1、12017 届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（理科）本试题卷共 4 页，23 题（含选考题） 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题
2、号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 UR，集合 2|log031AxBx ， ，则 UCBA=（ ）A ， B 103， ， C 0， D ， 【答案】D【解析】 2|log43xxBx ， 或 1 ； |13UCBx，所以 03UCBA， ，故选 D2已知复数1(2i)1z，则 z等于（ ）Ai5B C 5D 【答案】A【解析】由题意得，1(2i
3、)15iz，则1i5z，故选 A3下列函数中，即是单调函数又是奇函数的是（ ）A B C Dxy3logxy321xy3xy【答案】D【解析】因为 为奇函数，也满足在 R 上单调递增，符合题意故选 D4已知双曲线21(0)4xym的离心率为 3，则 m 的值为（ ）A 2B C3 D2【答案】A【解析】由双曲线的方程214xym，可得 2,abm，所以 4cm，又双曲线的离心率 3e，即32，解得 ，故选 A5若 ,1,bc，则方程 220xbc有实数根的概率为（ ）A 2B 3 C 4D56【答案】A【解析】设方程 220xbc有实根为事件 AD=（b，c）|1b1，1c1，所以SD=22=
4、4，方程有实根对应区域为 d=（b，c ）| 2，214dSA，所以方程有实根的概率 P（A）=126如下图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A16B 3C1 D 12【答案】B【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体表示底面边长为 1，高为 1 的三棱锥，所以该几何体的体积为133VSh，故选 B7函数 ()2sinfxx的部分图象可能是( )【答案】A3【解析】因为 ()2sin()Rxfxfx， ，所以函数图象关于原点对称，因此不选B因为 ()2cos0f，所以函数单调增，因此选 A8执行如下图所示的程序框图，如果输
5、入 t0.1，则输出的 n（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】由题意得，根据给定的程序框图可知：第一次循环：1,124Smn；第二次循环：1,248Smn；第三次循环：,386；第三次循环：,463，此时跳出循环，所以输出的结果为 n4，故选 C9设(0,)2，(0,)2，且cos1sii，则（ ）ABC2D2【答案】B【解析】由题意得，根据三角函数的基本关系式可得costin， 又21(sin)sicos tanin2co，即tacota()2，因为(0,)2，(0,)2，所以，即，故选 B410已知抛物线 C: 24yx的焦点是 F，过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P、Q
6、两点，且点Q 在第一象限，若 3PFQ，则直线 PQ 的斜率是（ ）A3B1 C 2D 3 【答案】D【解析】设 1(,)Pxy， 2(,)Qxy，由抛物线的方程可知，抛物线的焦点 (1,0)F，因为 3F，则 123,(1,)y，所以 213y，又设过焦点的直线的斜率为 ，所以方程为 ()kx，联立方程组2(1)4ykx，得240yk，所以 12124,yyk，代入可得 3k，故选 D11若函数 2()lnfxa在区间1(2)，内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是（ ）A (,2B1(,)8C(,)8D (,) 【答案】D【解析】由题意得()2fxa，若 ()fx在区间12，内存在单
7、调递增区间，在 0f在()，有解，故 21()ax的最小值， 又 21()gx在，上是单调递增函数，所以1()2gx，所以实数 a 的取值范围是 ，故选 D12已知点 P 为不等式组210xy ， ， ，所表示的平面区域内的一点，点 Q 是 2:(1)Mx21y上的一个动点，则当 MPQ最大时， |（ ）A1 B 2C13D25【答案】C5【解析】由题意得，作出约束条件所表示的平面区域，可知当取可行域内点 B 时，能使得MPQ最大，由210xy，解得12(,)3B，则215|()(33PM，由圆的切线长公式，可得2|9PMr，故选 C第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21) 题为必
8、考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13 （2x+ ） 4 的展开式中 x3 的系数是_【答案】24【解析】二项展开式的通项是 ，令 ，得 ，2441)2(rrrrr xCxT32r故 的系数为 3x24C14甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步可以判断丙参加的比赛项目是_【答案】跑步比赛【解析】根据题意可知，甲是最矮的，丙
9、是最高的，所以甲参加了跳远比赛，且乙参加了铅球比赛，所以丙参加了跑步比赛15在平行四边形 ABCD 中， 4AD， 3=B，E 为 CD 中点，若 4ACBE，则 AB的长为 【答案】6【解析】根据题意可得： CB，12CD，则211()()|cos602ACBEADAAB ，化简得： 2|40，解得： |6616已知ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，满足6C且 43sinbB，则ABC 面积的最大值为_【答案】 63【解析】由题意得，因为 43sinbB，由三角形的正弦定理得 2sin43siRB，解得243R，又6C，所以2isi236cRC，所以三角形的面积1sin4
10、3ini1sinSbAA，又56ABB，所以56B，所以21312sin()2sin(cosin)icos3insi2SAAAAco 633i 6i()，当2A时，三角形的面积最大，最大值为 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知各项均为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1 1，且 2*63nnSaN， （1）求数列a n的通项公式 an；（2）若12b，求数列的前 n 项和 Tn【答案】 （1） 3na；（2）342【解析】 （1）由 *6nSaN， ，得 21163nnSa，两式相减得 2113nnna， 2211113()30nnnnaa， *0naN，
11、 ， 10n， 1n，由 21163， 1a或 12；a 11， ，故 23()1nn（2）由（1）知2nb，7 231147532n nnT2341n nn得：21231 1()1 3232nnn nT 14n，34nn 2nnT18小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的 A 品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天气温 x（）与该奶茶店的 A 品牌饮料销量 y（杯） ，得到如下表数据：日期 1 月 11 号 1 月 12 号 1 月 13 号 1 月 14 号 1 月 15 号平均气温 x（） 9 10 12 11
12、8销量 y（杯） 23 25 30 26 21（1）若先从这五组数据中抽出 2 组，求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程式 ybxa；（3）根据（2）所得的线性回归方程，若天气预报 1 月 16 号的白天平均气温为 7（） ，请预测该奶茶店这种饮料的销量（参考公式：11222() ()nnii ii ixyxyb， aybx）【答案】 （1）25；（2） .4yx；（3）19 杯【解析】 （1）设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天的数据”为事件 B，所有基本事件(,)mn（其中 m，n 为 1 月份的日期数）有 51
13、0C种，事件 B 包括的基本事件有 (1,2)，(12,3)， (,4)， (,5)共 4 种所以4()PB（2）由数据，求得902180x，23502615y由公式，求得 2.1b， aybx，所以 y 关于 x 的线性回归方程为 .4yx（3）当 7x时， .741.8所以该奶茶店这种饮料的销量大约为 19 杯19如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的等边三角形，AA 1底面 ABC，点E，F 分别是棱 CC1，BB 1 上的点，且 ECB 1F2FB 8（1）证明：平面 AEF平面 ACC1A1；（2）若 AA13，求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值【答案】
14、 （1）证明过程见解析；（2）24【解析】 （1）证明：取 AC 中点 M，连接 BM，则 BMAC，AA 1底面 ABC，侧面 ACC1A1底面 ABC，BM平面 ACC1A1取 AE 中点 N，连接 MN，FN，则 MNEC ，且12NEC，又BB 1CC 1，EC2FB，FBEC 且FB，MNFB 且 MNFB ，四边形 BMNF 是平行四边形，FNBM， FN平面 ACC1A1又 FN平面 AEF，平面 AEF平面 ACC1A1（2）以 M 为原点，MA，MB 分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA13，依题意得 (1,0)A， (,30)B， (1,2)E， (
15、0,31)F，所以 (2,0)AE，(,)AF， ,设平面 AEF 的一个法向量为 (,)nxyz，由0nEAF，得203zxy，令 x1，得 (1,0)n，9设直线 AB 与平面 AEF 所成的角为 ，则|1|2sin|co, 4nAB，故直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值为2420已知椭圆2:1(0)xyMab的离心率是 ，上顶点 B 是抛物线 24xy的焦点（1）求椭圆 M 的标准方程；（2）若 P、Q 是椭圆 M 上的两个动点，且 OPOQ（O 是坐标原点） ，由点 O 作 ORPQ于 R，试求点 R 的轨迹方程【答案】 （1）21xy；（2）23xy【解析】 （1）由题设知2
16、cab又 b所以椭圆 M 的标准方程为21xy（2） （i）若直线 PQx 轴，设直线 :PQm，并联立椭圆方程解出 2()Pm， ，2()Qm，由 OPOQ 得2 6030|3OOR定值；（ii）若直线 PQ 不平行 x 轴，设直线 :Pxtyn()， ，联立椭圆 M 的方程消 x得 22()()0tytn，设 1()， ， 2)Q， ，由韦达定理得12 tnyt，由 OPOQ 得 0OP，即 120xy，即 1212()0tynt把、代入并化简得231nt，所以23n，又原点 O 到直线 PQ 的距离22|6|ORt定值，所以动点 R 的轨迹是以点 O 为圆心，63为半径的圆，其方程为23
17、xy1021设函数 2()lnaxbfx，曲线 ()yfx在 1处的切线为 2y（1）求函数 f的单调区间；（2）当 4x 时，证明3()4fx【答案】 （1）单调递增区间为 0,1， (2,)，单调递减区间为 (1,2)；（2）证明过程见解析【解析】 （1）函数 ()fx定义域为 (,)， 231()abfxx，由已知得 ()2f， 10，得： 2a， b，所以 3)xf，由 ()fx得 或 01x，由 ()0f得 12，所以函数 的单调递增区间为 (,)， (2,)，单调递减区间为 ,2（2）由 2232311()ln()lnxfx xx，令 ()lng， 23()h，因为(1g（ 4 ）
18、 ，所以 0x，所以 gx在 1,4上为增函数，所以 ()1g （ 时取“”） ，而2436()xh，由 2()360uxx， 得：193x，所以193x时， ()0，194时， ()ux，所以 ()hx在,)为增函数，在(,)3为减函数，而 (1)，7432，所以7()2hx（ 4x时取“”） ，所以53()14fxg，即：3()f22选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为229cosin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系11（1）求曲线 C 的普通方程；（2）A、B 为曲线 C 上两个点，若 OAOB，求 221|OAB的值【答案】
19、（1）219xy；（2）09【解析】 （1）由 22cosin得 22cos9in，将 cosx， iy代入得到曲线 C 的普通方程是21xy（2）因为229sin，所以21cosi，由 OAOB ，设 1(,)A，则 B 点的坐标可设为 2(,)，所以2222211cossin10ico999|O23已知函数 ()|fxa（1）当 2a时，求不等式 ()6fx 的解集；（2）设函数 ()|1|gx，当 R时， ()3fxg ，求 a 的取值范围【答案】 （1） |3 ；（2） ,【解析】 （1）当 a时， ()|2fx解不等式 |2|6x 得 13 因此 ()f 的解集为 |x （2）当 xR时， ()|2|12|12|fgaxaxa ，当 x 在1与a之间时等号成立，所以当 R时， ()3fg 等价于 |3 当 时，等价于 13a ，无解当 时，等价于 ，解得 2a 所以 a 的取值范围是 2,)
