1、 1.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m ， nN ，且 n1)；正数的负分数mnnam指数幂的意义是 (a0，m，nN ，且 n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负mn1nam分数指数幂没有意义.(2)幂的运算性质 amana mn ，( am)na mn，(ab) na nbn，其中 a0，b0 ，m ，nR.2.指数函数的图像与性质y ax a1 00 时，y1；当 x0 时，01性质(6)是 R 上的增函数 (7)是 R 上的减函数【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1) ( )na.( )nan na(2)分数指数幂 可以理解为
2、 个 a 相乘.( )mmn(3)(1) (1) .( )2412 1(4)函数 ya x 是 R 上的增函数.( ) 中华.资*源%库 (5)函数 yax 21 (a1)的值域是(0 ，).( )(6)函数 y2 x 1 是指数函数.( )1.函数 f(x)a x1 (a0，且 a1)的图像一定过定点( )A.(0,1) B.(1,1)C.(1,0) D.(0,0)答案 B解析 令 x10 得 x1，此时 ya 01，所以点(1,1) 与 a 无关，所以函数 f(x)a x1 (a0，且 a1)的图像过定点 (1,1).2.函数 f(x)a x (a0，a1)的图像可能是( )1a答案 DW
3、WW解析 函数 f(x)的图像恒过(1,0) 点，只有图像 D 适合.3.计算 lg lg 25_.3 31.5 61214答案 1解析 lg lg 25 lg 4lg 253lg 100321.3 31.5 61214 1136324.若函数 y(a 21) x在(，) 上为减函数，则实数 a 的取值范围是_.答案 ( ，1)(1 ， )2 2解析 由 y(a 21) x在(，) 上为减函数，得 00，b0)；a3b23ab2ab4ab(2)( ) (0.002) 10( 2) 1 ( )0.278 3125 2 3解 (1)原式 a3b2abab2ab 3263ab 1 .(2)原式( )
4、 ( ) 1278 31500 2105 2( ) 500 10( 2)18273125 10 10 201 .49 5 5 1679思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.(1)(0.064 )2.5 0_.15233338(2)( ) _.14 2 4ab 130.1 1a3b 3答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式 1 1 10.(641 000)23(278)
5、 (410)3 52()3(32)3 52 32(2)原式 .322ab85题型二 指数函数的图像及应用例 2 (1)函数 f(x)a xb 的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A.a1， b1，b0C.00D.0f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A.a0C.2a f(c)f(b)，结合图像知00 ，0f( c)，12 a2c1，2 a2 c1.73 B.0.61 0.62C.0.80.1 1.250.2 D.1.70.3cb解析 (1)A 中， 函数 y1.7 x在 R 上是增函数，2.50.62，正确；中华.资*源%库 C 中，(0.8) 1 1
6、.25，问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小.y1.25 x在 R 上是增函数，0.11,00.93.1，错误.故选 B.(2)y x为减函数，(25) 01，ac 25()(32)ac，故 acb.命题点 2 解简单的指数方程或不等式例 4 设函数 f(x)Error!若 f(a)3，此时30 且 a1)是定义域为 R 的奇函数.(1)若 f(1)0，试求不等式 f(x22x)f(x4)0 的解集；(2)若 f(1) ，且 g(x)a 2xa 2x 4f(x)，求 g(x)在1， ) 上的最小值.32解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0)0，所以 k
7、10，即 k1，f(x)a xa x .(1)因为 f(1)0，所以 a 0，1a又 a0 且 a1，所以 a1.因为 f(x) a xln aa x ln a(a xa x )ln a0，所以 f(x)在 R 上为增函数，原不等式可化为f(x2 2x)f(4x)，所以 x22x4 x，即 x23x40，所以 x1 或 x1 或 x0，a1)的性质和 a 的取值有关，一定要分清 a1 与 0cb B.cabC.bac D.abc答案 D解析 a2 01，b1，c bc.124.若函数 f(x)a |2x4| (a0，a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A.( ，2
8、B.2，)C.2，) D.(，2答案 B解析 由 f(1) 得 a2 ，19 19所以 a 或 a (舍去)，即 f(x)( )|2x4| .13 13 13由于 y|2x4|在(，2 上递减，在2，)上递增，所以$来&源：f( x)在(，2上递增，在 2，)上递减.故选 B.5.设 f(x)|3 x1| ，c f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是( )A.3c3b B.3b3aC.3c3 a2 D.3c3 a0.又 f(c)f(a)，|3 c1|3 a1|，13 c3a1，3 c3 af(n)，则 m、n 的大小关系为_.WWW答案 mn解析 a 22a30，a3 或 a1(舍).函
9、数 f(x)3 x在 R 上递增，由 f(m)f(n)，得 mn.8.已知函数 f(x)2 x ，函数 g(x)Error!则函数 g(x)的最小值是_.12x答案 0解析 当 x0 时，g( x)f( x)2 x 为单调增函数，所以 g(x)g(0)0；当 xg(0)0，所以函数 g(x)的最小值是 0.12 x9.已知函数 f(x) 243a(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值.解 (1)当 a1 时，f (x) ，2431x令 g(x)x 2 4x3，由于 g(x)在(，2)上单调递增，在 (2，)上单调递减，而 y t在 R 上单调递减，
10、(13)所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，) 上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，) ，单调递减区间是(，2).(2)令 g(x)ax 24x 3，f( x) g(x)，(13)由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1，因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1.10.已知函数 f(x)e xe x (xR，且 e 为自然对数的底数).(1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数 t，使不等式 f(xt)f(x 2t 2)0 对一切 xR 都成立？若存在，求出 t；若不存在，请说明理由.解 (1)f(x)
11、 ex x，(1e)f(x )e x x，(1e)f(x )0 对任意 xR 都成立，f(x)在 R 上是增函数.f(x)的定义域为 R，且 f(x) e x e xf (x)，f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知 f(x)在 R 上是增函数和奇函数，则 f(x t)f(x 2t 2)0 对一切 xR 都成立，f(x 2 t2)f(tx )对一切 xR 都成立，x 2t 2tx 对一切 xR 都成立，t 2tx 2x 2 对一切 xR 都成立，(x 12) 14t 2t(x 2x) min t 2t 20，14 14 (t 12)又 20， 20， t .(t 12) (t 12) 12存
12、在 t ，使不等式 f(xt)f(x 2t 2)0 对一切 x R 都成立.12B 组 专项能力提升(时间 25 分钟)11.已知函数 f(x) ，若对于任意 a，b，c R ，都有 f(a)f(b)f(c)成立，则实数 m 的ex mex 1取值范围是( )A. B.0,112，2C.1,2 D.12，1答案 A解析 当 m1 时，f(x)1，显然满足题意 .当 m1 时，令 y ，可得 ex ，由ex mex 1 m yy 1ex0 得 0，当 m1 时，有 y(1 ，m)，即此时函数 f(x)的值域为(1，m) ，则 f(a)f(b)m yy 12 且 f(c)2m 且 f(c)201，f(x 1)f(x 2)0，f( x)在(0,1)上为减函数.(3)f(x) 在(0,1)上为减函数， f(x) ，即 f(x) .2141 1 2040 1 (25，12)同理，f(x) 在(1,0)上时，f( x) .( 12， 25)又 f(0)0，当 ，( 12， 25) (25，12)或 0 时，方程 f(x) 在 x( 1,1)上有实数解.
