1、 1.对数的概念如果 a(a0，a1)的 b 次幂等于 N，即 abN ，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作logaNb，其中_a_叫作对数的底数，_N_叫作真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0 ，N0，那么log a(MN)log aMlog aN；log a log aMlog aN；MNlog aMnnlog aM (nR)；log amMn logaM(m，nR，且 m0).nm(2)对数的性质alog aN_N_；log aaN_N _(a0 且 a1).中华.资*源% 库 (3)对数的重要公式换底公式 logbN (a，b 均大于
2、零且不等于 1)；logaNlogablog ab ，推广 logablogbclogcdlog ad.1logba3.对数函数的图像与性质a1 01 时，y0当 01 时，y04.反函数指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 互为反函数，它们的图像关于直线_yx_对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)若 MN0，则 loga(MN)log aMlog aN.( )(2)logaxlogaylog a(xy ).( )(3)函数 ylog 2x 及 ylog 3x 都是对数函数.( )1(4)对数函数 ylog ax(a0，且 a1)在(0 ，)上是增函
3、数.( )(5)函数 yln 与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( )1 x1 x(6)对数函数 ylog ax(a0 且 a1)的图像过定点(1,0) ，且过点( a,1)， ，函数图像只在(1a， 1)第一、四象限.( )1.(2015湖南)设函数 f(x)ln(1 x )ln(1x )，则 f(x)是( )A.奇函数，且在(0,1) 上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1) 上是减函数答案 A解析 易知函数定义域为( 1，1) ，f (x )ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数 f(x)为奇函数，又 f(x
4、)ln ln ，由复合函数单调性判断方法知，f (x)在(0,1)上是增函数，1 x1 x ( 1 2x 1)故选 A.2.设 alog ，blog ，clog 3 ，则 a，b，c 的大小关系是 ( )1312 1323 43A.a ，c1 时，函数单调递增，所以只有选项 B 正确.4.已知 x，y，z 都是大于 1 的正数，m 0，且 logxm24，log ym40，log xyzm12，则logzm 的值为( )A. B.60160C. D.2003 320答案 B解析 由已知得 logm(xyz)log mxlog mylog mz ，而 logmx ，log my ，故112 12
5、4 140logmz log mxlog my ，即 logzm60.112 112 124 140 1605.(教材改编) 若 loga 0，且 a1)，则实数 a 的取值范围是_.34答案 (1，)(0，34)解析 当 01 时，log a 1.34 34实数 a 的取值范围是 (1 ，).(0，34)题型一 对数式的运算例 1 (1)设 2a5 bm，且 2，则 m 等于( )1a 1bA. ZB.1010C.20 D.100(2)lg lg 的值是_.5 20答案 (1)A (2)1解析 (1)2 a5 bm，a log2m，blog 5m， log m2log m5log m102.
6、1a 1b 1log2m 1log5mm .10(2)原式lg lg 101.100思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算 _.1 log632 log62log618log64(2)已知 loga2m ，log a3n，则 a2mn _.答案 (1)1 (2)12解析 (1)原式1 2log63 log632 log663log663log641 2log63 log632 1 log631 log63log641 2log63 log632 1 log632log6
7、4 1.21 log632log62 log66 log63log62 log62log62(2)log a2m，log a3n，a m2，a n3，a 2mn ( am)2an2 2312.题型二 对数函数的图像及应用例 2 (1)函数 y2log 4(1x )的图像大致是( )(2)当 01 时不满足条件，当 0 ，所以 a 的取值范围为 .22 ( 22，1)方法二 04x1，01，则 0ba B.bcaC.acb D.abc答案 D解析 由对数运算法则得 alog 361log 32，b1log 52，c1log 72，由对数函数图像得 log32log52log72，所以 abc，故
8、选 D.命题点 2 解对数不等式例 4 若 loga(a21)0，故必有 a212a，又 loga(a21)1，所以 a .综上，a( ，1).12 12命题点 3 和对数函数有关的复合函数例 5 已知函数 f(x)log a(3ax).(1)当 x0,2 时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由.解 (1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，x0,2时，t( x)的最小值为 32a，当 x0,2时，f(x)恒有意
9、义，即 x0,2时，3ax0 恒成立.32a0.a0 且 a1，a(0,1) .(1，32)(2)t(x)3ax，a0 ，函数 t(x)为减函数.f(x)在区间1,2上为减函数，y log at 为增函数，a1，x1,2时，t(x)最小值为 32a，f (x)最大值为 f(1)log a(3a)，Error!即Error!故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1.$来& 源：思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在中华.资*源%库 利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真
10、数必须为正的限制条件.(1)设 alog 32，blog 52，clog 23，则( )A.acb B.bcaC.cba D.cab(2)若 f(x)lg( x22ax 1a)在区间( ，1上递减，则 a 的取值范围为( )A.1,2) B.1,2C.1，) D.2，)(3)设函数 f(x) Error!若 f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是( )A.(1,0)(0,1) B.(，1)(1，)C.(1,0)(1 ，) D.(，1)(0,1)答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1) 2，3 5log 3 log22，5 1，cab.12 12(2)令函数 g(x)x 22ax 1
11、a( xa) 21aa 2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有Error!即Error!解得 1a1 或1bc B.bacC.acb D.cba(3)已知 a ，b ，c ，则( )2log3.454log3.63log0.1)5A.abc B.bacC.acb D.cab思维点拨 (1)可根据幂函数 yx 0.5 的单调性或比商法确定 a，b 的大小关系，然后利用中间值比较 a，c 大小.(2)a，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和 c 比较.(3)化为同底的指数式.解析 (1)根据幂函数 yx 0.5 的单调性，可得 0.30.5log0.30.31，即 c1.所以 b
12、log221，blog log 2 log3 log43.6.103方法二 log 3 l 中华.资*源%库 og331，且 1，103log 43.6log3 log43.6.103 103由于 y5 x为增函数， .24loglog. log3655即 ，故 acb.32 4log0.log3.4l3.61()答案 (1)C (2)C (3)C温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入
13、中间量，一般选 0 或 1.方法与技巧1.对数值取正、负值的规律当 a1 且 b1 或 00；当 a1 且 01 时，log ab1 进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线 y1 交点的横坐标进行判定.失误与防范1.在运算性质 logaMlog aM 中，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为logaM loga|M|(N ，且 为偶数).中华.资*源% 库 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训
14、练(时间 40 分钟)1.若函数 ylog ax(a0，且 a1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题图可知 ylog ax 的图像过点(3,1)，log a31，即 a3.A 项，y3 x ( )x在 R 上为减函数，错误；13B 项，y x 3 符合；C 项，y (x) 3x 3 在 R 上为减函数，错误；D 项，ylog 3(x)在( ，0)上为减函数，错误.2.函数 yln 的图像为( )1|2x 3|答案 A解析 易知 2x30，即 x ，排除 C、D.当 x 时，函数为减函数，当 x0，log 5ba，lg bc,5 d10，则下列等式一定成立的是 ( )
15、A.dac B.acdC.cad D.dac答案 B解析 log 5ba，lg bc ，两式相除得 ，log 510 .5 d10，log 510d，dlog5blg b ac ac，cda.故选 B.ac4.设 f(x)lg 是奇函数，则使 f(x)0，a1) ，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间 0， 上的最大值.32解 (1)f(1)2，log a42(a0，a1)，a2.由Error! 得 x(1,3)，函数 f(x)的定义域为(1,3).(2)f(x)log 2(1x)log 2(3 x)log 2(1x)(3x )log 2(x1) 2
16、4 ，当 x(1,1时，f(x)是增函数；当 x(1,3)时，f(x )是减函数，故函数 f(x)在0， 上的最大值是 f(1)log 242.32B 组 专项能力提升(时间 20 分钟)11.(2015陕西)设 f(x)ln x,0ab，若 pf ( )，qf ，r (f(a)f(b) ，则下列关ab (a b2 ) 12系式中正确的是( )A.qrp B.pr p D.prq答案 B解析 0ab， ，a b2 ab又f(x )ln x 在(0 ，)上为增函数，f f( )，即 qp.(a b2 ) ab又 r (f(a)f( b) (ln aln b) ln p，12 12 ab故 prq
17、.选 B.12.设函数 f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时，f (x)ln x，则有( )A.f( )| 1| 1| ，13 12f( )0，且 a1) 的最大值是 1，最小值是12 ，求 a 的值.18解 由题意知 f(x) (logax 1)(logax2)12 (log x3log ax2) (logax )2 .12 2a 12 32 18当 f(x)取最小值 时，log ax .18 32又x2,8，a(0,1).f(x)是关于 logax 的二次函数，函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得.若 (loga2 )2 1，12 32 18则 a ，3此时 f(x)取得最小值时，x132() 2,8，舍去.2若 (loga8 )2 1，则 a ，12 32 18 12此时 f(x)取得最小值时，x 2 2,8，3()2符合题意，a .12
