1、第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在空间直角坐标系中，平面 的一个法向量是xOzA B(,0) (0,1)C D【答案】B【解析】平面 的法向量是 ， 且 故选 BxOz(0,)kR0k2平面 的一个法向量是 n=( ,-1, ),平面 的一个法向量是 m=(-3,6,-2),则平面 与平面 的关系是A平行 B重合C平行或重合 D垂直【答案】C【解析】m=-6n ,mn,平面 , 平行或重合.3已知向量 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，若 ，则 与 所成的角为l lA B0 60C D15 12【答案】
2、B【解析】设 与 所成的角为 ，则 ，所以 ，故选 Bl604已知三条直线 l1，l 2，l 3 的一个方向向量分别为 a(4，1，0)，b(1，4，5)，c (3，12，9)，则Al 1l 2，但 l1 与 l3 不垂直 Bl 1l 3，但 l1 与 l2 不垂直Cl 2l 3，但 l2 与 l1 不垂直 Dl 1，l 2，l 3 两两互相垂直【答案】A【解析】ab(4，1，0)(1 ，4，5) 4400，ac(4，1，0)(3，12，9) 12120240bc(1，4，5)(3，12，9) 348450，ab，a 与 c 不垂直，bcl 1l 2，l 2l 3，但 l1 不垂直于 l3故选
3、 A5已知正方体 的棱长为 1，点 在线段 上运动，则 的取值范围是P1BD1PACA B,4 ,24C D1,01,0【答案】D【解析】以 为原点， ， ， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 (1，0，0) ，DAC1 A(0， 1，1)， (a，a，1)，所以 ， ，则 ，P因为 ，所以 ，即 故选 D06若正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离为A1 B3C D63【答案】B【解析】易知 A1C1平面 ACD1，则点 A1 到平面 ACD1 的距离即直线 A1C1 到平面 ACD1 的距离.建立如图所示的空间直角坐
4、标系，易知 =(0,0,1)，平面 ACD1 的一个法向量为 n=(1,1,1)，故所求的距离为.7已知向量 =(1,5,-2), =(3,1,2), =(x,-3,6).若 DE平面 ABC,则 x 的值是A-1 B2C3 D5【答案】D【解析】方法一：设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 ,从而 ,则可令 n=(3,-2,- )，又 DE平面 ABC,则 n=0,得 x=5.方法二：若 DE平面 ABC,则存在实数对 ,使得 = + ,即 ，解得 ,故选 D125x8如图，已知在矩形 中， ，且点 ， 分别为 ， 的中点，若将矩形ABC4AEFABCD沿 折叠，使得平面
5、平面 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为ABCDEFEF BCFA B105 12C D 5【答案】D【解析】设 ，则 ，以 为坐标原点，向量 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴4AB1DFFEC,的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 F(0，0，0) ， E(1，0，0)， A(1，0，2)，C(0，2，0)，所以 ， ，设异面直线 与 所成的角为 ，CF则 故选 D二、填空题：请将答案填在题中横线上9在平面 ABC 中， ， ， ，若 ，且 为平面 ABC 的法向量，(0,1)A(,2)B(1,0)Ca则 _yz【答案】【解析】由题易得 ， ，又 为平面 ABC 的法向量，所以 ，A
6、BCa即 ，即 ，10yz故 故填 1yz10直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则直线 与平面 所成角的l (4,01)nl正弦值为_【答案】6 17【解析】设直线 与平面 所成的角是 ，l则 故填 6 1711如图所示，正方体 的棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点，A1MAN a，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是_23【答案】平行【解析】分别以 C1B1、C 1D1、C 1C 所在直线为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示A 1MAN a，M ，N ， 23(,)3a2(,)3aMN2(,0)3a又 C1(0，0，0)，D 1(0，a，0
7、)， (0，a，0)，1 0， NCD 是平面 BB1C1C 的一个法向量，且 MN平面 BB1C1C，1MN平面 BB1C1C12如图所示，在直三棱柱 中，底面是 为直角的等腰直角三角形， ，ABC2ACa， 是 的中点，点 在线段 上，当 _时， 平13BaD1ACF1FF面 F【答案】 或a2【解析】设 分别以 、 、 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系AFmBAC1Bxyz，则 B（0， 0， 0） ，B 1（0， 0， 3a） ，F（ ，0，m ） ， ，C （0，2，0） ，则 =（ ， ，m） ， ， （ ， 0，m3a） ，2aCF2a1D1BF2 面 B1D
8、F， ， ，即 =0， =0，1CF1B1C1可得 ，解得 或 a2故填 或 a213如图，以等腰直角三角形斜边 上的高 为折痕，把 与 折成互相垂直的两个平面BCADAB CD后，有以下四个结论： ； ；三棱锥 是正三棱锥；DABC平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直其中正确结论的序号是_（请把正确结论的序号都填上） 【答案】【解析】易知 ， ， ，设 ，如图，以 为原点，ADB C BD D， ， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 (0，0，1) ， (1，0，0)，BC AB(0，1 ，0)， (0，0，0) ， ，故 ，不正确； ， ， ，故 ；显然 ，且 ， ，
9、 ，易得三棱锥 是正三棱锥；ADB C BD DABC易得平面 ADC 的一个法向量是 ，设平面 的法向量为 ，则由 ，(1,0)mA(,)xyznn可得 ，令 ，可得平面 的一个法向量为 ，则 ，所以xBC(1,)1m平面 的法向量和平面 的法向量不垂直，不正确故填ADCABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤14如图，已知正方体 的棱长为 ，求平面 与平面 之间的距离3a1ABD1C【答案】 3a【解析】由正方体的性质，易得平面 平面 ，1ABD 1C则两平面间的距离可转化为点 到平面 的距离B1AD如图，以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建
10、立空间直角坐标系，DC则 A(3a，0，0)，B(3a，3a，0)，A 1(3a，0，3a)，C(0，3a，0)，B 1(3a，3a，3a)，D 1 (0，0，3a) ，所以 (3a，3a，3a)， (0，3a，0) ， (3a，3a，0)， (0，3a，3a)，1CB1DAB所以 ， ，即 ， ，1A 1所以 平面 ，得平面 的一个法向量为 ，1A1D(),n则平面 与平面 之间的距离 1B1C15如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 的边 BC,CD 的中点,EF 与 AC 交于点 O,PA 垂直于平面 ABCD,且PA=AB=4,M 是线段 PA 上的一动点.若 PC平面 MEF,
11、试求 PMMA 的值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,如图所示：则 P(0,0,4),C(4,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0), =(4,4,-4), =(-2,2,0).设点 M 的坐标为(0,0,m), 平面 MEF 的法向量为 n=(x,y,z),则 =(4,2,-m), ,即 ,0Fn令 x=1,得平面 MEF 的一个法向量为 n=(1,1, ).6mPC平面 MEF, n=0,即 4+4- =0,解得 m=3,2AM=3,PM MA =13.16正方体 中， ，求平面 与平面 所成角的大小1AB1D1B【解析】如图，建立空间直角坐标系 Dxyz则 A(1，0，0)
12、， B(1，1，0)， B1(1，1，1)，D 1(0，0，1)所以 (1，0，1)， (1，1，1) ， (1，1，0)1DB设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，1(,)abcn则由 和 ，可得 和 ，1ABm1n即 和 ，令 ，可得平面 的一个法向量为 ，1x1AD(1,0)m令 ，可得平面 的一个法向量为 ，bB所以 ，所以平面 与平面 所成角的大小为 1ABD16017如图，在四面体 中， 平面 ， ， ， 是 的CABCD2ABDMA中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 PMQ3Q（1）证明： 平面 ； B（2）若二面角 的大小为 60，求BDC 的大小【解析】 （1）如图，
13、取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD ，OP 所在射线为 y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz由题意知 A(0， ，2) ，B(0， ，0)，D (0， ，0)222设点 C 的坐标为(x 0，y 0，0)因为 ，所以 Q 3因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， ，1)2又 P 为 BM 的中点，故 P ，1(0,)所以 PQ又平面 BCD 的一个法向量为 u(0 ，0，1)，故 ，故 0u又 PQ 平面 BCD，所以 PQ平面 BCD（2）设 m(x ，y ，z)为平面 BMC 的法向量，易得 (x 0， ， 1)， (0， ，1)，CM02BM2所以取 y1，得
14、 m 又平面 BDM 的一个法向量为 n(1 ，0，0)，所以|cosm，n| ，即 又 BCCD，所以 0，CBD即(x 0， ，0)( x 0， ，0)0，即 x02y 02202y2y联立，解得 (舍去) 或 (舍去)或 所以 tan ，BDC|3又 是锐角，所以 18如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点.(1)在 B1B 上是否存在一点 P,使 D1P平面 B1AE?(2)在平面 AA1B1B 上是否存在一点 N,使 D1N平面 B1AE?【解析】(1)在 B1B 上不存在点 P,使 D1P平面 B1AE.理由如下:以 D 为坐标原点,分别
15、以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴 ,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则 A(1,0,0),E( ,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),2 =(0,-1,-1), =( ,0,-1).假设存在点 P(1,1,z)满足题意, =(1,1,z-1),则 ,即 ,解得 ,矛盾.012z故在 B1B 上不存在点 P,使 D1P平面 B1AE.(2)在平面 AA1B1B 上存在点 N,使 D1N平面 B1AE.理由如下 :假设在平面 AA1B1B 上存在点 N,使 D1N平面 B1AE,设点 N(1,y,z),则 . =(1,y,z-1), ,解得 ,12yz故在平面 AA1B1B 上存在点 N(1, , ),使 D1N平面 B1AE.2
