1、第二节 概率的基本公式,一、概率的加法,定理1. 设A; B 为任意两个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),例题1,右图A,B开关的开与关概率均为1/2 , 求灯亮的概率. 解: P(灯亮) = P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB)=,A,B,法2：,推论1.,若A. B 为互不相容的两个事件,则 P(A+B) = P(A) + P(B),一般地,若A1 ,A2,An 两两互不相容,则,推论 2,对任一事件A, 有,推论 3若事件A B,则 P(A-B)=P(A
2、)-P(B),例题2,盒中有32只红球, 4只白球,从中任取2支,求: 至少有1只白球的概率. 解：P(恰好1只白球)=P(A)=,P(恰好2只白球)=P(B)=,P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)=0.2032+0.0095 =0.2127,解法2:,例题3,10名学生为同一年出生, 问至少二人同一天生日的概率. 解:P(二人同一天)=1-P(没有人同一天生日)=1-,例题4,一盒试样共20支，放置一段时间后，其中有6支澄明度较差，有5只标记不清，有4只澄明度和标记都不合要求，现从中任取1支，求这只无上述问题的概率。,解：A=澄明度较差；B=标记不清,二、概率的乘法公式,
3、1.条件概率,定义:事件A和B,若P(A)0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率,或,例题1,10件物品中有2件次品,若不放回地抽取,问:第一次取到正品后第二次取得正品的概率. 解: 设 A=第一次取到正品B= 第二次取到正品则所求概率为:,例题2,一群人中,聋子的概率为0.005,盲人的概率为0.0085,而聋子中是盲人的概率为0.12,求某人又聋又盲的概率.,解: 设A=聋子; B=盲人则: P(A)=0.005; P(B)=0.0085; P(B/A)=0.12所求概率：P(又聋又盲)=P(AB),条件概率的性质:,1. P(B/A) 0 2. P(U/A)=1 , P(V/A
4、)=0 3. P(B/A)=1- P(B/A) 4. P(B1+B2/A)=P(B1/A)+P(B2/A)-P(B1B2/A),特别地:当条件A= U 时,条件概率就变成无条件概率了.即:P(B/U)=P(B),2. 独立事件与乘法公式,独立事件定义: 若P(B)=P(B/A),则称事件B与事件A独立,由于：,定理2: 事件A与B相互独立,例题1甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。,设A=甲打中；B=乙打中，则:,P(A)=0.7; P(B)=0.9,1.甲乙两人都打中的概率为: P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63,2.目标被打中的概率为: P(A+B)=1-(1-
5、0.7)(1-0.9)=0.97,3.P(甲脱靶/目标击中),=0.3*0.9/0.97=0.278,例题2,甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为问密码能被破译出来的概率. 解:,例题3 (见142页例6-18),例题4: 彩电使用10000小时无故障的概率为95%,使用15000小时无故障的概率为60%;现有一台彩电已使用了10000小时无故障,问该彩电继续使用到15000小时无故障的概率?,解:设A=使用10000小时无故障;B=使用15000小时无故障 所求概率为:P(B/A)=,=0.6/0.95=0.63,三、全概率公式及Bayes公式,完备事件组:事件A1 , A2 , , An
6、两两互不相容,且P(Ai)0;.,全概率公式设事件A1 , A2 , , An为一完备事件组,则对任一事件B,都有:,证明:,A1,A2,Ai,An,B,例题1,口袋中有3红2白球，现无放回地取2球，问第二次取到红球的概率？,解：设A：第一次取到红球B：第二次取到红球,例2：,甲、乙、丙三车间的次品率分别为1%，1.5%，2%，且全厂各车间产品所占比例为25%，35%，40%，求全厂的次品率？,解：,设Ai (I=1,2,3)：分别为抽得甲、乙、丙三车间的产品B：表示抽到次品。,则：P（B）,Bayes公式（逆概率公式）,另：,例3：,患结核病的人胸透被诊断为结核病的概率为0.95，而未患病的
7、人误诊的概率为0.002，又知某城镇居民的结核病患病率为0.001，现有一人经胸透被诊断为结核病，问确实患有结核病的概率？,解：,设A：被诊断为结核病；B：确实患有结核病,P（B/A）,四、独立重复试验和伯努利（Bernoulli)概型,独立重复试验：,在相同条件下重复试验，各次试验的结果相互独立的随机试验。,伯努利（Bernoulli) 试验：,例：扔硬币；射击等,定理：,n次Bernoulli试验中，事件A出现k次的概率为：,并且,其中P(A)=p，p+q=1,例1：扔5次硬币正面出现3次的概率为：,例2：,5个细菌随机出现在3个试管溶液中，则第一个试管溶液中的细菌不多于一个的概率？,解：,设：P(A)=P(某个细菌落在第一个试管),
