1、3.2.2 复数的乘法和除法1.掌握复数代数形式的乘除运算.(重点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(难点)3.理解共轭复数的性质，并能灵活运用.(易错点)基础初探教材整理 1 复数的乘法法则及运算律阅读教材 P59 例 1 以上内容 ，完成下列问题.1.设 z1abi，z 2cdi，a，b，c，dR，则z1z2(abi)(c di)(acbd)(adbc )i.2.对任意 z1，z 2，z 3C，有交换律 z1z2z 2z1结合律 (z1z2)z3z 1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2z 3) z1z2z 1z3已知 a，bR，i 是虚数单位.若(ai)(1i
2、) bi，则 abi_.【解析】 因为(ai)(1 i)a1(a1)ibi，a，bR ，所以解得 所以 abi12i.a 1 0，a 1 b， ) a 1，b 2， )【答案】 12i教材整理 2 共轭复数的性质与复数的除法阅读教材 P59 例 2 至 P61， 以上内容，完成下列问题 .1.共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即 zzzR.利用这个性质，可以证明一个复数是实数.(3)zz|z| 2|z| 2R.2.复数的除法法则设 z1abi ，z 2cdi(cdi0) ， i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2
3、d21.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.( )(2)若 zC，则|z| 2z 2.( )(3)若 z1，z 2C，且 z z 0，则 z1z 20.( )21 2【解析】 (1)正确.设 zabi(a，b R)，则 zabi，|z| ，|z| ，a2 b2 a2 （ b）2 a2 b2|z| z|.(2)错误.举反例：如 z1i，则|z| ，z 22i，| z|2z2.2(3)错误.例如 z11，z 2i，显然 z z 0，但 z1z20.21 2【答案】 (1) (2) (3)2.i 是虚数单位，复数 _.7 i3 i【解析】 2i.7 i3
4、i （7 i）（3 i）（3 i）（3 i） 20 10i10【答案】 2i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型复数代数形式的乘除运算(1)已知 a，bR， i 是虚数单位，若 ai2bi，则(abi) 2( )A.34i B.34iC.43i D.43i(2) 等于 ( )（1 i）3（1 i）2A.1i B.1iC.1 i D.1i(3)计算： _. （2 2i）2（4 5i）（5 4i）（1 i）【精彩点拨】 (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1，
5、再把实部、虚部分 别合并 .(2)复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化” ，这个过程与“分母有理化”类似.【自主解答】 (1)a，b R，ai2bi，a2， b1， (abi) 2(2i) 234i.(2) 1i.故选 D.（1 i）3（1 i）2 1 i3 3i 3i2 2i 2 2i 2i 1 ii i 1 1(3) （2 2i）2（4 5i）（5 4i）（1 i） 4i（4 5i）5 4 9i 20 16i1 9i 4（5 4i）（1 9i）82 22i. 4（41 41i）82【答案】 (1)A (2)D (3)22i1.复数的乘法可以把 i 看作字母，按
6、多项式乘法的法 则进行，注意要把 i2 化为1，进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i).2.利用某些特殊复数的运算结果，如(1i)22i， 1， i， i， i ，i 的幂的周期性等，都( 12 32i)3 1i 1 i1 i 1 i1 i可以简化复数的运算过程.再练一题1.计算：(1) (1i)；( 12 32i)( 32 12i)(2)(23i)(12i).【解】 (1) (1i)( 12 32i)( 32 12i) (1i)( 34 34) (34 14)i (1i)( 32 12i)
7、i( 32 12) (12 32) i.1 32 1 32(2)(23i)(12i) 2 3i1 2i （ 2 3i）（1 2i）（1 2i）（1 2i） i.（ 2 6） （3 4）i12 22 45 75共轭复数及其应用已知复数 z 的共轭复数是 z，且 zz4i ，z z13，试求 .zz【精彩点拨】 设 z x yi（x，yR） 由 条 件 到 方 程组 求 x， y的 值 计 算 zz的 值【自主解答】 设 zxyi( x，yR) ，则由条件可得（x yi） （x yi） 4i，（x yi）（x yi） 13， )即 2yi 4i，x2 y2 13， )解得 或x 3，y 2) x
8、3，y 2.)因此 z32i 或 z3 2i.于是 i，或 zz 3 2i3 2i （3 2i）2（3 2i）（3 2i） 5 12i13 513 1213 zz 3 2i 3 2i i.（ 3 2i）2（ 3 2i）（ 3 2i） 5 12i13 513 12131.已知关于 z 和 的方程，而复数 z 的代数形式未知，求 z.解此类题的常规z 思路为：设 zabi(a，b R)，则 abi，代入所 给等式，利用复数相等的z 充要条件，转化为方程(组)求解.2.关于共轭复数的常用结论(1)z |z |2| |2 是共轭复数的常用性质；z z (2)实数的共轭 复数是它本身，即 zRz ，利用
9、此性质可以证明一个z 复数是实数；(3)若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚z 数.再练一题2.已知复数 z 满足 zz2iz42i，求复数 z.【解】 设 zxy i(x，yR) ，则 zx yi，由题意，得(xy i)(xy i)2(xyi)i(x 2y 22 y)2x i42i， 解得 或x2 y2 2y 4，2x 2， ) x 1，y 3) x 1，y 1， )z13i 或 z1i.探究共研型虚数单位 i 的幂的周期性及其应用探究 1 i 4n，i 4n1 ，i 4n2 ，i 4n3 (nN)的结果分别是什么？【提示】 1，i，1，i.探究 2 i n
10、(nN) 有几种不同的结果？【提示】 四种：1，i，1，i.探究 3 i ni n1 i n2 i n3 (nN)结果是多少？【提示】 0.(1)计算： ； 23 i1 23i ( 21 i)2 016 (2)若复数 z ，求 1zz 2z 2 016 的值.1 i1 i【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现 in 的形式，然后再根据 in 的值的特点计算求解.【自主解答】 (1)原式 i（1 23i）1 23i ( 21 i)2 1 008 i ii 1 008ii 4252i1.(2 2i)1 008 (2)1z z 2z 2 016 ，1 z2 0171 z而 z i，1 i
11、1 i （1 i）2（1 i）（1 i） 2i2所以 1zz 2z 2 016 1.1 i2 0171 i 1 i1 i1.要熟记 in 的取值的周期性，即i4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1(nN)，解 题时要注意根据式子的特点创造条件使之与 in联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.再练一题3.在上例(2)中，若 z ，求 1zz 2z 2 016 的值.1 i1 i【解】 z i.1 i1 i （1 i）2（1 i）（1 i） 2i21zz 2z 2 016 1 z2 0171 z 1 （ i）2 0171 （ i） 1 i2
12、0171 （ i） 1 i2 0171 i1.1 i1 i构建体系1.设复数 z 满足(1i)z2i，则 z( )A.1i B.1iC.1i D.1i【解析】 设 zabi，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i 2i.根据复数相等的充要条件得 解得a b 0，b a 2， ) a 1，b 1， )z1i.故 选 A.【答案】 A2.复数 zi (1i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】 zi(1i) 1i，复数 z 对应复平面上的点是 (1，1)，该点位于第二象限.【答案】 B3.复数 z 的共轭复数是( )
13、3 i2 iA.2i B.2iC.1 i D.1i【解析】 z 1i ， 3 i2 i （ 3 i）（2 i）（2 i）（2 i） 5 5i5z1i.【答案】 D4.已知 a 为实数， 是纯虚数，则 a_.a i1 i【解析】 ，因为 是纯虚数，所a i1 i （a i）（1 i）（1 i）（1 i） （a 1） （a 1）i2 a i1 i以 a10 且 a10，即 a1.【答案】 15.计算： .3 2i2 3i 3 2i2 3i【解】 法一： 3 2i2 3i 3 2i2 3i（3 2i）（2 3i） （3 2i）（2 3i）（2 3i）（2 3i） 2i.6 13i 6 6 13i 64 9 26i13法二： 3 2i2 3i 3 2i2 3i i（2 3i）2 3i i（2 3i）2 3iii2i.
