1、2.2.2 反证法1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.(重点、难点) 基础初探教材整理 反证法阅读教材 P39P 40 的内容 ，完成下列问题.1.反证法一般地，由证明 pq 转向证明qrt，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾主要是指：(1)与假设矛盾；(2)与数学公理 、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.( )(
2、2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )【解析】 (1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法.(2)错误.反证 法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)错误.反证 法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】 (1) (2) (3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型用反证法证明否定性命题等差数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11 ，S 393 .2 2(1)求数列a n的通项 an与前 n 项和
3、Sn；(2)设 bn (nN *)，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比Snn数列.【精彩点拨】 第(1)问应用 ana 1(n1) d 和 Snna 1 n(n1)d 两式求12解.第(2)问先假 设存在三项 bp，b q，b r成等比数列， 再用反证法证明.【自主解答】 (1)设等差数列a n的公差为 d，由已知得 a1 2 1，3a1 3d 9 32， )d2， 故 an2n1 ，S nn(n ).2 2(2)证明：由(1)得 bn n .Snn 2假设数列 bn中存在三项 bp，b q，b r(p，q，r 互不相等)成等比数列，则b b pbr，2q即(q )2( p )(
4、r )，2 2 2(q2pr) (2qpr) 0.2p，q， rN*， q2 pr 0，2q p r 0， ) pr，(pr) 20，(p r2 )2 pr，这与 pr 矛盾.所以数列 bn中任意不同的三 项都不可能成为等比数列 .1.当结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.2.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.3.常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语
5、 否定词语的否定形式没有 有不大于 大于不等于 等于不存在 存在再练一题1.已知方程 f(x)a x (a1)，证明：方程 f(x) 0 没有负数根. x 2x 1【证明】 假设 x0 是方程 f(x)0 的负数根，则 x00，y 0，且 xy2，求证： 与 至少有一个小于 2.1 yx 1 xy【证明】 假设 与 都不小于 2，1 yx 1 xy即 2， 2.1 yx 1 xyx0，y0，1y2x ， 1x 2y，两式相加得 2(x y )2(xy).xy2，这与已知中 xy2 矛盾.假设不成立，原命题成立.故 与 至少有一个小于 2.1 yx 1 xy探究共研型用反证法证明“唯一性”命题探
6、究 1 用反证法证明数学命题的步骤是什么？【提示】 (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真.(2)归谬：从反 设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立.探究 2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】 假设两条直线 a，b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和B，这样 同时经过点 A，B 的直线就有两条，这与“ 经过两点有且只有一条直线”相矛盾.所以两条相交直线有且只有一个交点.已知一点 A 和平面 .求证：经过点 A 只能有一条直线和平面 垂直.【精彩点拨】 【自主解答】 根据点 A 和
7、平面 的位置关系，分两种情况证明.(1)如图(1)，点 A 在平面 内，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线AB，AC，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 ，平面 和平面 相交于经过点 A 的一条直线 a.因为 AB平面 ， AC平面 ，a ，所以ABa，AC a，在平面 内经过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.(1)(2)如图(2)，点 A 在平面 外，假设经过点 A 至少有平面 的两条垂线 AB和 AC(B，C 为垂足)，那么 AB，AC 是两条相交直线，它们确定一个平面 ，平面 和平面 相交于直线 BC，因
8、为 AB平面 ，AC 平面 ，BC ，所以ABBC，AC BC.(2)在平面 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点 A 只能有一条直线和平面 垂直 .证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有” “只有一个” “唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.再练一题3.若函数 f(x)在区间a，b 上的图象连续不断，且 f(a)0，且 f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x )在(a，b)内有且只有一个零点.【证明】 由于
9、f(x)在a， b上的图象连续不断，且 f(a)0，即f(a)f(b)m，则 f(n)f(m)，即 00，矛盾；若 nB，则 ab”的结论的否定应该是( ) A.ab B.abC.ab D.ab【解析】 “大于”的否定是“不大于” ，即“小于或等于” ，故选 B.【答案】 B4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数 a，b，c 中无偶数” ，正确的假设为_.【解析】 a，b，c 中无偶数 ，即 a，b，c 都是奇数 ，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”.【答案】 a，b，c 中至少有一个偶数5.若 a，b，c 互不相等，证明：三个方程ax22bxc 0，bx 22cx a0，cx 22axb 0 至少有一个方程有两个相异实根.【证明】 假设三个方程中都没有两个相异实根，则 14b 24ac0， 24c 24ab0， 34a 24bc0.相加得a22abb 2b 22bc c 2c 22aca 20，(a b)2(bc )2( ca)20， ab c ，这与 a，b，c 互不相等矛盾.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
