1、11.2.3 空间中的垂直关系第一课时 直线与平面垂直1 若直线 a平面 ,直线 b,则直线 a 与 b 的关系是( )A.ab,且 a 与 b 相交B.ab ,且 a 与 b 不相交C.abD.a 与 b 不一定垂直解析： 因为 b ,则在平面 内存在一 条直线 c,使得 bc,因为直线 a平面 ,c,所以 ac.因为 bc,所以 ab.当 b 与 a 相交时为相交垂直,当 b 与 a 不相交时为异面垂直,故选 C.答案： C2 如图,BC 是 RtABC 的斜边,PA平面 ABC,PDBC,则图中直角三角形的个数是( )A.8B.7C.6D.5解析： 易知 PAAC,PA AD,PAAB,
2、BCAD,BCPD,ACAB.图中的直角三角形分别为PAC,PAD,PAB,ADC, ADB,PCD,PDB,ABC,共 8 个,故选 A.答案： A3 设 表示平面,a,b,l 表示直线,给出下列四个命题: l ; b ; b ; a. 2其中正确的命题是( )A. B.C. D.解析： 中当 a,b 相交时才成立; 中由 a,ab 知 b 或 b 或 b 或 b 与 相交; 中当 a 垂直于平面 内的两条相交直线时,有 a,若 a 只垂直于平面 内的一条直线,则不能得出 a ,从而不正确 .答案： D4 已知直线 a,b 与平面 ,给出下列四个命题: 若 ab,b ,则 a; 若 a,b,
3、则 ab; 若 a,b ,则 ab; 若 a,b ,则 ab.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案： A5 在正方形 SG1G2G3中,E,F 分别是 G1G2和 G2G3的中点,D 是 EF 的中点,现在沿SE,SF 和 EF 把这个正方形折起,使点 G1,G2,G3重合,重合后的点记为 G,则下列结论成立的是( )A.SD平面 EFGB.SG平面 EFGC.GF平面 SEFD.GD平面 SEF解析： 折起后 SGGE,SGGF,又 GF 与 GE 相交于点 G,所以 SG平面 EFG.答案： B6 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,线段 B1D1
4、上有两个动点 E,F,且 EF= ,则12下列结论中错误的是( )3A.ACBEB.EF平面 ABCDC.三棱锥 A-BEF 的体积为定值D.AEF 的面积与 BEF 的面积相等答案： D7 对于四面体 ABCD,给出下列四个命题: 若 AB=AC,BD=CD,则 BCAD; 若 AB=CD,AC=BD,则 BCAD; 若 ABAC,BD CD ,则 BCAD; 若 ABCD,BD AC ,则 BCAD.其中真命题的序号是 . 解析： 对于命题 ,取 BC 的中点 E.连接 AE,DE,则 BCAE ,BCDE,所以 BCAD.对于命题 ,过 A 向平面 BCD 作垂线 AO,如图,连接 BO
5、 并延长与 CD 交于点 G,则CDBG,同理 CHBD.所以 O 为BCD 的垂心,连接 DO,则 BCDO,BCAO,所以 BCAD.答案： 8 如图,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q满足 PQQD,则 a 的值等于 . 解析： 因为 PA平面 ABCD,所以 PAQD. 又因为 PQQD,PA PQ=P,所以 QD平面 PAQ.4所以 AQQD,即 Q 在以 AD 为直径的圆上,当圆与 BC 相切时,点 Q 只有一个,故 BC=2AB=2.答案： 29 如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“ 正交线面对”
6、.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对” 的个数是 . 解析： 正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正交线面对”, 所以共有 36 个“ 正交线面对 ”.答案： 3610 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD= 90.(1)求证:PCBC;(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.(1)证明 因为 PD平面 ABCD,BC平面 ABCD,所以 PDBC.由BCD= 90,得 BCD
7、C.又因为 PDDC=D,PD平面 PCD,DC平面 PCD,所以 BC平面 PCD.因为 PC平面 PCD,所以 PCBC.(2)解 连接 AC,设点 A 到平面 PBC 的距离为 h.因为 ABDC,BCD=90 ,所以ABC= 90.从而由 AB=2,BC=1,得ABC 的面积 SABC=1.5由 PD 平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积 V= SABCPD= .13 13因为 PD平面 ABCD,DC平面 ABCD,所以 PDDC.又 PD=DC=1,所以 PC= .2+2=2由 PCBC,BC=1,得PBC 的面积 SPBC= ,22由 V= SPBCh= h
8、= ,得 h= .13 1322 13 2因此,点 A 到平面 PBC 的距离为 .2 11 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面 ABC 为正三角形,M,N,G 分别是棱CC1,AB,BC 的中点,且 CC1= AC.2求证:(1)CN平面 AMB1;(2)B1M平面 AMG.证明 (1)设 AB1的中点为 P,连接 NP,MP.因为 CMAA 1,且 CM= AA1,NPAA 1,且 NP= AA1,12 12所以 CMNP,且 CM=NP.所以四边形 CNPM 是平行四边形.所以 CNMP.因为 CN平面 AMB1,MP平面 AMB1,所以 CN平面 AMB1.6(2)因为 CC1平面 ABC,所以 CC1AG.由ABC 是正三角形得 AGBC,又因为 BCCC1=C,所以 AG平面 CC1B1B.所以 B1MAG.因为 CC1平面 ABC,所以 CC1AC.设 AC=2a,则 CC1=2 a.2在 RtMCA 中 ,AM= a.2+2=6同理,B 1M= a.6因为 BB1CC 1,所以 BB1平面 ABC.所以 BB1AB.所以 AB1= =2 a.12+2=12+2 3所以 AM2+B1M2=A .21所以 B1MAM.又因为 AGAM=A,AG平面 AMG,AM平面 AMG,所以 B1M平面 AMG.
