1、http:/ 本大题共 14 小题，每小题 5 分，合计 70 分. 请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1已知集合 |3,1,234AxRB，则 ()RAB .2已知复数 1()azi，若复数 z为纯虚数，则实数 a的值为 .3已知角 的终边经过点 2,1)P，则 cos()3的值为 .4已知数据 a，4，2，5，3 的平均数为 b，其中 a， b是方程 2430x的两个根，则这组数据的标准差是 .5已知函数 ()fx是以 5 为周期的奇函数，且 ()f，则 ()f .6以下程序运行后结果是_.1i 8Whle23iSiEndhlePrt7如图，一个正四面体的展开图是边长为 2的正三角形 A
2、BC，则该四面体的外接球的表面积为 .8已知 |1,(,3)ab， |3ab，则 a与 b的夹角为 .9已知数列 n的前 项和为 nS， 1，且 321nS（ 为正整数）则数列na的通项公式为 .10命题：“存在实数 x，满足不等式 2(1)10mx”是假命题，则实数m的取值范围是 .CBA（第 7 题）http:/ 20axby(,)abR与曲线 3yx过点 (1,)的切线垂直，则 ba= .12如果椭圆 12上存在一点 P，使得点 P 到左准线的距离等于它到右焦点的距离的两倍，那么椭圆的离心率的取值范围为 .13定义在 D上的函数 )(xf，如果满足对任意 Dx，存在常数 0M，都有()M
3、fx成立，则称 f是 上的有界函数，其中 称为函数 fx的上界若函数 124xa在 (,0上是以 3 为上界的有界函数，则实数 a的取值范围为 .14已知数列 n的通项公式是 1n，数列 nb的通项公式是 31nb，令集合,21 aA， ,21bB， *N将集合 BA中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 nc则数列 nc的前 45 项的和 45S= .二、解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 每题 14 分，18-20 每题 16 分，共计 90 分. 请在答题纸指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15已知四边形 ABCD的外接圆的半径 R为，对角线 A
4、C的长为 23.（）求角 的大小；（）求四边形 面积的最大值. 16某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品吨，需矿石 3 吨，煤吨，生产乙产品吨，需矿石吨，煤吨工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过 6 吨，煤不超过 10 吨.（）求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；（）当甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，求甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数的概率；http:/ PABCD的底面是菱形， 60BCD，点 E是 BC边的中点，ACDE与交于点 O， 平 面 .（1）求证： ；（2）在线段 上是否存在一点 F，使得 平面 P？若存在，求四棱锥FB与四棱锥 的体积之比；
5、若不存在，试说明理由.18.如图， ABC的三个顶点坐标分别为 (6,0)(2,)(0,6)ABC， DE分别是高 O的两个三等分点，过 D作直线 FG C，分别交 A和 于 GF，连接 （）求过 E、 G、 三点的圆 M的方程；（）在线段 上是否存在点 H，使得过点 存在和圆 M 相切的直线，并且若过点H存在两条切线时，则点 和两切点 ,PQ组成的 90H？若存在，求出 H点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由.OA BGFDECxyhttp:/ ABC 的三边长 abc,满足 c（1）对于给定的正整数 n和正数 ，在 ,之间插入 1n个数，使这 1n个数构成以a为首项的等差数列 a，求 1
6、2Sa 的最大值；（2）求证：若 bc,成等比数列，则 bc,中最多有一个是整数；（3）已知 a均为正整数，且 a成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，记第 n个为 nb，且 123(1)nTbb ，求满足不等式|32nT的所有 的值.20如图， ,AB是函数 2xye的图像上两点，分别过 ,AB作 x轴的平行线与函数xye的图像交于 ,CD两点 .（）求点 与原点 O连成直线的斜率取值范围；（）若直线 过原点 ，求证直线 C也过原点 O；（）当直线 B与 y轴平行时，设 B点的横坐标为 x，四边形 ABDC的面积为 ()fx，若方程 2()30xfe在区间 ,1t上有实数解，
7、求整数 t的值.OCxADByhttp:/ 在 A，B，C，D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.B.选修 42 矩阵与变换已知矩阵 03，点 (1,)M，点 (1,)N.（1）求线段 N在矩阵 A对应的变换作用下得到的线段 M的长度；（2）求矩阵 的特征值与特征向量.C.选修 44 ：坐标系与参数方程已知曲线 C的参数方程为 2sin,0,)coxy，曲线 D的极坐标方程为sin()24（1）将曲线 的参数方程化为普通方程；（2）曲线 与曲线 D有无公共点？试说明理由http:/ na的前 项和为
8、 nS，通项公式为 1na， 21()2nSf， ， ，（1）计算 (1),2(3)ff的值；（2）比较 n与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.23如图所示，某城市有南北街道和东西街道各 1n条，一邮递员从该城市西北角的邮局 A出发，送信到东南角 B地，要求所走路程最短.（1）求该邮递员途径 C 地的概率 ()f；（2 ）求证： 21()3nf， （ *N）. ABChttp:/ ,23； 2 ；3 1520；4 ；5-2 ；6 19；7 ；8 2；9 1()3na；10 3m；11 1或 43 12 7,)4；13 5,；142627；15解：（1）由 2sinACRD，得 23si
9、n4ACR，3 分又角 为三角形的内角，所以 或 D. 5 分（2）若 3 ，则 3B. 6 分设 ,ABaCbcAd，则有2 2oscdD，即212abcd. 8 分又 22,abd，http:/ 412abcd，当且仅当 2,3abcd时等号成立，10 分3sinsi()44ABCDScdD， 12 分当 3时， B同样可得 ABCDS，所以四边形 面积的最大值为 3. 14 分16解：设甲，乙两种产品各生产 ,xy吨,由题意得3610xy3 分（1）设甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件 A，又甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数等价于 xy，所以事件 A发生的概率 ()PA为
10、图中三角形 OD的面积与四边形 OBC的面积之比5 分由 360yx得 32xy，于是相关点的坐标为(2,)A， (1,)， (,)， (,)D，8 分OD面积为 132S，四边形 BC的面积20433S所以所求概率 129()483SPA10 分（2）设甲，乙两种产品生产的吨数均为整数时，甲产品生产的吨数不小于乙产品生产的吨数为事件 B，则事件 发生概率为含在 OD内部与边界上的整数点与含在四边形 OABC内部与边界上的整数点的个数之比12 分O ABCDxyhttp:/ OABC内部与边界上的整数点共有九个点，含在 D内部与边界上的整数点共有四个点，所以所求概率 4()9P 14 分17解
11、：（1）在菱形 中，连接 ,DB因为 60C，故 BD是等边三角形因为 E是 BC边的中点，所以 E 分由于 POA平 面 ， A平 面 ，所以 PO，分而 D，所以 平面 PD，又由于 平面 E，所以 BC分（2）在线段 上存在一点 F，使得 平面 E，分取 A中点 M, P中点 ,连接 ,M，因为 12B所以 DE又 平面 DE，平面 ，所以 平面 P，同理可得 F平面又因为 ，所以平面 FB平面 E因为 B平面 M，所以 平面 ：12 分因为 为 AP中点,所以于是四棱锥 A的高是四棱锥 PABCD的高的一半，又因为四棱锥 FED的底面积是四棱锥 P的底面积 34，所以四棱锥 B与四棱锥
12、 BC的体积之比是 814 分法二:事实上，过点 作 G交 A于 ，过 G作 FOP，交 A于 F，连 B，因为 E， 平面 PE， 平面 DE，所以 B平面 DE，因为 GFOP， 平面 D， O平面 ，所以 平面 ，10 分又因为 B，所以平面 BF平面因为 平面 BGF，所以 平面 ；12 分由（）知 为等边 C的中心，于是 G为等边 A的中心，所以 A，即 为 A中点，所以 F为P中点，于是四棱锥 FE的高是四棱锥 PBCD的高的一半，又因为四棱锥 D的底面积是四棱锥 BD的底面积 34，所以四棱锥 E与四棱锥 AC的体积之比是 814 分GFFMhttp:/ GF方程为： 2yx直线
13、 BC方程为 36yx由 2yx可得 1，即 (,3) 2 分又 (0,4)E，所以直线 EF与 D的斜率之积1(GFk，所以 ，所以过 三点的圆 M的圆即以 EG为直径的圆4 分由 (2,0)(,4E知：圆心为 (1,2)，半径 5r，所以圆 的方程为 2)5xy，即 240xy6 分（2）假设在线段 AC上存在满足条件的点 H，则点 在圆 M上，或在圆 外，当点在圆 M外时，过点 H存在两条切线，由点 和两切点 ,PQ组成的 90H得，直角P的一个锐角 45PM，于是 2r，即 18 分因为 点线段 AC： 6(0)yx上，所以可设 点坐标为(,6)(0)x，所以由 2221(6)10Hx
14、，得515122，满足 60，10 分所以线段 AC上存在点 满足条件线段 上满足 512x的点 (,)xy对应线段长为12H12 分又因为圆心 (1,2)M到线 AC的距离为 |126|3d所以直线 A被圆 截得的弦长为 295r 14 分OA BGFDECxyhttp:/ H点对应轨迹的长度为 22 15 分19解（1） na是等差数列， 121nSaa ()12b1 分 22bc=，解法一设 at，则圆 22abc=的圆心 (0,)O到直线 0abt得距离|2tc， |tc， t，但当且仅当 2c时 t所以 S的最大值为 2(1)Snc；4 分解法二设 cos,i,0)2ab，则 bin
15、2(4， 02， 34， ,2abc时， S 取最大值 2(1)nc；解法三因为 22()()ab， 0ab，所以 ,abc当且仅当 bc等号成立，所以 S的最大值为 2(1)Sn（2）证：设公比为 q 则 2,bacq由 ,abc为直角三角形的三边长，知 24aq，由于 20a，4210q， 215q 6 分和 都是无理数，若 ,abc中有两上或三个是整数，则 bqa，或 c，或2cqa中至少有一个是有理数，与 q和 2都是无理数矛盾，http:/ 8 分（3）设 ,的公差为 ()dZ，则 222()()ada3d9 分三角形的三边长可设为 3,45，面积 1346()SZ 26nb2221
16、()nnT 10 分若 n 为偶数则 2()(341)26371)nn11 分若 n 为奇数，则 2 22(43(1)()6nT n26(3713)6n12 分 2|n，由 |nSA，得 n，即21n令 ()f，则221()()1nnn13 分当 1,2n时， ()(0ff，即 (3)2(1)ff 14 分 3时， n， 随 n的增大而减少 即 ()1)(4)fnf又因为 312,2,8f，0(4)16f， 5()f，所以 5n时， 1 16 分20解：（1）设过原点 O且和函数 2xye的图象相切的切线的切点为 0(,)Px，则：OCxADByhttp:/ 2xye，切线 OP的斜率 02x
17、OPyke，解00212xx， 02xOPke结合图象知，点 A与原点 连成直线的斜率取值范围是 (0)2e；分（2）由已知可设 ,BCD各点的坐标分别为 13142,(,)(,)AxyBCxyD则 122,xxye且 3412,xxye 31242,xee 12,直线 A过原点 O， 12， 21y，于是 243y，即 OCDk，直线 CD也过原点 8 分（3）当直线 B与 y轴平行时， 231421,xxx， 3141()()()2fxxy= 23()()ee10 分于是方程 0fe可化为 0xx，由于 0xe，且 不是该方程的解，所以原方程等价于 210xe，11 分令 2()1xg，则
18、 2()0xge对一切 (,)(,)成立，所以和 在 (,0和 ,都是增函数， 13 分又因为 21)3,()0gege；(0,， 15 分所以方程 2()xfe有且只有两个实根，并且分别在区间 1,2和 3,上，所求整数 t的值为 1 和 3 16 分；附加题答案21A.选修 41：几何证明选讲证明：设圆 O的半径为 r，圆 1的半径为 R（ r）过点 1O作 EAC，垂足http:/ E，则 2221()()4OABRrRr 3分连接 1C，则 22221 ()ECr 5 分因为 214TrT所以2211O，8 分所以三角形 CT为直角三角形，19 分所以 为圆 1O的切线，切点为 T 1
19、0 分B.选修 42 矩阵与变换解(1)由 3034， 0134，2 分所以 (,)(,)MN所以 223410 4 分(2) 0()()f 6 分得矩阵 A特征值为 123,4， 7 分分别将 12,代入方程组 (3)0,4xyA得矩阵 A属于特征值 13的特征向量为 1，当属于特征值 24的特征向量为 20 10 分C.选修 44：坐标系与参数方程TBPCOO1AEhttp:/ 2sin,0,)coxy得21, -4 分（2）由 sin()24得曲线 D的普通方程为 20xy-6 分201xy得 30x -8 分解得 4,1故曲线 C与曲线 D无公共点 -10 分D.选修 45：不等式证明
20、选讲解：当 1x时，原不等式等价于 (1)2x即 32-2 分所以 -3 分当 2时，原不等式等价于 ()即所以 x -5 分当 1时，原不等式等价于 (1)2x即 32x所以 32 -8 分由上可知原不等式的解集为 3,)2 -10 分22 解：（1）由已知 1()fS，413(2)24f，61935620S； 3 分（2）由（）知 (1),()ff；下面用数学归纳法证明：当 3n时， 4 分（）由（）当 3n时， ()1f；5 分http:/ (3)nk时， ()1fn，即1()2fk，那么 12kkk1 12k 11kk2()2()112()(2)kk，所以当 n时， fn也成立 8 分
21、由（1）和（2）知，当 3时， ()1f 9 分所以当 n，和 2时， n；当 3时， ()1fn10 分23解：（1）邮递员从该城市西北角的邮局 A 到达东南角 B 地，要求所走路程最短共有2nC种不同的走法，其中途径 C 地的走法有 2n种走法，所以邮递员途径 C 地的概率 2212(1)!)!()n nf；3 分（2）由 2(1)()nf n，得 2121()nnf ，要证 n*N时， 21()3nf，只要证 *时， ， 4 分因为 n*时， (21)n*，且 213n，http:/ n*N，且 3时， 123n 5 分由于 3时 012011 2nnnCC，且 6 分0123n nnn ，23()(1)2(1)22!3!n ，1() 13nnn ，1122!34() ，1334nn9 分所以 2()ng成立，所以 21()f 10 分
