1、章末总结知识网络：一、推理1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论3）归纳推理的特点：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。2. 类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，
2、这样的推理称为类比推理。2）类比推理的思维过程是：观察、比较 联想、类推 推测新的结论3. 演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2）主要形式是三段论式推理。推理与证明推理 证明合情推理 演绎推理归纳 类比 综合法分析法反证法直接证明 间接证明 数学归纳法3）三段论式推理常用的格式为：MP （M 是 P） 是大前提，它提供了一个一般性的原理；SM （S 是 M） 是小前提，它指出了一个特殊对象；SP （S 是 P） 是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一
3、般结论；小前提-所研究的特殊情况；结论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理 ；演绎推理：由一般到特殊.归 纳 推 理 ： 由 特 殊 到 一 般类 比 推 理 ： 由 特 殊 到 特 殊二、证明1. 直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“执果索因”。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B， B 应
4、是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。2. 间接证明：即反证法：是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设推理矛盾原命题成立。（所谓矛盾是指：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词 否定 原结论词 否定至少有一个 一个也没有 对所有的 x 都成立 存在某个 x 不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q p 且 q
5、至多有 n 个 至少有 n1 个 p 且 q p 或 q典例精讲：1观察下列等式： 321,3326,3321410,，根据上述规律，第五个等式为 .2观察 2()x， 43()x， (cos)inx，由归纳推理可得：若定义在 R上的函数 ()fx满足ff，记 g为 f的导函数，则 ()g=（ ）（A） () (B) () (C) x (D) ()gx3. 下列表述正确的是（ ）. 归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理. A； B； C； D.4已知 p是 q的充分不必要条件，则 q
6、是 p的（ ）（） 充分不必要条件 （） 必要不充分条件（） 充要条件 （） 既不充分也不必要条件5. 有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直线b平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） abbaA.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是（ ）。(A)假设三内角都不大于 60 度； (B) 假设三内角都大于 60 度；(C) 假设三内角至多有一个大于 60 度； (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。7.求证： + 2 + .67258.设 a、b、c 都是正数，求证:1ab, c,1a至少有一个不小于 2.
