1、 1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数在函数 f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1，x 2A定义 当 x1f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间 A 上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义如果函数 yf(x )在区间 A 上是 增加的或是减少的，那么就称 A 为单调区间.2.函数的最值前提 函数 yf(x)的定义域为 D条件(1)存在 x0D，使得 f(x0)M；(2)对于任意 xD，都有 f(x)M.(3)存在 x0D，使得 f(x0)M；(4)对于任意 xD，都有 f(x)M.结论 M 为最大值 M
2、为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两数”改为 “存在两数”.( )(2)对于函数 f(x)，xD，若 x1，x 2D 且(x 1x 2)f(x1)f (x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数.( )(3)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是 1，).( ) 中华.资*源%库 (4)函数 y 的单调递减区间是(，0) (0，).( )1x(5)所有的单调函数都有最值.( )(6)对于函数 yf(x )，若 f(1)0， x110 时，f (x1)f (x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数
3、 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时，f(x) 在(1,1)上单调递减；当 a0)，则 f(x)在( 1,1)上的单调性如何？axx2 1解 设10，x 1x210 ，(x 1)(x 1)0.21 2又a0，f(x 1)f (x2)0，函数在(1,1)上为减函数.思维升华 确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减 ”；(3) 图像法，图像不连续的单调区间不能用“”连接.已知 a0，函数 f(x)x (x0)，证明函数 f(x)在(0 ， 上是减函数，在ax a ，) 上是增函数 .a证明 方法一 任意
4、取 x1x20，则f(x1)f (x2) (x1 ax1) (x2 ax2)(x 1 x2) (x 1x 2)(ax1 ax2) ax2 x1x1x2(x 1 x2) .(1 ax1x2)当 x 1x20 时，x 1x 20,1 0)在(0 ， 上为减函数；ax a当 x1x2 时， x1x 20,1 0，aax1x2有 f(x1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x)x (a0)在 ，) 上为增函数；ax a综上可知，函数 f(x)x (a0)在(0 ， 上为减函数，在 ，) 上为增函数.ax a a方法二 f(x)1 ，令 f( x)0，则 1 0，ax2 ax2解
5、得 x 或 x0，00 恒成立，试求实数 a 的取值范围.解 (1)当 a 时，f (x)x 2 在1，) 上为增函数，f (x)minf (1) .12 12x 72(2)f(x)x 2，x1 ，).ax当 a0 时，f(x )在1，) 内为增函数.最小值为 f(1)a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，即 a3，所以30，a 3，所以 00，x0)，若 f(x)在 上的值域为 ，2，则 a_.1a 1x 12，2 12答案 (1)2 (2)25解析 (1)当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；1x当 x0，x0)
6、在 上单调递增，1a 1x 12，2所以Error! 即Error!解得 a .25题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)log 2x ，若 x1(1,2)，x 2(2， ) ，则( )11 xA.f(x1)0C.f(x1)0，f(x 2)0，f(x 2)0答案 B解析 函数 f(x)log 2x 在(1，) 上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2) 时，f (x1)11 xf(2)0，即 f(x1)0.命题点 2 解不等式例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f B.a14 14C. a0 成立，那么 a 的取值范围是fx1 fx2x1
7、x2_.答案 (1)D (2) ，2)32解析 (1)当 a0 时，f (x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在( ，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x ，1a因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，ax 1故 00 时，恒有 f(x)1.(1)求证 f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0，当 x0 时，f(x )1，f(x 2 x1)1.2 分f(x2)f (x2x 1)x 1f( x2x 1)f(x 1)1，4 分f(x 2)f(x 1)f(x 2x 1)10f(x 1)0 时，f(x)1，构造不出 f(x2
8、)f(x 1)f(x 2x 1)1 的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为 f(M)0 且 a10，a1.3.已知函数 yf( x)的图像关于 x1 对称，且在(1，)上单调递增，设 af ，bf(2)，( 12)cf(3)，则 a，b，c 的大小关系为 ( )A.c1，所以 a 的取值范12围为 10 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围 .(1)证明 任设 x10，x 1x 20，x 2x 10，要使 f(x1)f (x2)0，只需(x 1a)(x 2a)0 在(1，)上恒成立，a1.综上所述，a 的取值范围是(0,1.10.设函数 yf( x)是定义在
9、(0 ，) 上的函数，并且满足下面三个条件对任意正数x，y，都有 f(xy)f(x )f(y )；当 x1 时，f (x)1，f 1，且 x2ax 0 恒成立，所以 1f(x2)”的是( )A.f(x) B.f(x)(x 1)21xC.f(x) ex D.f(x)ln(x1)答案 A解析 由题意知 f(x)在(0，) 上是减函数.A 中，f(x) 满足要求；1xB 中，f (x)( x1) 2 在0,1 上是减函数，在(1，) 上是增函数；C 中，f (x)e x是增函数；D 中，f(x) ln(x1)是增函数.13.已知函数 f(x)为(0，)上的增函数，若 f(a2a)f (a3)，则实数
10、 a 的取值范围为_.答案 (3，1)(3 ，)解析 由已知可得Error!解得33.所以实数 a 的取值范围为( 3，1) (3，).14.已知函数 f(x)lg(x 2)，其中 a 是大于 0 的常数.ax(1)求函数 f(x)的定义域；(2)当 a(1,4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围.解 (1)由 x 20，得 0，ax x2 2x ax当 a1 时，x 22x a0 恒成立，定义域为(0，) ，当 a1 时，定义域为x| x0 且 x1，当 01 .1 a 1 a(2)设 g(x)x 2，当 a(1,4)，x2，)时，axg(x)1 0 恒成立，ax2 x2 ax2所以 g(x)x 2 在2 ，)上是增函数.ax所以 f(x)lg 在2，)上是增函数.(x ax 2)所以 f(x)lg 在2，)上的最小值为 f(2)lg .(x ax 2) a2(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 x 21 对 x 2，)恒成立.ax所以 a3xx 2，令 h(x)3xx 2，而 h(x)3xx 2 2 在 x2，) 上是减函数，(x 32) 94所以 h(x)maxh(2) 2，所以 a2.
