1、高三数学参数方程讲义.txt 大悲无泪，大悟无言，大笑无声。我们手里的金钱是保持自由的一种工具。女人在约会前，一定先去美容院；男人约会前，一定先去银行。 本文由lhh20011981 贡献doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。高三数学参数方程讲义 数学 参数方程讲义一 知识结构二 教学重点与难点 重点： 1根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。 2分析直线，圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。 难点： 根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。 三本讲内容提要 1参数方程的概念：在平面直角坐
2、标系中，如果曲线上任意一点的坐标 变数 的函数 都是某个并且对于 的每一个允许值， 由这个方程所确定的点 线上，那么这 个方程就叫做这条曲线的参数方程， 联系变数 的变数都在这条曲叫做参变数， 简称参数。相对于参数 方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2圆的参数方程可表示为.参数的几何意义是 圆上一点和圆心的连线与 X 轴正半轴的夹角。3椭圆参数方程（为参数）4双曲线参数方程（ 为参数） ，5抛物线的参数方程可表示为. t 为以抛物线上一点（X,Y）与其顶 点连线斜率的倒数。6 经过点， 倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为（t为参数） 。 设 M(x,y)为直线上的任意一点
3、，参数 t 的几何意义是指从点 P 到点 M 的位移，可以 用有向线段 数量来表示。参数 t 带符号. 四 典型例题 1直线的参数方程及其应用 求直线上点的坐标 1一个小虫从 出发，已知它在 x 轴方向的分速度是3，在 y 轴方向的分 速度是 4，问小虫 3s 后的位置 Q。分析：考虑 t 的实际意义，可用直线的参数方程(t 是参数)。解：由题意知则直线 PQ 的方程是 。 关于直线 l：，其中时间 t 是参数，将代入得2求点的对称点的坐标。解：由条件，设直线的参数方程为(t 是参数)，A 到直线 l 的距离， 代入直线的参数方程得。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再
4、用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 求解中点问题3 已知双曲线 的中点 的轨迹方程。， 过点的直线交双曲线于， 求线段分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有解：设 M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线 P1P2 的方程是 代 入 双 曲 线 方 程(t 是参数)， 得 ：由题意，即，得。又直线的斜率，点在直线上， 求定点到动点的距离，即为所求的轨迹的方程。4直线 l 过点 P(1，2)，其参数方程为 交于点 ，求 。(t 是参数)，直线 l 与直线解：将直线 l 的方程化为标准形式， 代入得点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将
5、方程改成以位 移为参数的标准形式。5经过点 求 和，倾斜角为 的值。的直线 l 与圆相交于两点，解：直线 l 的方程可写成 设点 A，B 对应的参数分别是 由 与 的符号相反知，代入圆的方程整理得： ，则 ，点评： 解决本题的关键一是正确写出直线的参数， 二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。 求直线与曲线相交弦的长 6已知抛物线 ，过焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 两点，求证： 分析：弦长。解：由条件可设 得的方程为( 是参数)，代入抛物线方程，由韦达定理：，。7已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60的直 线交椭圆于 分析： 两点，若 ，求则椭圆的离
6、心率。 或 。转化成直线参数方程中的解：设椭圆方程为，左焦点，直线的方程为，代入椭圆整理可得：，由于，则， 代入，得：，将，得，故。点评： 在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时， 往往要正确写出直线的参数方程， 利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直 线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来 求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。 2圆的参数方程8已知曲线 C1：（ 为参数） ，曲线 C2：（t 为参数） （）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （）若把 C1，C2
7、 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 出 的参 数方程 与 公共点的个数和 C 公共点的个数是否相同？说明你的 写理由 分析：从参数方程来看曲线 C1 为圆，曲线 C2 为直线，也可以通过消参数，求得曲线 的普通方程判断。并由参数方程进行图象的变换，得到曲线 方程解方程组判断其交点的个数。 ，再将其方程化为普通解： ） 是圆， 是直线 的普通方程为 （ 半径 的普通方程为 的距离为 ， 所以 与 只有一个公共点， 圆心，因为圆心到直线（）压缩后的参数方程分别为：（ 为参数） ；：（t 为参数） 化为普通方程为： 联立消元得 所以压缩后的直线：， ，其判别式：， ， 与 公共点个与椭
8、圆仍然只有一个公共点， 和数相同 点评： 本题较为综合的考查了参数方程和普通方程之间的转化， 在研究图象的伸缩变换 时用参数方程比较容易得到。而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过解方程组得到较 好。9若直线与曲线为参数，且有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 分析：本题中参数方程表示的是圆的一部分，可以通过图形解答。解：曲线为参数，且表示的以原点为圆心， 以 1 为半径的右半圆， 如图，直线 与曲线有两个不同的交点,直线应介于两直线之间则答案： 点评：对于熟悉的曲线常用数形结合法解答.10在平面直角坐标系 xy 中，直线 L 的参数方程为， （参数） ，圆的参数方程为（参数） ，则圆的圆心
9、坐标为，圆心到直线 L 的距离为。 分析：把参数方程转化为普通方程,并由点到直线的距离公式求解.解：消去的参数 ，得；消去的参数 ，得 xy6，所以圆的圆心坐标是（0，2） 。圆心到直线 L 的距离是 ，或直线的方程为 x+y-6=0，圆心到直线 L 的距离是 d= 答案： ；。点评：对于含有正弦余弦的参数方程常常利用正弦余弦的平方和消参转化.11设曲线的参数方程为（为参数） ，直线 的方程为，则曲线 A、1 解：化曲线 B、2上到直线 距离为 C、3 D、4的点的个数为( )的参数方程为普通方程：，圆心 线和圆相交，到直线的距离，直过圆心和 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求，又 在直线
10、的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选 B. 点评：解决这类问题首先把曲线，的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线上到直线 距离为，然后再判断知，进而得出结论. 3圆锥曲线的参数方程11. 已知椭圆方程为 椭圆上任一点，引 方程。 ，椭圆长轴的左、右顶点分别为 A1、A2，P 是 ，且 与 的交点为 ，求点 的轨迹解：设椭圆的参数方程为 （ ） ，则 P 点坐标为由题意知，. A1Q 的方程为 y=A2Q 的方程为 y= ，得.化简整理，得即为所求的轨迹方程。12已知定点、，动点 C 在椭圆上运动（如图） 。求面积的最大值和最小值。 解：依题设易求得
11、的方程为 ，已知椭圆的参数方程为 则椭圆上点 到直线 PQ 的距离显然，当 =时，d 最大，且 d 最大值=此时 SPQC 的最大值是d 最大值；当 13直线 和时，d 最短，d 最小值= 与抛物线 长为 ，求此时 SPQC 的最小值为 相交于原点和 的值。点， 为抛物线上一点，垂直，且线段解析： 设点分别为， 则，的坐标分别为 14已知 程 解析：设 ， ， 为抛物线 上两点，且 ，求线段 中点的轨迹方据 的几何意义，可得设线段中点，则消去参数 得 五 本周测试 一、选择题点的轨迹方程为1曲线与坐标轴的交点是（ ）ABCD2直线被圆截得的弦长为（ ）ABCD3若点 A 二、填空题在以点 B为
12、焦点的抛物线 C D上，则等于（ ）4直线的斜率为。5参数方程的普通方程为6 已知直线 则 。与直线相交于点， 又点，7直线被圆截得的弦长为。三、解答题 8已知点 （1）求 （2）若 是圆 的取值范围； 恒成立，求实数 的取值范围。 上的动点，9在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。10已知直线 经过点,倾斜角，（1）写出直线 的参数方程。 （2）设 与圆 六 本周测试参考答案： 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积。1B2B3C45678. 解： （1）设圆的参数方程为，（2）9 解：设椭圆的参数方程为，当时，此时所求点为。10 解： （1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入得 ，则点 到 两点的距离之积为1
