1、1第一节、数列的柯西收敛准则与函数的一致连续性一、数列极限柯西准则二、 函数极限柯西准则三 、函数的一致连续性四、小结五、作业当n N时,总有limnnxa= 定义只能用来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？1、夹逼准则xy及z满足下列条件 :若数列第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性,nn及n 满足下列条件(1) ( 1, 2, 3 ) nnnyxz n = null则数列nx的极限存在 , lim .nnxa=若数列(2) lim , lim ,nnya za =且单调有界数列必有极限.2、单调有界准则回顾 :limnnxa=0, ,NN+当n N时，总有.nxa ,n
2、maa ,mn N, .mnaa 当,nm N时, 有.nmaa ,NN+当,nN时，有,naa2 第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性5nmaa22. N时,总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。等价定义:对于数列如果对于任意给定的第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性使当n N时,总有总存在正整数则称为柯西列。对任意的正数p例1 证明数列收敛证明：第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性当n N时,+Zp对任意都有由柯西收敛准则可知, 收敛第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性收敛例 2证明: 任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛. 其中是中的数. 证明令有120
3、 0 1.()nbb b= 0,取1,N=当n N时,对任意正整数p, 有 .np naa+1,N = 1.nN时,对任意正整数p, 有.np nxx+ ,NN+ nN ,pN+对当时,于是有xx+ xx+有第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性14np n+1np np+=121 1n n n n np npxxxx x x+“nc 当,nm N时, 有.nmaa 0,对任意正整数N,都存在某正整数也可以给出数列发散的柯西准则:第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性15存在某 0,对任意正整数 都存在某正整数00,mn N使得.nmaa 000例 5 设利用柯西准则,111,1,2,2n
4、ann=+ + + =“证明: 数列an发散.分析nmaa不妨设n m,11m=+12m+1n+“nmn取n = 2m,12=0,=证明取01,2 =对任意正整数N,取正整数m0 N,第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性16n0= 2m0 ,则00nmaa000nmn12=0,=故数列an发散.定理 1(柯西准则 ) 数列na发散的充分必要条件存在某0 0,对任意正整数N, 都存在某正整数00,mn N使得.nmaa 000当n，m N时,总有limnnxa=lim ( )nf na=()nxfn=当n , m N时,总有二、函数极限的柯西准则第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性lim
5、 ( )xf xA+=总有12,xx X当时，0lim ( )xxf xA=总有100,xx 对，取122,xx则当 时，第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性121212sin sin 1 1xxxxxx+22对 n足够大时 12,xXxX第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性但是sin x极限不存在故设f (x)在某一区间上连续，f (x)在区间内每一点都连续. 有即对任意固定的点按照定义，也就是0,xI 0,对(,)xUx0 当|() ()| .fx fx 三 、函数的一致连续性时,第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性2200(, ).x=在上述定义中,如图, 当给定后,在点x0
6、附近, 函数图象变化比较“慢”,对应的较大;在点x1附近, 函数图象变化比较“快”,对应的较小.()yfx=1()f x2y第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性231x0x1()x0()x0()f x2Ox设函数f (x)在区间I上连续, 当给定后,相应于无穷多个x0,有无穷多个00() ,x 在这无穷多个0()x中是否存在一个公共的 0 ,使得对任意的x0, x ,I只要0|,xx 0() ,=12,xx I12|,xx 0,12,xx I 12|xx 0,12,xx I12|,xx121,xx a要使11xx , 0,12,xx I12|xx取2,a=12xx 当时对,00102,=2
7、11, xn=+1()fxx=非一致连续 :00, 0,12,xx I12|,xx取第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性28121nn+ 1()nn=+ n 当时,有1211xx n =012,=故函数在(0, 1上非一致连续.1()fxx=但函数在(0, 1上连续.1()fxx=()n 1+ 1=4060801001yx=观察函数1yx=在(0, 1上的图象.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性290.2 0.4 0.6 0.8 120 本例说明:函数f (x)在区间上连续函数f (x)在区间上一致连续定理 (Cantor定理或一致连续性定理 )则f (x)在a, b上若f (x)在
8、闭区间a, b上连续,一致连续.何时一致连续？第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性30提示: 设 存在, 作辅助函数显然例 9设函数f (x)在区间, )a +上连续, 且lim ( )xfx+存在.证明:函数f (x)在, )a +上一致连续.分析从已知条件lim ( )xfx+出发,利用极限定义来证明.证明由lim ( )xfx+存在及柯西准则,对0,存在正数X a, 使得对12,(,),xx X+都有12() () .fx fx 存在 0,对12,),xx a+都有12() () .fx fx ,mn N, .mnaa 0,12,xx I 12|xx() ()12,fx fx当时, 有设函数定义在区间上, 若对则称函数f (x) 在区间I上一致连续 .6定理 (Cantor定理或一致连续性定理 )则f (x)在a, b上若f (x)在闭区间a, b上连续,一致连续.第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性33作业1.设利用柯西准则, 证明: 数列an收敛.2.设利用柯西准则, sin , 1, 2, ,2nnan=“证明数列发散第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性343.证明: 函数f (x) = x2在区间a, b上一致连续, 但在(, ) +上不一致连续.证明: 数列an发散.
