，熟悉定理8定理辨析与灵活运用例 1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数 y=f(x)在区间a，b 上连续，且 f(a)f(b)0,则 f (2) f (3)0，这说明函数 f(x)在区间(2 ，3)内有零点问题 6：如何说明零点的唯一性？又由于函数 f(x)在(0，+)内单调递增，所以它仅有一个零点解法 2（估算）：估计 f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：x 1 2 3 4f(x) 结合函数的单调性
7、，f(x )在区间(2，3) 内有唯一的零点解法 3（函数交点法）：将方程 lnx2x6=0 化为 lnx=6-2x，分别画出 g(x)=lnx 与 h(x)=6-2x 的草图，从而确定零点个数为 1继而比较 g(2)、h(2)、g(3)、h(3) 等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间6O xy21 3 4g(x)h(x)由图可知 f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点（七）布置作业，独立探究1函数 f(x)(x4)( x4)( x2) 在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x2) 3；（2）e x1 44x3结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3 ；（2）f (x)3(x2)(x3)(x4)x 思考题：方程 2-x =x 在区间_内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备5.4 板书设计方程的根与函数的零点1、零点概念： 练习： 2、方程的根与函数零点的关系 3、函数零点存在性定理的条件 例 2： 例 1 反例： xyO xyO xyO
