1、江苏省南京市 2010 届期末市统测模拟试题 2010.1一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 是 成等比数列的 条件。xabx， ，2. 函数 的最小正周期为 2tan1sinxy3. 在 中, ,则 的值为 ABC60,85bCAB4. 已知椭圆 的离心率 ，则 的值等于 192yax21ea5. 二次函数 （ 、 、 ） ，若 、 、 成等比数列且 ，2()fbxccRbc(0)1f则函数 的最大值为 . x6. 在区间 ,2上随机取一个数 x， cos的值介于 0 到 21之间的概率为 7. 已知命题：“在等差数列 n
2、a中，若 44()12a，则 1S为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_8. 正数 、 满足 则 的最小值是 .ab1,b39. 已知定义在 R 上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又()fx(,0)43()2fxf， ，则 (1)f(0)2f2)(28ff10. 已知 x、y 满足 的最小值为6，则常数 k= yxzky40,35且11. 已知 1cos21in-=， 1tan()3-=，则 tan(2)等于 12. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报
3、出的数之和；若报出的是为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 13. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 kA，如果 k且 A，那么 k是 A的一个“孤立元”，给定 1,2345,678S，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元” 的集合共有 个.14. 已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程4T21,(,1()3mxfx0m恰有 5 个实数解，则 的取值范围为 3()fx二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 . 15. （本小题满分 14 分）设函数 2()sin)cos148xxf（
4、）求 的最小正周期 （）若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时()ygx()f1x40,3x的最大值()ygx16. （本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD-A1B C D1中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E 分别是棱 AD、AA 1的中点. （）设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE /平面 FCC ；（）证明:平面 D1AC平面 BB1C1C.17. （本小题满分 14 分）设函数 在 处取得极值，且曲线 在点 处的2()(0)fxabkx()yfx1,()f切线垂直于直线 1y（）求 的值；,（）若函数 ，
5、讨论 的单调性 ()xegf()gxE A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 18. （本小题满分 16 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，左顶点 ，离心率 ， 为右焦点，过焦点C0,2A21eF的直线交椭圆 于 、 两点（不同于点 ） FPQ（）求椭圆 的方程；（）当 时，求直线 PQ 的方程；724（）判断 能否成为等边三角形，并说明理由ABC19. （本小题满分 16 分）设数列 na的通项公式为 (,0)napqNP. 数列 nb定义如下：对于正整数m， b是使得不等式 m成立的所有 n 中的最小值.（）若 1,23pq，求 b；（）若 ，求数列 m的前 2m 项和公式；（）
6、是否存在 p 和 q，使得 ()N？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分 16 分）已知函数 （a 为常数）.22()(3)fxax（）如果对任意 恒成立，求实数 a 的取值范围；1,(f（）设实数 满足： 中的某一个数恰好等于 a，且另两个恰为方程 ,pqr,pqr ()0fx的两实根，判断 ， ， 是否为定值？若是定22r33pqr值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数 ，并求 的最小值；()ga()（）对于（）中的 ，设 ，数列 满足 ()ga1()()276Hgan1)nnHa，且 ，试判断 与 的大小，并证明 .*()nN1(0,
7、)1nn江苏省南京市 2010 届期末市统测模拟试题 2010.1参考答案1、既不充分也不必要 2.、 3、 -20 4、 5、 6.、 312或47、18 8、9、 1 10、0 11、 -1 12 、7 13、6 14、541(,)315. 解：（） =(fxsincosincos46464xx= 3i2x= sin()4故 的最小正周期为 T = =86 分()fx24() 解法一：在 的图象上任取一点 ，它关于 的对称点 .)ygx(,)xg1x(2,)xg由题设条件，点 在 的图象上，从而(2,)yf()3sin(43xf x= 2= 10 分cos()x当 时， ，因此 在区间 上
8、的最大值为304x3x(ygx40,314 分maxcos2g解法二：因区间 关于 x = 1 的对称区间为 ，且 与 的图象关于40,32,3()ygx()fx = 1 对称，故 在 上的最大值为 在 上的最大值()ygx40,3()yfx2,3由（）知 fsin)当 时，23x64因此 在 上的最大值为()yg0,3.maxsin6216. 证明:（）在直四棱柱 ABCD-A1B C D1中，取 A1B1 的中点 F1，连接 A1D，C 1F1，CF 1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD，所以 CD A1F1，A 1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/ 4 分又因为
9、 E、E 1分别是棱 AD、 AA1的中点，所以 EE1/A1D，所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC1， CF平面 FCC ，所以直线 EE /平面 FCC1.7 分（）连接 AC,在直棱柱中， CC1平面 ABCD,AC 平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2,F 是棱 AB 的中点 ,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形，10 分60BC,ACF 为等腰三角形，且 30ACF所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而 平面 D1AC,所以平面 D1AC平面
10、 BB1C1C. 14 分17. 解（）因 2()(0),(2fxabkfxab故又 在 x=0 处取得极限值，故 从而 3 分f 0由曲线 y= 在（1，f（1） ）处的切线与直线 相互垂直可知()x 1xy该切线斜率为 2，即 6 分(),f有 2a=,从 而EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （）由（）知， 2()(0)xegk2()()xekg令 8 分2(0,0x 有（1）当 4k即 当 1时 ， g(x)在 R上 恒 成 立 ，10 分故 函 数 g()在 R上 为 增 函 数（2）当 40,k即 当 =时 ，
11、 2(1)0()xegxkK=1 时，g（x）在 R 上为增函数 12 分（3） 方程 有两个不相等实根40,k即 当 b0) ，12ya由已知 ,2cea 3 分1,3cb 椭圆方程为 4 分142yx（）解法一 椭圆右焦点 0,F设直线 方程为 （ R ） 5 分PQ1xmy-由 得 21,43xmy096432my显然，方程的 0设 ，则有 -21,yxQP 439,43221221 myy 62221mm8 分43143222 ，7PQ 24312m解得 直线 PQ 方程为 ，即 或 10 分1yx0yx01yx解法二： 椭圆右焦点 0,F当直线的斜率不存在时， ，不合题意5 分3PQ
12、设直线 方程为 ， PQ)1(xky由 得 ,2432x012484322kxk显然，方程的 0设 ，21,yQP则 22121 43,438kxkx212124xxkPQ222 1= 8 分34123412kk ，7PQ ，解得 2431k1k直线 的方程为 ，即 或 10 分xy0y01yx（） 不可能是等边三角形APQ如果 是等边三角形，必有 ，AQP ，22121 yxyx ，0421212 ，61 yymy ，2 ，01y ，64322m ，或 （无解） 14 分012而当 时， ，不能构成等边三角形353,2PQA 不可能是等边三角形16 分A19. 解（）由题意，得 123na，
13、解 13n，得 20n. 132n成立的所有 n 中的最小整数为 7，即 b.4 分（）由题意，得 1n，对于正整数，由 am，得 2.根据 mb的定义可知当 21k时， *mkN；当 2k时， *1mbkN. 1213142mb 34 22.8 分（）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pnqm及 0p得 qnp. 32()mbN,根据 mb的定义可知，对于任意的正整数 m 都有1qp，即 231pqpq对任意的正整数 m 都成立.当 30（或 310）时，得 （或 231） ，这与上述结论矛盾！13 分当 p，即 3p时，得 210q，解得 q. 存在 p 和 q，使得 ()mbN；
14、p 和 q 的取值范围分别是 1， 316 分20. 解：（） 2()()0fxaxa对 恒成立，(3)0x1,又 恒成立， 对 恒成立，01,2又 ，,ax2,5 分.（）由 得： ，2(3)4()0a13a不妨设 ，则 q，r 恰为方程两根，由韦达定理得：ap 2,2 222()(3)(3)9rrpaa而 8 分333()pqraqr322()rr97.a设 ，求导得：32()ga2()918(2)gaa当 时， 递增；当 时， 递减；,()0,()g0,0,g当 时， 递增，1,a,a在 上的最小值为 10 分()g3min(1),2in15,g（）32()279),66Hga如果 ，则(0,1)a231()()0a在 为递增函数， 3211()(0),1(0,)()(9)6nnnnHaaHa12, 0,n 又 32(2)1nnnnaaa16 分1.nn
