1、2.2.2 二次函数的性质与图象学习目标 1.会用“描点法”作出 y ax2 bx c(a0)的图象.2.通过图象研究二次函数的性质.3.掌握研究二次函数常用的方法配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域).知识链接函数 y x22 x2( x1) 21，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线 x1，单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(，1).预习导引1.二次函数(1)定义：函数 y ax2 bx c(a0)叫做二次函数.(2)解析式：一般式： y ax2 bx c(a0).顶点式： y a(x h)2 ，其中( h， )为顶点.两根式： y a(x x1)(x x2)，其中 x1，
2、 x2为方程 ax2 bx c0( a0)的根.2.二次函数的性质与图象函数 二次函数 y ax2 bx c(a， b， c 是常数， a0)a0 a0图象抛物线开口向上 抛物线开口向下对称轴是 xb2a对称轴是 xb2a在区间(， 上是减函数，b2a在区间 ，)上是增函数b2a 在区间(， 上是增函数，b2a在区间 ，)上是减函数b2a性质当 x 时， y 有最小值， yminb2a当 x 时， y 有最大值， ymaxb2a 4ac b24a4ac b24ab0 时为偶函数， b0 时为非奇非偶函数解决学生疑难点要点一 二次函数的图象与应用例 1 画出函数 f(x) x22 x3 的图象，
3、并根据图象回答下列问题：(1)比较 f(0)， f(1)， f(3)的大小；(2)若 x1 x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小；(3)由图象判断 x 为何值时， y0， y0， y0.解 f(x) x22 x3( x1) 24 的图象如图所示.(1)由图可知，二次函数 f(x)的图象对称轴为 x1 且开口向下，且|01|31|，故 f(1) f(0) f(3).(2) x1 x21，| x11| x21|， f(x1) f(x2).(3)由图可知：当 x3 或 x1 时， y0；当 x1 或 x3 时， y0；当1 x3 时， y0.规律方法 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决
4、定 a 的符号，在 y 轴上的交点决定 c 的符号(值)，对称轴的位置决定 的符号.另外，还要注意与 x 轴的交点，函数的单b2a调性等，从而解决其他问题.跟踪演练 1 已知二次函数 y2 x24 x6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断 x 为何值时， y0， y0， y0.解 (1)由 y2 x24 x62( x1) 28，图象如图由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，8).(2)由图象可知， x3，或 x1 时， y0；x1 或 x3 时， y0；1 x3 时， y0.要点二 二次函数性质及应用例 2 已知函
5、数 f(x) x|x2|.(1)画出函数 y f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知 f(x) ，求 x 的值.14解 (1) f(x) x|x2|Error!作图如下：(2)单调递增区间(，1，2，)；单调递减区间(1,2)，(3) f(x) ，当 x2 时， x22 x ，14 14 x1 或 x1 (舍去)，52 52当 x2 时， x22 x ，14 x1 ，32 x 的值为 1 ，1 .32 52规律方法 二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识，注意数形结合寻找解题思路.跟踪演练 2 若函数 f(x)(
6、 a2) x22 x4 的图象恒在 x 轴下方，则 a 的取值范围是_.答案 (， )74解析 由题意知，二次函数开口向下且与 x 轴无交点.即Error!解得 a .74要点三 二次函数最值问题例 3 (1)当2 x2 时，求函数 y x22 x3 的最大值和最小值.(2)当 1 x2 时，求函数 y x2 x1 的最大值和最小值.(3)当 x0 时，求函数 y x(2 x)的取值范围.解 (1)作出函数的图象，如图(1).当 x1 时， ymin4；当 x2 时， ymax5.(2)作出函数的图象如图(2).当 x1 时， ymax1；当 x2 时， ymin5.(3)作出函数 y x(2
7、 x) x22 x 在 x0 时的图象，如图(3).可以看出：当 x1 时， ymin1，无最大值.所以，当 x0 时，函数的取值范围是 y|y1.规律方法 求二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)在 m， n上的最值的步骤：(1)配方，找对称轴；(2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间外，则 f(x)在 m， n上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在 m， n端点处取得.跟踪演练 3 求函数 y x22 x3 在区间0， a上的最值，并求此时 x 的值.解 对称轴： x1，抛物线开口向上.(1)当 0 a1 时，函数在0， a上单
8、调递减，当 x0 时， ymax3；当 x a 时， ymin a22 a3.(2)当 1 a2 时，函数在0,1上单调递减，在1， a上单调递增，当 x1 时， ymin2；当 x0 时， ymax3.(3)当 a2 时，函数在0,1上单调递减，在1， a上单调递增，当 x1 时， ymin2，当 x a 时， ymax a22 a3.1.函数 y32 x x2(0 x3)的最小值为( )A.1 B.0 C.3 D.4答案 B解析 y32 x x2( x1) 24，函数在0,1上单调递增，在1,3上单调递减， y32 x x2(0 x3)的最小值为y3233 20.2.已知一元二次函数 y
9、x22 x4，则函数( )A.对称轴为 x1，最大值为 3B.对称轴为 x1，最大值为 5C.对称轴为 x1，最大值为 5D.对称轴为 x1，最小值为 3答案 C解析 由 y x22 x4( x1) 25，知对称轴为 x1，最大值为 5.3.二次函数 f(x) a2x24 x1 的顶点在 x 轴上，则 a 的值为( )A.2 B.2C.0 D.2答案 D解析 由 0 即 164 a20 得 a24，故 a2.4.下列区间中，使函数 y2 x2 x 为增函数的是( )A.R B.2，)C. D.14， ) ( ， 14答案 D解析 函数 y2 x2 x2 2 的图象的对称轴是直线 x ，图象的开
10、口向下，(x14) 18 14所以函数值在对称轴 x 的左边是增加的.145.函数 f(x) x22 x3 在区间2,3上最大值与最小值的和为_.答案 1解析 f(x)( x1) 24， f(x)在2,1上单调递增，在1,3上单调递减， f(x)max4， f(x)min f(2)5，541.1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非 R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
