1、第 2 课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式 .2.熟悉等比数列的有关性质 .3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一 等比数列通项公式的推广思考 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：a na 1(n1) da m( nm)d.等比数列也有类似变形吗？答案 在 等 比 数 列 中 ， 由 通 项 公 式 an a1qn 1， 得 qn m， 所 以anam a1qn 1a1qm 1an amqn m(n， m N ).梳理 公比为 q 的等比数列a n中，a na 1qn1 或 qnm ，即 ana mqnm .anam知识点二 由等比数列衍生的等
2、比数列思考 等比数列a n的前 4 项为 1，2，4，8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3a n是等比数列；(3) 是等比数列；1an(4)a2n是等比数列.答案 由定义可判断出(1)，(3)，(4) 正确.梳理 (1)在等比数列a n中按序号从小到大取出若干项： 若123nkkkaa ， ， ， ， ， ，k1，k 2，k 3， ，k n，成等差数列，那么 是等比数列.123nka ， ， ， ， ，(2)如果a n，b n均为等比数列，那么数列 ，a nbn， ，|a n|仍是等比数列.1an bnan知识点三 等比数列的性质思考 在等比数列a n中，a a 1a9是否成立
3、？a a 3a7是否成立？25 25a a n2 an2 (n2，nN )是否成立？2n答案 a 5a 1q4，a 9a 1q8，a 1a9a q8(a 1q4)2a ，21 25a a 1a9成立.25同理 a a 3a7成立，a a n2 an2 也成立.25 2n梳理 一般地，在等比数列a n中，若 mnst，则有 amana sat(m，n，s，t N ).若 mn2k，则 amana (m，n，kN ).2k1.有穷等比数列中，与首末两项“等距离” 的两项之积等于首末两项的积 .( )2.当 q1 时，等比数列a n为递增数列.( )3.当 q1 时，等比数列a n为常数列.( )4
4、.当 a10，且 a2a42a 3a5 a4a636，求 a3a 5的值；(2)若 a1a 2a 37，a 1a2a38，求数列 an的通项公式.解 (1)a 2a42a 3a5a 4a636，a 2a 3a5a 36，23 25(a3a 5)236 ，又 an0，a 3 a56.(2)把 a a 1a3代入已知，得 a 8，a 22.2 32设前三项为 ，2，2q，则有 22q7.2q 2q整理，得 2q25q20，q 2 或 q .12Error!或Error!an 2n1 或 an2 3n .反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立 a1
5、，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪训练 1 (1)在递增等比数列 an中，a 1a964，a 3a 720，求 a11的值.(2)已知数列a n成等比数列.若 a3a4a58，求 a2a3a4a5a6的值.解 (1)在等比数列a n中， a1a9a 3a7，由已知可得 a3a764 且 a3a 720.联立得Error!或Error!an是递增等比数列，a 7a3.取 a34，a 716，164q 4， q44.a11a 7q416464.(2)由 a3a5a ，得 a3a4a5a 8，解得 a42.24 34又 a2
6、a6a 3a5a ，a 2a3a4a5a6a 2 532.24 54类型二 灵活设项求解等比数列例 2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数.解 方法一 设四个数依次为 ad，a，ad， ，a d2a由条件，得Error!解得Error!或Error!所以当 a4，d4 时，所求四个数为 0，4，8，16；当 a9，d6 时，所求四个数为 15，9，3，1.故所求四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.方法二 设四个数依次为 a，a，aq(a0) ，2aq aq由条件，得Error!解得E
7、rror!或Error!当 a8，q2 时，所求四个数为 0，4，8，16；当 a3，q 时，所求四个数为 15，9，3，1.13故所求四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.反思与感悟 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为 ，a，aq；三个数成等差数列，可设为aqad，a，ad.跟踪训练 2 三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数各减去 2，则这三个数成等差数列，求这三个数.解 设三个数依次为 ，a，aq，aq aaq512， a8.aq (aq 2)2a，(aq 2)2q25q20，q 2 或 q
8、 ，12这三个数为 4，8，16 或 16，8，4.类型三 等差数列与等比数列的综合应用例 3 设数列a n的前 n 项和 Snn 2，数列b n满足 bn (n，mN ).anan m(1)若 b1，b 2，b 8成等比数列，试求 m 的值；(2)是否存在 m，使得数列b n中存在某项 bt满足 b1，b 4，b t(tN ，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的 m 的个数；若不存在，请说明理由.解 当 n2 时，a nS nS n1 n 2(n1) 22n1，当 n1 时，a 1S 11，符合上式.数列 an的通项公式为 an 2n1( nN ).(1)由 bn (n，mN )，知
9、b1 ，b 2 ，b 8 ，anan m 11 m 33 m 1515 mb1， b2，b 8成等比数列， 2 .(33 m) 11 m 1515 m解得 m9 或 m0(舍去)，故 m9.(2)若存在 m，使 b1，b 4，b t成等差数列，则 2b4b 1b t， 2 ，77 m 11 m 2t 12t 1 mt 7 .7m 1m 5 7m 5 36m 5 36m 5由于 m，tN 且 t5，令 m536，18，12，9，6 ，4，3，2，1，即 m41，23，17，14，11， 9，8，7，6 时，t 均为大于 5 的整数.存在符合题意的 m 值，且共有 9 个数.反思与感悟 (1)在
10、等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 综 合 问 题 中 ， 特 别 要 注 意 它 们 的 区 别 ， 避 免 用 错公 式 .(2)方程思想的应用往往是破题的关键.跟踪训练 3 已知a n是首项为 19，公差为2 的等差数列， Sn为a n的前 n 项和.(1)求通项公式 an及 Sn；(2)设b na n是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n的通项公式.解 (1)因为a n是首项为 19，公差为2 的等差数列，所以 an192(n1)2n21，S n19n (2)n 220n，即 an2n21(nN )，nn 12Snn 220n(nN ).(2)因为b na n是首项为
11、1，公比为 3 的等比数列，所以 bna n3 n1 ，即 bn3 n1 a n3 n1 2n21(nN ).1.在等比数列a n中，a 28，a 564，则公比 q 为( )A.2B.3C.4D.8答案 A解析 由 a5a 2q3，得 q38，所以 q2.2.在等比数列a n中，a n0，且 a1a1027，则 log3a2log 3a9等于( )A.9B.6C.3D.2答案 C解析 因为 a2a9a 1a1027，所以 log3a2log 3a9log 3273.3.在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为.答案 8解析 设这 8 个数组成的
12、等比数列为a n，则 a11，a 8 2.插入的 6 个数的积为 a2a3a4a5a6a7(a 2a7)(a3a6)(a4a5)(a 1a8)32 38.4.已知 an2 n3 n，判断数列a n是不是等比数列？解 不是等比数列.a1 213 15，a 22 23 2 13，a 32 33 335，a1a3a ，2数列 an不是等比数列.1.解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式、前 n 项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组) ，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1.在数列a n中，a 1
13、1，点(a n，a n1 )在直线 y2x 上，则 a4的值为( )A.7B.8C.9D.16答案 B解析 点(a n，a n1 )在直线 y 2x 上，a n1 2a n，a1 10， an0，an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， a412 38.2.已知各项均为正数的等比数列a n中，lg(a 3a8a13)6，则 a1a15的值为( )A.100B.100C.10000D.10000答案 C解析 lg(a 3a8a13)lga 6，38a 10 6，即 a810 2100.a 1a15a 10000.38 283.在正项等比数列a n中，a n1 0，q0，q1 .2 q 2(1
14、)232 .a9 a10a7 a8 2 27.设各项为正数的等比数列a n中，公比 q2，且 a1a2a3a302 30，则 a3a6a9a30等于( )A.230B.210C.220D.215答案 C解析 a 1a2a3a302 30，a q12329 a 2 30，301 3019qa1 ，a 3a6a9a30a ( 22)10(23)452 20.7103 9102)7二、填空题8.设数列a n为公比 q1 的等比数列，若 a4，a 5是方程 4x28x30 的两根，则 a6a 7.答案 18解析 由题意，得 a4 ，a 5 ，q 3.12 32 a5a4a6 a7(a 4a 5)q2
15、3218.(12 32)9.已知等差数列a n的公差为 2，若 a1，a 3，a 4成等比数列，则 a2.答案 6解析 由题意知，a 3a 14，a 4a 16.a1， a3，a 4成等比数列，a a 1a4，23(a14) 2a 1(a16) ，解得 a18，a26.10.已知数列a n成等比数列.若 a24，a 5 ，则数列a n的通项公式是.12答案 a n4 n2 ，nN ( 12)解析 由 a5a 2q3，得 4q 3，12所以 q .12ana 2qn2 4 n2 ，nN .( 12)11.已知等比数列a n中，有 a3a114a 7，数列b n是等差数列，且 b7a 7，则 b5
16、b 9.答案 8解析 由等比数列的性质，得 a3a11a ，27a 4a 7.27a70， a74.b 7a 74.再由等差数列的性质，知 b5b 92b 78.三、解答题12.等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 S3a ，且 S1，S 2，S 4成等比数列，求a n的通项2公式.解 设a n的公差为 d，由 S3a ，得 3a2a ，故 a20 或 a23.2 2由 S1，S 2，S 4成等比数列，得 S S 1S4.2又 S1a 2d，S 22a 2d，S 44a 22d，故(2a 2d) 2(a 2d)(4 a22d ).若 a20，则 d22d 2，所以 d0，此时 Sn0，不
17、合题意；若 a23，则(6d) 2(3 d)(122d) ，解得 d0 或 d2.因此a n的通项公式为 an3 或 an2n1，nN .13.已知数列a n为等差数列，公差 d0，由a n中的部分项组成的数列为等比数列，其中 b11，b 25，b 317.求数列 bn的通项公式.12bb， ， ， ，解 由题意知 a a 1a17，即(a 14d) 2a 1(a116d) ，所以 a1d2d 2，因为 d0，所以25a12d，数列 的公比 q 3，所以 a 13n1 ，nba5a1 a1 4da1 nb又 a1(b n1)d a1，nbn 12由，得 a13n1 a1.bn 12a1 2d0
18、， bn23 n1 1， nN .四、探究与拓展14.已知方程(x 2mx 2)( x2 nx2) 0 的四个根组成以 为首项的等比数列，则 .12 mn答案 32解析 不妨设 是 x2mx20 的根，则其另一根为 4，12m 4 ；12 92对方程 x2nx20，设其根为 x1，x 2(x1x 2)，则 x1x22，等比数列为 ，x 1，x 2，4，12q3 8， q2，412x1 1， x22，n x1 x2123， .mn 923 3215.在 等 比 数 列 an(n N )中 ， a1 1， 公 比 q 0.设 bn log2an， 且 b1 b3 b5 6， b1b3b5 0.(1
19、)求证：数列b n是等差数列；(2)求b n的前 n 项和 Sn及a n的通项 an；(3)试比较 an与 Sn的大小.(1)证明 因为 bnlog 2an，所以 bn1 b nlog 2an1 log 2anlog 2 log 2q 为常数(q0) ，an 1an所以数列b n为等差数列且公差 dlog 2q.(2)解 因为 b1b 3b 56，所以(b 1b 5)b 32b 3b 33b 36，即 b32.又因为 a11，所以 b1log 2a10，又因为 b1b3b50，所以 b50，即Error!得Error!解得Error!因此 Sn4n (1) .nn 12 9n n22又因为 dlog 2q1，所以 q ，b 1log 2a14，即 a116，12所以 an2 5n (nN ).(3)解 显然 an2 5n 0，当 n9 时，S n 0，n9 n2所以 n9 时，a nS n；又因为 a116，a 28，a 34，a 42，a 51，a 6 ，a 7 ，a 8 ，12 14 18S14，S 27，S 39，S 410，S 510，S 69，S 77，S 84，所以当 n3，4，5，6，7，8 时，a nS n；当 n1，2 或 n9 时，a nS n.
