1、第十四编 系列 4 选讲14.1 几何证明选讲基础自测1.如图所示，已知在ABC 中，C=90，正方形 DEFC内接于ABC，DEAC，EFBC，AC=1，BC=2，则 AFFC= .答案 212.从不在O 上的一点 A 作直线交O 于 B、C，且 ABAC=64，OA=10，则O 的半径等于 .答案 2 或 6413.设 P 为ABC 内一点，且 = + ，则ABP 的面积与ABC 的面积之比等于 .AP52B1AC答案 514.如图所示，AC 为O 的直径，BDAC 于 P，PC=2，PA=8，则 CD 的长为 ，cosACB= .答案 2 55.如图所示，PA 与圆 O 相切于 A，PC
2、B 为圆 O 的割线，并且不过圆 心 O，已知BPA=30，PA=2 ，PC=1，则圆 O 的半径等于 .3答案 7例 1 已知：如图所示，以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作平行四边形 ACED，连接 EB，DC 的延长线交 BE 于 F.求证：EF=BF.证明 连接 AE 交 DC 于 O.四边形 ACED 为平行四边形，O 是 AE 的中点（平行四边形对角线互相平分）.四边形 ABCD 是梯形，DCAB.在EAB 中，OFAB，O 是 AE 的中点，F 是 EB 的中点，即 EF=BF.例 2 如图所示，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB上任意一点，
3、CF 交 AD 于点 E.求证：AEBF=2DEAF.证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N.在BCF 中，D 是 BC 的中点，DNBF，DN= BF.21DNAF，AFEDNE， = .AFEDN又 DN= BF， = ，21BFE2即 AEBF=2DEAF.例 3 （2008苏、锡、常、镇三检）自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点 A，M 为 PA 的中点，过 M 引割线交圆于 B，C 两点.求证：MCP=MPB.证明 PA 与圆相切于 A，MA 2=MBMC，M 为 PA 中点，PM=MA，PM 2=MBMC， = .CPMBBMP=PMC，
4、BMPPMC，MCP=MPB.例 4 （14 分）如图所示，AB 是O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，过 G 作O 的切线，切点为 H.求证：（1）C，D，F，E 四点共圆；（2）GH 2=GEGF.证明 （1）连接 BC.AB 是O 的直径，ACB=90.AGFG，AGE=90.又EAG=BAC，ABC=AEG.又FDC=ABC，FDC=AEG.FDC+CEF=180.C，D，F，E 四点共圆. 7 分（2）GH 为O 的切线，GCD 为割线，GH 2=GCGD.由 C，D，F，
5、E 四点共圆，得GCE=AFE，GEC=GDF.GCEGFD. = ，GFCD即 GCGD=GEGF.CH 2=GEGF. 14 分例 5 （2008徐州三检）如图所示，圆 O 是ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，CD=2，AB=BC=3.求 BD 以及 AC 的长.7解 由切割线定理得：DBDA=DC 2，即 DB（DB+BA）=DC 2，DB2+3DB-28=0，得 DB=4.A=BCD，DBCDCA， = ，得 AC= = .CBDBDC2731.已知：如图所示，从 RtABC 的两直角边 AB，AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE，CF，BD 分别交
6、AB，AC 于 P，Q.求证：AP=AQ.证明 BAC+BAG=90+90=180,C,A,G 三点共线.同理 B,A,E 三点共线.ABGF,ACED, = ， = ，FPCGDBA即 AP= ，AQ= .BE又CA=ED=AE，GF=BA=AG，CG=CA+AG=AE+BA=BE.AP=AQ.2.如图所示，ABC 是O 的内接三角形，且 AB=AC，AP 是BAC 的外角的平分线，弦 CE 的延长线交 AP 于点 D.求证：AD2=DEDC.证明 连接 AE，则AED=B.AB=AC，B=ACB.QAC=B+ACB，又QAP=PAC，DAC=B=AED.又ADE=CDA，ACDEAD，从而
7、 = ，ADCE即 AD2=DEDC.3.（2008南京第二次质检）如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EFCB，EF 交 AD 的延长线于点 F，FG 切圆 O 于点 G.（1）求证：DFEEFA；（2）如果 EF=1，求 FG 的长.（1）证明 EFCB，DEF=DCB.DCB=DAB，DEF=DAB.DFE=EFA，DFEEFA.（2）解 DFEEFA， = .FAEDEF 2=FAFD.FG 切圆于 G，FG 2=FAFD.EF 2=FG2.EF=FG.EF=1，FG=1.4.已知：如图所示，在ABC 中，AB=AC，O是ABC 的外心，延长 CA 到 P，再延长 A
8、B到 Q，使 AP=BQ.求证：O，A，P，Q 四点共圆.证明 连接 OA，OC，OP，OQ.O 是ABC 的外心，OA=OC.OCP=OAC.由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，OAC=OAQ，从而OCP=OAQ，在OCP 和OAQ 中，由已知 CA=AB，AP=BQ，CP=AQ.又 OC=OA，OCP=OAQ，OCPOAQ，CPO=AQO，O，A，P，Q 四点共圆.5.（2008徐州模拟）如图所示，已知 D 为ABC 的 BC 边上一点，O 1经过点 B，D，交 AB 于另一点 E，O 2经过点 C，D，交 AC 于另一点 F，O 1与O 2交于点 G.（1）求证：EAG=EFG；（2）
9、若O 2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，AC=10，AG 切O 2于 G，求线段 AG 的长.（1）证明 连接 GD，因为四边形 BDGE，CDGF 分别内接于O 1，O 2，AEG=BDG，AFG=CDG，又BDG+CDG=180，AEG+AFG=180.即 A，E，G，F 四点共圆，EAG=EFG.（2）解 因为O 2的半径为 5，圆心 O2到直线 AC 的距离为 3，所以由垂径定理知 FC=2 =8，又 AC=10,23AF=2,AG 切O 2于 G，AG 2=AFAC=210=20,AG=2 .5一、填空题1.如图所示，在ABC 中，AD 是高线，CE 是中线，DC
10、=BE，DGCE 于 G，EC 的长为 8，则 EG= .答案 42.如图所示，已知ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F，则 AF= AC.答案 313.如图所示，在半圆 O 中，AB 为直径，CDAB，AF 平分CAB交 CD 于 E，交 CB 于 F，则图中相似三角形一共有 对.答案 54.(2008广东理,15)已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点B，PB=1，则圆 O 的半径 R= .答案 35.如图所示，矩形 ABCD 中，AB=12，AD=10，将此矩形折叠使点B
11、 落在 AD 边上的中点 E 处，则折痕 FG 的长为 .答案 656.如图所示，已知 AP 是圆 O 的切线，P 为切点，AC 是圆 O的割线，与圆 O 交于 B，C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点.则OAM+APM 的大小为 .答案 907.如图所示，圆 O 的直径 AB=6，C 为圆周上一点，BC=3.过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线l、圆交于点 D、E，则DAC= ，线段 AE 的长为 .答案 30 38.（2008徐州质检）如图所示，锐角ABC 内接于O，ABC=60，BAC=36，作 OEAB 交劣弧 于点 E，连结
12、 EC，则OEC= .答案 12二、解答题9.已知：如图所示，在ABC 中，D 是 BC 的中点，F 是 BA 延长线上的点，FD 与 AC 交于点 E.求证：AEFB=ECFA.证明 过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点.AGBD， = .FBD又BD=DC， = .CAGCD， = .AGE = .AEFB=ECFA.FB10.已知：如图所示，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，DEAC 于 E，DFBC 于 F.求证：AEBFAB=CD 3.证明 ACB=90,CDAB,CD 2=ADBD，故 CD4=AD2BD2.又RtADC 中，DEAC，RtBDC 中，DFB
13、C，AD 2=AEAC，BD 2=BFBC.CD 4=AEBFACBC.又ACBC=ABCD，CD 4=AEBFABCD，即 AEBFAB=CD3.11.（2008苏南四市二检） 从O 外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB 及一条割线 PCD，A，B 为切点.求证： = .BCAD证明 PA 为O 的切线，PAC=PDA，而APC=DPA，PACPDA，则 = .同理 = .APBPPA=PB， = . = .DCAD12.（2008宁夏）如图所示，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP 垂直于直线OM，垂足为 P.（1）证明：OMOP=OA 2；（2）N
14、为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直于直线 ON，且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明：OKM=90.证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OAAM.又因为 APOM,在 RtOAM 中,由射影定理知,OA2=OMOP.（2）因为 BK 是圆 O 的切线，BNOK，同（1） ，有 OB2=ONOK，又 OB=OA，所以 OPOM=ONOK，即 = .PNKM又NOP=MOK，所以ONPOMK，故OKM=OPN=90.13.（2008江苏）如图所示，设ABC 的外接圆的切线AE 与 BC 的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC 交于点 D.求证：E
15、D 2=ECEB.证明 如图所示，因为 AE 是圆的切线，所以ABC=CAE.又因为 AD 是BAC 的平分线，所以BAD=CAD.从而ABC+BAD=CAE+CAD.因为ADE=ABC+BAD，DAE=CAE+CAD，所以ADE=DAE，故 EA=ED.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=ECEB，而 EA=ED，所以 ED2=ECEB.14.已知：如图所示，ABC 内接于O，过点 A 的切线交 BC的延长线于点 P，D 为 AB 的中点，DP 交 AC 于 M.求证： = .2CAM证明 如图所示，过点 B 作 BNCM，交 PD 的延长线于点 N，则N=AMD，NBD=D
16、AM.又 AD=DB，BNDAMD.BN=AM.CMBN， = .CP = .PBMA由切割线定理，得 PA2=PCPB. = = ，故 = .2CPCB2AMC14.2 矩阵与变换基础自测1. = .4321答案 82. = .021yx答案 x3.设 a,bR,若矩阵 A= 把直线 l：x+y-1=0 变成为直线 m:x-y-2=0，则 a= ，b= .ba01答案 2 -14.先将平面图形作关于直线 y=x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 03125.设 A= ，B= ，若 AB=BA，则 k= .432172k
17、答案 3例 1 已知变换 T 把平面上的点 A（2，0） ，B（3，1）分别变换成点 A(2,1),B(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M.解 设 M= ，则有 M：dcba = = = ，02yx02ca1解得 ；21caM： = = = ，3yxdcb13dcba23解得 综上，M= .;21,0db20例 2 已知 O（0，0） ，A（2，1） ，O，A，B，C 依逆时针方向构成正方形的四个顶点.（1）求 B，C 两点的坐标；（2）把正方形 OABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45得到正方形 ABCO，求 B，C，O三点的坐标.解 （1）显然向量 绕 O 点逆时针方向旋转 90得向
18、量 ，变换矩阵 M= .01所以有 = = ，cyx0121即 =（-1，2） ，C 点坐标是（-1，2）.O又 = + =（2，1）+（-1，2）=（1，3） ，BA所以 B 点坐标是（1，3）.（2）变换矩阵是 N= ，2=（-2，-1） ， =（-3，1） ， =（-1，2）.AOACAB223= 232.即 = ， =(- ,2 ),OA,CA2AB= 23, = + = ，OA 2,43点 O的坐标是（ ）,同理，点 C的坐标是(2- ,1+2 ),2点 B的坐标是 .3,4例 3 试从几何变换的角度求 AB 的逆矩阵.（1）A= ，B= ；02401（2）A= ，B= .解 （1）
19、矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，因此它的逆矩阵是 A-1= ；102同理，矩阵 B 对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 4 倍，因此它的逆矩阵是B-1= ；410所以（AB） -1=B-1A-1= = .4100241（2）矩阵 A 对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线 x-y=0 的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A -1= ；01矩阵 B 对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点，所以 B-1= ；所以， （AB） -1=B-1A-1= = .0110例 4 （1
20、4 分）已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 e1= ，并且矩阵 M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2的坐标之间的关系.解 （1）设 M= ，则 =8 = ，dcbadcba18故 2 分.8,dcba= ，故 4 分214.42,dcba联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4,故 M= . 6 分6（2）由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为f（ ）=（ -6） （ -4）-8= 2-10 +16，故其另一个特征值为 =2. 9 分设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2= ，
21、yx则 Me2= =2 ，yx46x所以 , 12 分所以矩阵 M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是 2x+y=0. 14 分1.（2008南京质检）二阶矩阵 M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）.（1）求矩阵 M；（2）设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程.解 （1）设 M= ，则有 = ,dcbadcba1=dcba20所以 ,且 ,解得 ，1c20dcba4321dcba所以 M= .432（2）因为 = =yx4321yxy432且 m：x-y=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,整
22、理得 x+y+2=0，所以直线 l 的方程为 x+y+2=0.2.将双曲线 C：x 2-y2=1 上点绕原点逆时针旋转 45，得到新图形 C，试求 C的方程.解 由题意，得旋转变换矩阵M= = ，45cossini2任意选取双曲线 x2-y2=1 上的一点 P（x 0,y0） ，它在变换 TM作用下变为 P(x 0,y 0),则有 M = ，故 ,0yx)(200yxy ，)(200xyx又因为点 P 在曲线 x2-y2=1 上，所以 - =1,20xy即有 2 =1.所求的 C方程为 xy= .0xy13.（2008徐州模拟）已知 M= .732（1）求逆矩阵 M-1；（2）若矩阵 X 满足
23、 MX= ，试求矩阵 X.1解 （1）设 M-1= ，dcba依题意有 =732110即 = ，dcba则 ,17203,dc327cM -1= .（2）矩阵 X 满足 MX= ，1矩阵 X=M-1 = = .13271494.（2008苏州信息卷）已知矩阵 M= ，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.31解 由 =（ -3） 2-1=0，31解得 1=2, 2=4.设矩阵 M 的特征向量为 .yx当 1=2 时,由 M =2 可得 ,yx0x可见， 1= 是 M 的属于 1=2 的特征向量.当 2=4 时，由 M =4 可得, ,yx0yx可见， 2= 是 M 的属于 2=4 的特
24、征向量. 1一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 . 10010110答案 2.将圆 x2+y2=1 在矩阵 A= 对应的伸压变换下变成一个椭圆 x2+ =1，则 a+b= .ba 4y答案 33.在矩阵 对应的变换下，点 A（2，1）将会转换成 .120答案 （2，5）4.若直线 x-y-4=0 在矩阵 M= 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 a,b 的值分别为 .ba1答案 0，25.将点（2，4）先经矩阵 变换后，再绕原点逆时针旋转 90角所得的点坐标为 .20答案 （-8，2）6.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于 y
25、轴对称的变换，再将它做关于直线 y=x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 0217.若矩阵 A= 把直线 l:2x+y-7=0 变换成另一直线 l:9x+y-91=0,则 a= ,b= .13ba答案 0 -18.矩阵 M= 的所有特征向量为 .231答案 k 和 k ， （k0）二、解答题9.试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的函数解析式，其中 M= ，N= .20110解 MN= = ，201201即在矩阵 MN 变换下 = ，yxyx则 y=sin2x,即曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y=2sin2x.2110.已知二阶矩阵 M
26、有特征值 =8 及对应的一个特征向量 e1= ，并且矩阵 M 对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）.求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的变换下的直线 l的方程.解 设 M= ，则 =8 = ，dcbadcba18故 = ，.8,24故 .42,dcba联立以上两方程组解得 a=6,b=2,c=4,d=4, 故 M= .6设点（x，y）是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为（x,y） ，则 = = ，42yxy426即 x= x- y,y=- x+ y,18183代入直线 l 的方程后并化简得 x-y+2=0,即 x-y+2=0.所以变换后的直线方程为 x-
27、y+2=0.11.（2008如东质检）已知矩阵 A= ，其中 aR，若点 P（1，1）在矩阵 A 的变换下得到点1aP（0，-3）.（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 A 的特征值及特征向量.解（1）由 =1a30得 a+1=-3 a=-4.（2）由（1）知 A= 4则矩阵 A 的特征多项式为f（ ）= =（ -1） 2-4= 2-2 -31令 f( )=0,得矩阵 A 的特征值为-1 或 3.设矩阵 A 的特征向量为 yx当 =-1 时， =(-1) 14yx即 ,所以 y=2x.yx矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为 .21当 =3 时， =3 ,14yx即 ,所以 2x+y=
28、0.yx3矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为 .2112.（2008江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A= 对应的变换下得到曲线 F，102求 F 的方程.解 设 P（x 0,y0）是椭圆上任意一点，点 P（x 0，y 0）在矩阵 A 对应的变换下变为点 P( , ),则有0xy= ，即 所以0y120,20yx.,20y又因为点 P 在椭圆上，故 4 + =1,2x从而( )2+( )2=1.0xy所以曲线 F 的方程为 x2+y2=1.13.已知矩阵 A= ，求特征值及特征向量.341解 矩阵 A 的特征多项式为 f( )= .3421令 f(
29、 )=0,即 2-4 -5=0,得 1=-1, 2=5,所以矩阵 A 的特征值为 1=-1, 2=5.将 1=-1 代入二元一次方程组. 0)3()42yx即 ,得 x=y,它有无穷多个非零解 ,042yx x其中 x0,故 为矩阵属于特征值 =-1 的特征向量.1同样，将 1=5 代入二元一次方程组，则 得 y=2x,024,x它有无穷多个非零解 ，其中 x0,故 为矩阵属于特征值 =5 的特征向量.2114.已知矩阵 M 有特征值 1=4 及对应的一个特征向量 e1= ，并有特征值 2=-1 及对应的一个特征向量 e2=32.1（1）求矩阵 M；（2）求 M2 008e2.解 （1）设 M
30、= ，dcba则 =4 = ，dcba3128故 .2又 =（-1） = ，dcba11故 .联立以上两个方程组，解得 a=1,b=2,c=3,d=2,故 M= .231（2）M 2 008e2= e2=（-1） 2 008 = .08114.3 坐标系与参数方程基础自测1.曲线的极坐标方程 =4sin 化为直角坐标方程为 .答案 x 2+(y-2)2=42.直线 (t 为参数)上到点 A（1，2）的距离为 4 的点的坐标为 .1 2答案 （-3，6）或（5，-2）3.过点 A（2，3）的直线的参数方程 （t 为参数） ，若此直线与直线 x-y+3=0 相交于点 B，则|AB|= .yx23答
31、案 2 54.直线 (t 为参数)被圆（x-3） 2+(y+1)2=25 所截得的弦长为 .yx1答案 825.若直线 x+y=m 与圆 ( 为参数，m0)相切，则 m 为 .sincox答案 2例 1 将极坐标方程 sin = 化为直角坐标方程，并说明该方程表示什么曲线.31解 由 sin = , = ,y2yx得 sin = = = .2yx31则 y0,平方得 x2+y2=9y2,即 y2= x2,y= x,81因此，它表示端点除外的两条射线：y= x (x0)和 y=- x(x0).8例 2 在极坐标系中，求过点 A ，并且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程.6,解 如图所示，设 M（
32、 ， ）为直线 l 上的任意一点，则 OM= ,MOC= .过点 A，M 作极轴的垂线 AB，MC 交极轴与 B，C 两点.lOx，MC=AB.则 OA=6，AOB= .6所以 MC=AB=3.由 sin = = ,得 sin =3.O3所以 sin =3 为所求的直线 l 的极坐标方程.例 3 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1） （t 为参数） ；yx23,1（2） （t 为参数） ；yx,1（3） （t 为参数） ；yx1,（4） （ 为参数）.cos5inx解 （1）由 x=1+ t 得，t=2x-2.y=2+ (2x-2).2123 x-y+2- =0,此方程
33、表示直线.3（2）由 y=2+t 得,t=y-2，x=1+（y-2） 2.即(y-2) 2=x-1,方程表示抛物线.（3）由 ty1 2- 2得，x 2-y2=4,方程表示双曲线.（4） ,得cos5iny5s4iyx 2+ 2，得 =1 表示椭圆.5162yx例 4 （2008盐城调研） （14 分）求直线 （t 为参数）被曲线 = cos 所截的弦长.yx531424解 将方程 , = cos 分别化为普通方程：3x+4y+1=0,x 2+y2-x+y=0, tyx5314247 分圆心 C 半径为 ，圆心到直线的距离 d= ,弦长=2 =2 = . 21, 102dr105714 分1.
34、在极坐标系中，已知三点 M 、N（2，0） 、P .3,6,32（1）将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标；（2）判断 M、N、P 三点是否在一条直线上.解 （1）由公式 ，得 M 的直角坐标为(1,- );sincoyx 3N 的直角坐标为（2，0） ；P 的直角坐标为（3， ）.（2）k MN= = ，k NP= = .1320k MN=kNP，M、N、P 三点在一条直线上.2.求圆心在 A （a0） ，半径为 a 的圆的极坐标方程.6,解 如图所示，设 M（ ， ）为圆上的任意一点（点 O，B 除外） ，则 OM= ，MOx= . 连结 BM，OB=2a，MOB= - .在直角三角形
35、 OBM 中，cosMOB= =OBa2=cos（ - ） ，6即 =2acos( - ).(*)经检验，O（0， ） ，B（2a， ）满足方程（*） ，36所以 =2acos（ - ）为所求的圆的极坐标方程.63.（2008栟茶模拟）将参数方程 ( 为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲线.2cos4,in3yx解 y=4cos2 =4-8sin2 ,由 x=3sin2 ,得 sin2 = .3xy=4- x，即 8x+3y-12=0.3x=3sin 2 0，所求普通方程为 8x+3y-12=0 (x0).它表示一条射线.4.已知经过点 M（-1，1） ，倾斜角为 的直线 l 和椭圆 =1
36、交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度及点424yM（-1，1）到 A，B 两点的距离之积.解 直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，yx21,代入椭圆的方程，得 =1.24tt即 3t2+2 t-2=0,解得 t1=- ,t2= .3所以，由参数 t 的几何意义，得|AB|=|t1-t2|= = ,34|MA|MB|=|t1t2|= .一、填空题1.已知点 P（x,y）在曲线 ( 为参数)上，则 的取值范围为 .sinco2yxxy答案 3,2.已知直线 l 经过点 P（1，1） ，倾斜角 = ，直线 l 的参数方程为 .6答案 tyx2133.极坐标系中，圆 =10cos 的圆心坐标为
37、 .3答案 3,54.点 P 的直角坐标为(1,- ),则点 P 的极坐标为 .3答案 （2，- ）5.已知曲线的参数方程为 ,分别以 t 和 为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数sinco0tyx为 .答案 2 或 16.已知 2x2+3y2-6x=0 （x,yR） ，则 x2+y2的最大值为 .答案 97.从极点 O 作直线与另一直线 l cos =4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使 OMOP=12，则点 P 的轨迹方程为 .答案 =3cos8.过点 P 作倾斜角为 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于 M，N，则|PM|PN|的最小值为 .0,21答案 43二、解答题
38、9.（2008江苏，21）在平面直角坐标系 xOy 中，设 P(x,y)是椭圆 +y2=1 上的一个动点，求 S=x+y 的最3x大值.解 由椭圆 +y2=1 的参数方程为 ( 为参数)，3xsinco3yx可设动点 P 的坐标为（ cos ,sin ）,其中 0 2 .因此，S=x+y= cos +sin3=2 =2sin（ + ）.sin21co3所以当 = 时，S 取得最大值 2.610.（2008宁夏，23）已知曲线 C1： ( 为参数)，,sincoyx曲线 C2： (t 为参数).,2tytx（1）指出 C1，C 2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；（2）若把 C1，
39、C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 , .写出 , 的参数方程. 1C212C与 公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同?说明你的理由 .12解 (1)C 1是圆,C 2是直线.C1的普通方程为 x2+y2=1,圆心 C1(0,0),半径 r=1.C2的普通方程为 x-y+ =0.因为圆心 C1到直线 x-y+ =0 的距离为 1,所以 C2与 C1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为: ( 为参数),1,sin2coyx: (t 为参数),2Ctytx4,化为普通方程为 :x2+4y2=1, :y= x+ ,12C1联立消元得 2x2+2 x+1=0,其判
40、别式 =(2 )2-421=0,所以压缩后的直线 与椭圆 仍然只有一个公共点 ,和 C1与 C2公共点的个数相同 .2111.（2008江苏信息卷）经过曲线 C： ( 为参数)的中心作直线 l: （t 为参数）的sin3,coyx yx3垂线，求中心到垂足的距离.解 由曲线 C 的参数方程消去参数 ，sin3,coyx得(x-3) 2+y2=9.曲线 C 表示以（3，0）为圆心，3 为半径的圆.由直线 l 的参数方程 ,tyx3消去参数 t,得 y= x.表示经过原点，倾斜角为 30的直线.如图,在直角三角形 OCD 中，OC=3，COD=30，所以 CD= .所以中心到垂足的距离为 .232
41、312.求圆心为 A（2，0） ，且经过极点的圆的极坐标方程.解 如图所示，设 M（ ， ）为圆上的任意一点（点 O，B 除外） ，则 OM= ，MOx= .连结 BM，在直角三角形 OBM 中，cos = = ，即 =4cos .（*）M4经检验，O（0， ） ，B（4，0）满足方程（*） ，2所以 =4cos 为所求的圆的极坐标方程.13.O 1和O 2的极坐标方程分别为 =4cos , =-4sin .(1)把O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O 1，O 2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单
42、位.（1）x= cos ,y= sin ,由 =4cos ,得 2=4 cos .所以 x2+y2=4x.即 x2+y2-4x=0 为O 1的直角坐标方程.同理 x2+y2+4y=0 为O 2的直角坐标方程.（2）由 解得 或,042,01y.,2yx即O 1，O 2交于点（0，0）和（2，-2）.过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x.14.设点 O 为坐标原点，直线 l: (参数 tR）与曲线 C： （参数 R）交于 A，Btyt2442yx两点.（1）求直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程；（2）求证：OAOB.（1）解 直线 l 的普通方程为：x-y-4=0.曲线 C 的普通方程为：y 2=4x.（2）证明 设 A（x 1,y1）,B(x 2,y2),由 ,4x消去 y,得 x2-12x+16=0,x 1+x2=12,x1x2=16,k OAkOB= =1)4(=
