1、用三元组表实现稀疏矩阵的乘法运算,两个矩阵相乘也是矩阵的一种常用的运算。设矩阵M是m1n1矩阵，N是m2n2矩阵；若可以相乘，则必须满足矩阵M的列数n1与矩阵N的行数m2相等，才能得到结果矩阵Q=MN（一个m1n2的矩阵）。 数学中矩阵Q中的元素的计算方法如下：,其中： 1im1, 1jn2。,根据数学上矩阵相乘的原理， 我们可以得到矩阵相乘的经典算法： for(i=1; i=m1; i+) for(j=1; j=n2; j+)Qij=0; for(k=1; k=n1; k+) Qij=Qij+Mik*Nkj; ,图5.17 Q=MN,图5.17给出了一个矩阵相乘的例子。当矩阵M、N是稀疏矩阵
2、时，我们可以采用三元组表的表示形式来实现矩阵的相乘。,图5.18 矩阵M、N、Q的三元组表,经典算法中，不论Mik、Nkj是否为零， 都要进行一次乘法运算，而实际上，这是没有必要的。采用三元组表的方法来实现时，因为三元组只对矩阵的非零元素做存储所以可以采用固定三元组表a中的元素（i，k，Mik）（1im1，1kn1），在三元组表b中找所有行号为k的的对应元素（k，j， Nkj）（1km2，1jn2）进行相乘、 累加，从而得到Qij，即以三元组表a中的元素为基准， 依次求出其与三元组表b的有效乘积。 ,算法中附设两个向量num 、first ，其中numrow表示三元组表b中第row行非零元素个
3、数（1rowm2）， firstrow表示三元组表b中第row行第一个非零元素所在的位置。显然，firstrow+1-1指向三元组表b中第row行最后一个非零元素的位置。,first1=1； firstrow=firstrow-1+numrow-1， 2rowm2+1。,这里，firstm2+1-1表示最后一行最后一个非零元素的存储位置。当三元组表a中第i行非零元素的列号等于三元组表b中非零元素的行号时，则元素相乘并将结果累加。,图5.19 Q=MN,图5.20 图5.19中矩阵N对应的向量numrow, firstrow,Row 1 2 3 4 (5) Numrow 2 1 1 1 Firs
4、trow 1 3 4 5 6,define MAXSIZE 1000 /*非零元素的个数最多为1000*/define MAXROW 1000 /*矩阵最大行数为1000*/ typedef struct int row, col; /*该非零元素的行下标和列下标*/ ElementType e； /*该非零元素的值*/Triple; typedef struct Triple dataMAXSIZE+1; /* 非零元素的三元组表，data0未用*/int firstMAXROW+1; /* 三元组表中各行第一个非零元素所在的 位置 */int m, n, len;/*矩阵的行数、 列数和非
5、零元素的个数*/ TriSparMatrix；,具体算法如下： 该算法的时间主要耗费在乘法运算及累加上，其时间复杂度为O（A.lenB.n）。当A.len 接近于A.mA.n时，该算法时间复杂度接近于经典算法的时间复杂度O（A.mA.nB.n）。,稀疏矩阵的链式存储结构: 十字链表与用二维数组存储稀疏矩阵比较，用三元组表表示的稀疏矩阵不仅节约了空间，而且使得矩阵某些运算的运算时间比经典算法还少。但是在进行矩阵加法、减法和乘法等运算时，有时矩阵中的非零元素的位置和个数会发生很大的变化。如A=A+B， 将矩阵B加到矩阵A上，此时若还用三元组表表示法，势必会为了保持三元组表“以行序为主序”而大量移动
6、元素。,在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示， 该结点除了（row，col，value）以外，还要有以下两个链域： right： 用于链接同一行中的下一个非零元素；down： 用于链接同一列中的下一个非零元素。,图5.23 十字链表的结构,十字链表的结构类型说明如下：,typedef struct OLNode int row, col; /* 非零元素的行和列下标 */ ElementType value; struct OLNode * right, *down; /* 非零元素所在行表、列表的后继链域 */OLNode; *OLink; typedef struct OLin
7、k * row_head, *col_head; /* 行、 列链表的头指针向量 */ int m, n, len; /* 稀疏矩阵的行数、 列数、 非零元素的个数 */CrossList;,CreateCrossList (CrossList * M)/* 采用十字链表存储结构， 创建稀疏矩阵M */scanf(,else /* 寻找行表中的插入位置 */for(q=M-row_headi; q-right /* 完成插入 */ ,广 义 表,广义表，顾名思义，也是线性表的一种推广。广义表被广泛地应用于人工智能等领域的表处理语言LISP语言中。在LISP语言中，广义表是一种最基本的数据结构，
8、就连LISP 语言的程序也表示为一系列的广义表。,在第2章中， 线性表被定义为一个有限的序列（a1，a2，a3，an）, 其中ai被限定为是单个数据元素。广义表也是n个数据元素（d1，d2，d3，dn）的有限序列，但不同的是，广义表中的di既可以是单个元素，还可以是一个广义表，通常记作： GL=（d1，d2，d3， ，dn）。GL是广义表的名字，通常广义表的名字用大写字母表示。n是广义表的长度。若其中di是一个广义表，则称di是广义表GL的子表。在广义表GL中，d1是广义表GL的表头，而广义表GL其余部分组成的表（d2，d3，dn）称为广义表的表尾。由此可见广义表的定义是递归定义的，因为在定义
9、广义表时又使用了广义表的概念。, D=（）空表；其长度为零。 A=（a， （b， c） 表长度为2的广义表，其中第一个元素是单个数据a，第二个元素是一个子表（b，c）。 B=（A， A， D） 长度为3的广义表， 其前两个元素为表A， 第三个元素为空表D。 C=（a，C） 长度为2递归定义的广义表，C相当于无穷表C=（a，（a,（a，（）。 #其中，A、B、C、D是广义表的名字。 下面以广义表A为例， 说明求表头、 表尾的操作： head（A）=a 表A的表头是a。tail（A）=（b， c） 表A的表尾是（b， c）。 广义表的表尾一定是一个表。,从上面的例子可以看出： （1） 广义表的元素
10、可以是子表，而子表还可以是子表由此可见，广义表是一个多层的结构。 （2） 广义表可以被其它广义表共享，如广义表B就共享表A。 在表B中不必列出表A的内容，只要通过子表的名称就可以引用该表。 （3） 广义表具有递归性， 如广义表C。,由于广义表GL=（d1，d2，d3，dn）中的数据元素既可以是单个元素，也可以是子表，因此对于广义表来说，我们难以用顺序存储结构来表示它，通常我们用链式存储结构来表示。表中的每个元素可用一个结点来表示。广义表中有两类结点：一类是单个元素结点；另一类是子表结点。 任何一个非空的广义表都可以分解成表头和表尾两部分，反之，一对确定的表头和表尾可以唯一地确定一个广义表。由此
11、，一个表结点可由三个域构成：标志域、指向表头的指针域和指向表尾的指针域。而元素结点只需要两个域：标志域和值域。,typedef enum ATOM, LIST ElemTag; /* ATOM0，表示原子；LIST1， 表示子表 */ typedef struct GLNode ElemTag tag; /* 标志位tag用来区别原子结点和表结点 */ union AtomType atom; /* 原子结点的值域atom */struct struct GLNode * hp, *tp; htp;/* 表结点的指针域htp， 包括表头指针域hp和表尾指针域tp */ atom_htp; /* atom_htp 是原子结点的值域atom和表结点的指针域htp的联合体域 */ *GList；,图5.25 广义表的另一种结点结构,表结点,原子结点,typedef enum ATOM, LIST ElemTag; /* ATOM0， 表示原子； LIST1， 表示子表 * / typedef struct GLNode ElemTag tag; union AtomType atom; struct GLNode * hp; atom_hp; /* atom-hp 是原子结点的值域atom和表结点的表头指针域hp的联合体域 */ struct GLNode * tp; *GList;,
