1、1.1.4 投影与直观图学习目标：1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤(重点)2.会用斜二测画法画出一些 简单平面图形和立体 图形的直观图(难点)3.强化三视图、直 观图、原空间几何体形状之间的相互转换 (易错、易混点)自 主 预 习探 新 知1投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面2用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤3空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z 轴(2)画底面：平面 xOy表示水平平面，平
2、面 yOz 和 xOz表示竖直平面(3)画侧棱：已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线基础自测1思考辨析(1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同( )(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴( )(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变( )(4)斜二测坐标系取的角可能是 135.( )提示 (1) (2)(3) 平行于 x 轴的不变，平行于 y 轴的减半(4)2如图 121 所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )图 121A 由直观图可知，该平面图形为
3、两腰不与底边垂直的梯形，故选 A.3水平放置的ABC 的直观图如图 122 所示，已知AC3，BC2，则 AB 边上的中线的实际长度为_图 1222.5 由于在直观图中ACB45 ，则在原图形中ACB90 ，AC3， BC4，AB 5，AB 边上的中线为 2.5.合 作 探 究攻 重 难平面图形的直观图按图 123 的建系方法，画水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 图 123解 画法：(1)在图中作 AGx 轴于 G，作 DHx 轴于 H.(2)在图中画相应的 x轴与 y轴，两轴相交于点 O，使 xOy45.(3)在图中的 x轴上取 OBOB，OGOG， OCOC，O HOH，y 轴上取
4、 OEError!OE，分别过 G和 H作 y轴的平行线，并在相应的平行线上取GA Error!GA，HDError!HD.(4)连接 AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线 GA，HD，x轴与 y轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 ABCDE(如图)规律方法 画平面图形的直观图的技巧1在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2画平面图形的直 观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.跟踪训练1画水平放置的直角梯形的直观图，如图
5、124 所示图 124解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相 应的 x轴和 y轴，使xOy45，如图 所示 (2)在 x轴上截取 OBOB，在 y轴上截取 ODError!OD，过点 D作 x轴的平行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC .连接 BC，如图 .(3)擦去辅助线 ，所得四边形 OBCD就是直角梯形 OBCD 的直观图如图.空间几何体的直观图的画法画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图思路探究：本题所要画的是四棱锥的直观图，是空间图形，所以要先画底面，先画水
6、平放置的正方形的直观图，再画侧棱，最后成图解 画法：(1) 画 轴画 Ox 轴， Oy 轴，Oz 轴，xOy45(或 135)，xOz 90，如图(2)画底面以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观图 ABCD.(3)画顶点在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度等于原四棱锥的高(4)成图顺次连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图规律方法 画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于 z 轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：跟踪训练2用斜二测画法画长、宽
7、、高分别为 4 cm,3 cm,2 cm 的长方体 ABCD-ABC D的直观图解 画法：(1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O，使 xOy 45，xOz90.(2)画底面以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN4 cm；在 y 轴上取线段 PQ，使 PQError! cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行 线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A，B，C，D，四 边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.(3)画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线 ，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA，BB，CC，
8、DD.(4)成图顺次连接 A，B，C，D，并加以整理 (去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线) ，就得到长方体的直观图.直观图的还原与计算探究问题1如图 125，ABC是水平放置的ABC 斜二测画法的直观图，能否判断ABC 的形状？图 125提示 根据斜二 测画法规则知：ACB90，故 ABC 为直角三角形2若探究 1 中ABC的 AC6，BC4，则 AB 边的实际长度是多少？提示 由已知得 ABC 中， AC6，BC8，故 AB10.3如图 126 所示，ABC是水平放置的ABC 的直观图，则在ABC 的三边及中线 AD 中，最长的线段是哪个？图 126提示 由直观图 可知 ABC 是以 B
9、为直角的直角三角形，所以斜边 AC 最长(1)如图 127，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB ，则这个平面图形的面积是( )A1 B C 2 D4图 127 图 128(2)如图 128 所示，梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图若A1D1 Oy，A 1B1C 1D1，A 1B1Error!C 1D12，A 1D1OD 11.试画出原四边形，并求原图形的面积. 【导学号：07742041】思路探究：逆用斜二测画法，还原原图形先定点，再 连线得原图，求面积解 (1)由题图知，OAB 为直角三角形OB，AB ，OA2.在原OAB 中，OB ，OA4， SOABError
10、!42.选 C.(2)如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 ODO D11；OC O C12. 在过点 D 与 y 轴平行的直线上截取 DA2D 1A12.在过点 A 与 x 轴平行的直线上截取 ABA 1B12.连接 BC，便得到了原图形(如图)由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB2， CD 3，直角腰 长 度为 AD2.所以面积为 SError!25.母题探究：1.本例(2)中的条件改为如图 129 所示的直角梯形，ABC45 ，ABAD 1，DCBC ，求原图形的面积. 图 129解 如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，则在 R
11、tABE 中，AB1， ABE45 ，所以 BEError! .而四边形 AECD 为矩形，AD1，所以 ECAD 1.所以BCBEEC Error! 1.由此可还原原图形如图，是一个直角梯形在原图形中，AD 1，AB2， BCError!1，且 ADBC，ABBC，所以原图形的面积为 SError!(ADB C)ABError!Error!22Error! .2本例(1)若改为 “已知ABC 是边长为 a 的正三角形，求其直观图ABC 的面积” ，应如何求？解 由斜二测画法规则可知，直观图A BC一底边上的高为Error!aError!Error!Error!a，所以 SABCError!
12、aError!aError!a 2.3本例(1)中直观图中 O AB 的面积与原图形面积之比是多少？解 由(1)中直观图可得 SOABError! 1，原图形面积为 SOAB2.所以Error!Error!Error! .规律方法 1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与 x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于 x轴的线段 还原时长度不 变，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点， 顺次连接即可2直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面积为 S，则有 SError! S 或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观
13、图面积或由直观图面积求原图形面积当 堂 达 标固 双 基1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A原来相交的仍相交 B原来垂直的仍垂直C原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点B 由斜二测画法规则知，B 选项错误故选 B.2如图 1210，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的形状是( ) 图 1210A 根据斜二测画法知，在 y 轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的 2倍，故 A 正确3如图 1211 所示为水平放置的正方形 ABCO，它在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2) ，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点
14、 B到 x轴的距离为_图 1211Error! 画出直观图，BC 对应 BC，且BC1， BCx45，故 顶点 B到 x轴的距离为Error! .4如图 1212，平行四边形 OPQR是四边形 OPQR 的直观图，若OP 3， OR 1，则原四边形 OPQR 的周长为_图 121210 由直观图可知，原 图形是矩形 OPQR，且 OP3，OR2.故原四边形OPQR 的周长为 10.5画出水平放置的四边形 OBCD(如图 1213 所示)的直观图. 解 (1)过点 C 作 CEx 轴，垂足 为点 E，如 图所示，画出对应的 x轴、y轴，使 xOy45 ，如图 所示 图 1213(2)如图所示，在 x轴上取点 B，E，使得 OBOB，O EOE；在 y轴上取一点 D，使得 ODError!OD；过点 E作 ECy轴，使 ECError!EC .(3)连接 BC，CD，并擦去 x轴与 y轴及其他一些辅助线，如图 所示，四边形 OBCD就是所求的直观图
