1、1-质 点 作 曲 线 运 动 ,在 时 刻 t质 点 的 位 矢 为 r,速 度 为 v,速 率 为 v,t至 (t t)时 间 内 的 位 移 为 r,路 程 为 s,位 矢 大 小 的 变 化 量 为 r(或 称 r ),平 均速 度为 v,平 均速 率为 v(1)根 据上 述情 况 ,则 必有 ()(A) r =s=r(B) r sr,当 t0时 有 dr =dsdr(C) r rs,当 t0时 有 dr =drds(D) r sr,当 t0时 有 dr =dr=ds(2)根 据上 述情 况 ,则 必有 ()(A) v =v, v =v (B) v v, v v(C) v =v, v
2、v (D) v v, v =v分 析 与 解 (1)质 点 在 t至 (t t)时 间 内 沿 曲 线 从 P点 运 动 到 P点 ,各量 关 系 如 图 所 示 ,其 中 路 程 s P,位 移 大 小 r P,而 r r- r 表 示 质 点 位 矢 大 小 的 变 化 量 ,三 个 量 的 物 理 含 义 不 同 ,在 曲 线 运 动 中 大小 也不 相等 (注 ： 在 直线 运动 中有 相等 的可 能 ) 但 当 t0时 ,点 P无 限趋 近P点 ,则 有 dr ds,但 却不 等于 dr 故选 (B)(2)由 于 r s,故 tstr,即 v v但 由于 dr ds,故 tstdd=
3、r,即 v v 由此 可见 ,应 选 (C)1-2一 运 动 质 点 在 某 瞬 时 位 于 位 矢 r(x,y)的 端 点 处 ,对 其 速 度 的 大 小 有四 种意 见 ,即(1)trdd； (2)tddr； (3)tsdd； (4) 22dddd + tytx 下 述判 断正 确的 是 ()(A)只 有 (1)(2)正 确 (B)只 有 (2)正 确(C)只 有 (2)(3)正 确 (D)只 有 (3)(4)正 确分 析 与 解 trdd表 示 质 点 到 坐 标 原 点 的 距 离 随 时 间 的 变 化 率 ,在 极 坐 标系 中 叫 径 向 速 率 通 常 用 符 号 vr表 示
4、 ,这 是 速 度 矢 量 在 位 矢 方 向 上 的 一 个 分量 ； tddr表 示 速 度 矢 量 ； 在 自 然 坐 标 系 中 速 度 大 小 可 用 公 式 tsdd=v计 算 ,在直 角坐 标系 中则 可由 公式 22dddd += tytxv 求 解 故选 (D)1-3质 点 作 曲 线 运 动 ,r表 示 位 置 矢 量 ,v表 示 速 度 ,a表 示 加 速 度 ,s表示 路程 ,a 表 示切 向加 速度 对 下列 表达 式 ,即(1)dv/dt a； (2)dr/t v； (3)ds/t v； (4)dv/dt a 下 述判 断正 确的 是 ()(A)只 有 (1)、 (
5、4)是 对的 (B)只 有 (2)、 (4)是 对的(C)只 有 (2)是 对的 (D)只 有 (3)是 对的分 析 与 解 tddv表 示 切 向 加 速 度 a ,它 表 示 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化 率 ,是加 速度 矢量 沿速 度方 向的 一个 分量 ,起 改变 速度 大小 的作 用 ； trdd在 极坐 标系中 表示 径向 速率 vr(如 题 1-2所 述 )； tsdd在 自然 坐标 系中 表示 质点 的速 率 v；而 tdv表 示加 速度 的大 小而 不是 切向 加速 度 a 因 此只 有 (3)式 表达 是正 确的 故 选 (D)1-4一 个质 点在 做圆 周运
6、动时 ,则 有 ()(A)切 向加 速度 一定 改变 ,法 向加 速度 也改 变(B)切 向加 速度 可能 不变 ,法 向加 速度 一定 改变(C)切 向加 速度 可能 不变 ,法 向加 速度 不变(D)切 向加 速度 一定 改变 ,法 向加 速度 不变分 析 与 解 加 速 度 的 切 向 分 量 a 起 改 变 速 度 大 小 的 作 用 ,而 法 向 分 量 an起 改变 速度 方向 的作 用 质点 作圆 周运 动时 ,由 于速 度方 向不 断改 变 ,相 应法向 加 速 度 的 方 向 也 在 不 断 改 变 ,因 而 法 向 加 速 度 是 一 定 改 变 的 至 于 a 是 否改
7、变 ,则 要视 质点 的速 率情 况而 定 质点 作匀 速率 圆周 运动 时 ,a 恒 为零 ； 质点 作 匀 变 速 率 圆 周 运 动 时 ,a 为 一 不 为 零 的 恒 量 ,当 a 改 变 时 ,质 点 则 作 一 般的 变速 率圆 周运 动 由此 可见 ,应 选 (B)*1-5如 图 所 示 ,湖 中 有 一 小 船 ,有 人 用 绳 绕 过 岸 上 一 定 高 度 处 的 定 滑轮 拉 湖 中 的 船 向 岸 边 运 动 设 该 人 以 匀 速 率 v0收 绳 ,绳 不 伸 长 且 湖 水 静 止 ,小 船的 速率 为 v,则 小船 作 ()(A)匀 加速 运动 , cos0vv
8、=(B)匀 减速 运动 , cos0vv=(C)变 加速 运动 , cos0vv=(D)变 减速 运动 , cos0vv=(E)匀 速直 线运 动 , 0vv分 析 与 解 本 题 关 键 是 先 求 得 小 船 速 度 表 达 式 ,进 而 判 断 运 动 性 质 为此 建 立 如 图 所 示 坐 标 系 ,设 定 滑 轮 距 水 面 高 度 为 h,t时 刻 定 滑 轮 距 小 船 的 绳长 为 l,则 小 船 的 运 动 方 程 为 22hlx= ,其 中 绳 长 l随 时 间 t而 变 化 小 船速 度 22dddd hltlltx=v ,式 中 tldd表 示绳 长 l随 时间 的变
9、 化率 ,其 大小 即为 v0,代 入 整 理 后 为 lhl cos/ 0220 vvv = ,方 向 沿 x轴 负 向 由 速 度 表 达 式 ,可判 断小 船作 变加 速运 动 故选 (C)讨 论 有 人 会 将 绳 子 速 率 v0按 x、 y两 个 方 向 分 解 ,则 小 船 速 度cos0vv=,这 样做 对吗 ？1-6已 知 质 点 沿 x轴 作 直 线 运 动 ,其 运 动 方 程 为 3262 ttx += ,式 中x的 单位 为 m ,t的 单位 为 s 求：(1)质 点在 运动 开始 后 4.0s内 的位 移的 大小 ；(2)质 点在 该时 间内 所通 过的 路程 ；(
10、3)t 4s时 质点 的速 度和 加速 度分 析 位 移和 路程 是两 个完 全不 同的 概念 只 有当 质点 作直 线运 动且 运动 方向 不改 变时 ,位 移的 大小 才会 与路 程相 等 质 点在 t时 间内 的位 移 x的大 小 可 直 接 由 运 动 方 程 得 到 ：0xxxt=,而 在 求 路 程 时 ,就 必 须 注 意 到 质点 在运 动过 程中 可能 改变 运动 方向 ,此 时 ,位 移的 大小 和路 程就 不同 了 为 此 ,需 根 据 0dd=tx来 确 定 其 运 动 方 向 改 变 的 时 刻 tp,求 出 0 tp和 tp t内 的 位 移大 小 x1、 x2,则
11、 t时 间 内 的 路 程 21 xxs += ,如 图 所 示 ,至 于 t 4.0s时 质点 速度 和加 速度 可用 txdd和 22ddtx两 式计 算解 (1)质 点在 4.0s内 位移 的大 小 m3204 =xxx(2)由 0dd=tx得 知质 点的 换向 时刻 为 s2=pt (t 0不 合题 意 )则 m0.8021 =xxx m40242 =xxx所 以 ,质 点在 4.0s时 间间 隔内 的路 程为 m4821 =+xxs(3)t 4.0s时1s0.4 sm48dd = =txv 2s0.422 m .s36dd = =ttxa1-7一 质点 沿 x轴 方向 作直 线运 动
12、 ,其 速度 与时 间的 关系 如图 (a)所 示 设 t 0时 ,x 0 试根 据已 知的 v-t图 ,画 出 a-t图 以及 x-t图 分 析 根 据 加 速 度 的 定 义 可 知 ,在 直 线 运 动 中 v-t曲 线 的 斜 率 为 加 速 度 的大 小 (图 中 AB、 CD段 斜率 为定 值 ,即 匀变 速直 线运 动 ； 而 线段 BC的 斜率 为0,加 速度 为零 ,即 匀速 直线 运动 ) 加 速度 为恒 量 ,在 a-t图 上是 平行 于 t轴 的直线 ,由 v-t图 中 求 出 各 段 的 斜 率 ,即 可 作 出 a-t图 线 又 由 速 度 的 定 义 可 知 ,x
13、-t曲 线 的 斜 率 为 速 度 的 大 小 因 此 ,匀 速 直 线 运 动 所 对 应 的 x-t图 应 是 一 直 线 ,而 匀变 速直 线运 动所 对应 的 xt图 为 t的 二次 曲线 根 据各 段时 间内 的运 动方 程 x x(t),求 出不 同时 刻 t的 位置 x,采 用描 数据 点的 方法 ,可 作出 x-t图 解 将 曲线 分为 AB、 C、 D三 个过 程 ,它 们对 应的 加速 度值 分别 为2sm20=ABABAB tta vv (匀 加速 直线 运动 )0=BCa (匀 速直 线运 动 )2sm10=CDCDCD tta vv (匀 减速 直线 运动 )根 据上
14、 述结 果即 可作 出质 点的 a-t图 图 (B) 在 匀变 速直 线运 动中 ,有201ttxx +=v由 此 ,可 计算 在 0 2 和 4 6 时间 间隔 内各 时刻 的位 置分 别为用 描 数 据 点 的 作 图 方 法 ,由 表 中 数 据 可 作 0 2 和 4 6 时 间 内 的 x-t图 在 2 4 时间 内 ,质 点是 作 1sm20=v 的 匀速 直线 运动 ,其 x-t图 是斜 率 k 20的 一段 直线 图 (c) 1-8已 知 质 点 的 运 动 方 程 为 jir )2(2 2tt += ,式 中 r的 单 位 为 m ,t的 单位 为 求 ：(1)质 点的 运动
15、 轨迹 ；(2)t 0及 t 2 时 ,质 点的 位矢 ；(3)由 t 0到 t 2 内质 点的 位移 r和 径向 增量 r；*(4)2 内 质点 所走 过的 路程 s分 析 质 点 的 轨 迹 方 程 为 y f(x),可 由 运 动 方 程 的 两 个 分 量 式 x(t)和 y(t)中 消 去 t即 可 得 到 对 于 r、 r、 r、 s来 说 ,物 理 含 义 不 同 ,可 根 据 其 定 义计 算 其 中 对 s的 求 解 用 到 积 分 方 法 ,先 在 轨 迹 上 任 取 一 段 微 元 ds,则22 )d()d(d yxs += ,最 后用 =ssd积 分求 解 (1)由 x
16、(t)和 y(t)中 消去 t后 得质 点轨 迹方 程为 2412xy=这 是一 个抛 物线 方程 ,轨 迹如 图 (a)所 示(2)将 t 0 和 t 2 分别 代入 运动 方程 ,可 得相 应位 矢分 别为jr20=, jir 242 =图 (a)中 的 P、 Q两 点 ,即 为 t 0 和 t 2 时质 点所 在位 置(3)由 位移 表达 式 ,得 jijirrr 24)()(020212 =+= yyxx其 中位 移大 小 m66.5)()( 22 =+= yxr而 径向 增量 m47.2 20202202 =+= yxyxr rrr*(4)如 图 (B)所 示 ,所 求 s即 为 图
17、 中 PQ段 长 度 ,先 在 其 间 任 意 处 取 AB微 元 ds,则 22 )d()d(d yxs += ,由 轨 道 方 程 可 得 xy d21d=,代 入 ds,则 2内 路程 为m91.5d4d40 2=+= xxssQP1-9质 点的 运动 方程 为 23010ttx += 22015tty式 中 x,y的 单位 为 m ,t的 单位 为 试 求： (1)初 速度 的大 小和 方向 ； (2)加 速度 的大 小和 方向 分 析 由 运 动 方 程 的 分 量 式 可 分 别 求 出 速 度 、 加 速 度 的 分 量 ,再 由 运 动合 成算 出速 度和 加速 度的 大小 和
18、方 向 解 (1)速 度的 分量 式为 ttxx 6010dd+=v ttyy 4015d=v当 t 0时 ,vox -10m -1,voy 15m -1,则 初速 度大 小为 120200 sm0.18=+= yxvvv设 vo与 x轴 的夹 角为 ,则 23tan00=xyvv 12341(2)加 速度 的分 量式 为2sm60dd =taxx v , 2sm40dd =tayy v则 加速 度的 大小 为222 sm1.72=+=yxaaa设 a与 x轴 的夹 角为 ,则 32tan =xyaa -341(或 32619)1-0一 升 降 机 以 加 速 度 1.2m -2上 升 ,当
19、上 升 速 度 为 2.4m -1时 ,有 一 螺 丝 自 升 降 机 的 天 花 板 上 松 脱 ,天 花 板 与 升 降 机 的 底 面 相 距 2.74m 计算 ： (1)螺 丝 从 天 花 板 落 到 底 面 所 需 要 的 时 间 ； (2)螺 丝 相 对 升 降 机 外 固 定 柱子 的下 降距 离 分 析 在 升 降 机 与 螺 丝 之 间 有 相 对 运 动 的 情 况 下 ,一 种 处 理 方 法 是 取 地面 为 参 考 系 ,分 别 讨 论 升 降 机 竖 直 向 上 的 匀 加 速 度 运 动 和 初 速 不 为 零 的 螺 丝的 自 由 落 体 运 动 ,列 出 这
20、两 种 运 动 在 同 一 坐 标 系 中 的 运 动 方 程 y1 y1(t)和 y2 y2(t),并 考虑 它们 相遇 ,即 位矢 相同 这一 条件 ,问 题即 可解 ；另 一种 方法 是取升 降 机 (或 螺 丝 )为 参 考 系 ,这 时 ,螺 丝 (或 升 降 机 )相 对 它 作 匀 加 速 运 动 ,但 是 ,此加 速 度 应 该 是 相 对 加 速 度 升 降 机 厢 的 高 度 就 是 螺 丝 (或 升 降 机 )运 动 的 路程 解 1(1)以 地 面 为 参 考 系 ,取 如 图 所 示 的 坐 标 系 ,升 降 机 与 螺 丝 的 运 动方 程分 别为 201 21at
21、ty+=v 202 21gtthy +=v当 螺丝 落至 底面 时 ,有 y1 y2,即 2020 2121 gtthatt +=+ vv s705.02=+=aght(2)螺 丝相 对升 降机 外固 定柱 子下 降的 距离 为 m716.021202 =+= gttyhd v解 2(1)以 升 降 机 为 参 考 系 ,此 时 ,螺 丝 相 对 它 的 加 速 度 大 小 a g a,螺 丝落 至底 面时 ,有 2)(210 tagh+= s705.02=+=aght(2)由 于升 降机 在 t时 间内 上升 的高 度为 2021atth+=v则 m716.0=hhd1-1一 质 点 P沿
22、半 径 R 3.0m 的 圆 周 作 匀 速 率 运 动 ,运 动 一 周 所 需时 间 为 20. ,设 t 0时 ,质 点 位 于 O点 按 (a)图 中 所 示 Oxy坐 标 系 ,求 (1)质 点 P在 任意 时刻 的位 矢； (2)5 时的 速度 和加 速度 分 析 该 题属 于运 动学 的第 一类 问题 ,即 已知 运动 方程 r r(t)求 质点 运动 的一 切信 息 (如 位置 矢量 、 位 移 、 速 度 、 加 速度 ) 在 确定 运动 方程 时 ,若 取以 点 (0,3)为 原 点 的 Oxy坐 标 系 ,并 采 用 参 数 方 程 x x(t)和 y y(t)来 表 示
23、 圆周 运动 是比 较方 便的 然 后 ,运 用坐 标变 换 x x0 x和 y y0 y,将 所得参 数 方 程 转 换 至 Oxy坐 标 系 中 ,即 得 Oxy坐 标 系 中 质 点 P在 任 意 时 刻 的 位矢 采 用对 运动 方程 求导 的方 法可 得速 度和 加速 度解 (1)如 图 (B)所 示 ,在 Oxy坐 标 系 中 ,因 tT2=,则 质 点 P的 参 数 方程 为 tTRx 2sin= , tTRy 2cos=坐 标变 换后 ,在 Oxy坐 标系 中有tTRxx 2sin= , RtTRyyy +=+= 2cos0则 质点 P的 位矢 方程 为 jir += RtTR
24、tTR 2cos2sinji )1.0(cos13)1.0(sin3 tt +=(2)5 时的 速度 和加 速度 分别 为 jjir )sm3.0(2sin22cos2dd 1=+= tTTRtTTRtv ijira )sm03.0(2cos)2(2sin)2(dd 222222 =+= tTTRtTTRt1-2地 面 上 垂 直 竖 立 一 高 20.m 的 旗 杆 ,已 知 正 午 时 分 太 阳 在 旗 杆 的 正上 方 ,求 在下 午 2 0时 ,杆 顶在 地面 上的 影子 的速 度的 大小 在 何时 刻杆 影伸 展至 20.m ？分 析 为 求 杆 顶 在 地 面 上 影 子 速 度
25、 的 大 小 ,必 须 建 立 影 长 与 时 间 的 函 数关 系 ,即 影子 端点 的位 矢方 程 根据 几何 关系 ,影 长可 通过 太阳 光线 对地 转动的 角 速 度 求 得 由 于 运 动 的 相 对 性 ,太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 也 就 是 地 球自 转的 角速 度 这样 ,影 子端 点的 位矢 方程 和速 度均 可求 得解 设 太 阳 光 线 对 地 转 动 的 角 速 度 为 ,从 正 午 时 分 开 始 计 时 ,则 杆 的 影长 为 s htgt,下 午 2 0时 ,杆 顶在 地面 上影 子的 速度 大小 为132 sm1094.1cosdd =
26、thtsv当 杆长 等于 影长 时 ,即 s h,则 s606034arctan1 = hst即 为下 午 3 0时 1-3质 点 沿 直 线 运 动 ,加 速 度 a 4-t2,式 中 a的 单 位 为 m -2,t的 单 位为 如果 当 t 3 时 ,x 9m ,v 2m -1,求 质点 的运 动方 程分 析 本 题属 于运 动学 第二 类问 题 ,即 已知 加速 度求 速度 和运 动方 程 ,必须 在 给 定 条 件 下 用 积 分 方 法 解 决 由 taddv=和 txdd=v可 得 tadd=v和txddv= 如 a a(t)或 v v(t),则 可两 边直 接积 分 如 果 a或
27、 v不 是时 间 t的显 函数 ,则 应经 过诸 如分 离变 量或 变量 代换 等数 学操 作后 再做 积分 解 由 分析 知 ,应 有 =t ta0dd0vv得 0314 vv +=tt (1)由 =txx t0dd0 v得 0042121 xtttx += v (2)将 t 3 时 ,x 9m ,v 2m -1代 入 (1)(2)得 v0 -1m -1,x0 .75m 于 是可 得质 点运 动方 程为 75.0121242 +=ttx1-4一 石 子 从 空 中 由 静 止 下 落 ,由 于 空 气 阻 力 ,石 子 并 非 作 自 由 落 体运 动 ,现 测得 其加 速度 a A-Bv,
28、式 中 A、 B为 正恒 量 ,求 石子 下落 的速 度和 运动 方程 分 析 本 题 亦 属 于 运 动 学 第 二 类 问 题 ,与 上 题 不 同 之 处 在 于 加 速 度 是 速度 v的 函数 ,因 此 ,需 将式 dv a(v)dt分 离变 量为 tad)(d=vv后 再两 边积 分解 选 取石 子下 落方 向为 y轴 正向 ,下 落起 点为 坐标 原点 (1)由 题意 知 vvBAta =dd (1)用 分离 变量 法把 式 (1)改 写为 tBAdd=vv (2)将 式 (2)两 边积 分并 考虑 初始 条件 ,有 = ttBA 0ddd0 vvvv得 石子 速度 )1(Bte
29、B=v由 此可 知当 ,t时 , BAv为 一常 量 ,通 常称 为极 限速 度或 收尾 速度 (2)再 由 )1(dd BteBAty =v 并 考虑 初始 条件 有 teBAyt Bty d)1(d00 =得 石子 运动 方程 )1(2 += BteBAtBAy1-5一 质 点 具 有 恒 定 加 速 度 a 6i 4j,式 中 a的 单 位 为 m -2 在 t 0时 ,其 速 度 为 零 ,位 置 矢 量 r0 10m i 求 ： (1)在 任 意 时 刻 的 速 度 和 位 置矢 量； (2)质 点在 Oxy平 面上 的轨 迹方 程 ,并 画出 轨迹 的示 意图 分 析 与 上两 题
30、不 同处 在于 质点 作平 面曲 线运 动 ,根 据叠 加原 理 ,求 解时需 根 据 加 速 度 的 两 个 分 量 ax和 ay分 别 积 分 ,从 而 得 到 运 动 方 程 r的 两 个 分 量式 x(t)和 y(t) 由 于本 题中 质点 加速 度为 恒矢 量 ,故 两次 积分 后所 得运 动方 程为固 定 形 式 ,即 200 21tatxx xx+=v 和 200 21tatyy yy+=v ,两 个 分 运 动 均为 匀变 速直 线运 动 读者 不妨 自己 验证 一下 解 由 加速 度定 义式 ,根 据初 始条 件 t0 0时 v0 0,积 分可 得 +=tt tt000 )d
31、46(dd jiav jitt46+=v又 由 tddr=v及 初始 条件 t 0时 ,r0 (10m )i,积 分可 得 += ttrr tttt00 )d46(dd0 jiv jir 22)310( tt+=由 上述 结果 可得 质点 运动 方程 的分 量式 ,即 x 10 3t2y 2t消 去参 数 t,可 得运 动的 轨迹 方程 3y 2x-20m这 是 一 个 直 线 方 程 直 线 斜 率 32tandd = xyk , 341 轨 迹 如图 所示 1-6一 质 点 在 半 径 为 R的 圆 周 上 以 恒 定 的 速 率 运 动 ,质 点 由 位 置 A运 动到 位置 B,OA和
32、 OB所 对的 圆心 角为 (1)试 证位 置 A和 B之 间的 平均 加速 度为 )(/)cos1(2 2 Ra v= ； (2)当 分 别等 于 90、 30、 10和 1时 ,平 均加 速度 各为 多少 ？ 并 对结 果加 以讨 论分 析 瞬 时 加 速 度 和 平 均 加 速 度 的 物 理 含 义 不 同 ,它 们 分 别 表 示 为tddv=a和 tv=a 在 匀 速 率 圆 周 运 动 中 ,它 们 的 大 小 分 别 为Ran2v=, tav=,式 中 v 可 由 图 (B)中 的 几 何 关 系 得 到 ,而 t可 由 转过 的角 度 求 出由 计 算 结 果 能 清 楚 地
33、 看 到 两 者 之 间 的 关 系 ,即 瞬 时 加 速 度 是 平 均 加 速 度在 t0时 的极 限值 解 (1)由 图 (b)可 看到 v v2-1,故 cos2 21221 vvv+=v )cos1(2 =v而 vvRst =所 以 Rta )cos1(22v=v(2)将 90,30,10,1分 别代 入上 式 ,得Ra 21 9003.0v , Ra 22 9886.0vRa 23 9987.0v , Ra 24000.1v以 上 结 果 表 明 ,当 0时 ,匀 速 率 圆 周 运 动 的 平 均 加 速 度 趋 近 于 一 极限 值 ,该 值即 为法 向加 速度 R2v1-7质
34、 点 在 Oxy平 面 内 运 动 ,其 运 动 方 程 为 r 2.0ti (19.0-2.0t2)j,式 中 r的 单位 为 m ,t的 单位 为 s 求 ： (1)质 点的 轨迹 方程 ； (2)在 t1 .0s到 t2 2.0s时 间内 的平 均速 度 ； (3)t1 1.0 时的 速度 及切 向和 法向 加速 度 ； (4)t 1.0s时 质点 所在 处轨 道的 曲率 半径 分 析 根 据 运 动 方 程 可 直 接 写 出 其 分 量 式 x x(t)和 y y(t),从 中 消 去参 数 t,即 得质 点的 轨迹 方程 平 均速 度是 反映 质点 在一 段时 间内 位置 的变 化
35、率 ,即 tr=v,它 与 时 间 间 隔 t的 大 小 有 关 ,当 t0时 ,平 均 速 度 的 极 限 即瞬 时 速 度 tddr=v 切 向 和 法 向 加 速 度 是 指 在 自 然 坐 标 下 的 分 矢 量 a 和 an,前 者 只 反 映 质 点 在 切 线 方 向 速 度 大 小 的 变 化 率 ,即tt teaddv=,后 者 只 反 映 质点 速度 方向 的变 化 ,它 可由 总加 速度 a和 a 得 到 在 求得 t1时 刻质 点的 速度和 法向 加速 度的 大小 后 ,可 由公 式 an2v=求 解 (1)由 参数 方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消 去 t
36、得 质点 的轨 迹方 程： y 19.0-.50x2(2)在 t1 1.0 到 t2 2.0 时间 内的 平均 速度 jirr 0.60.21212 = tttrv(3)质 点在 任意 时刻 的速 度和 加速 度分 别为 jijiji ttytxt yx 0.40.2dddd)( =+=+=vvv jjia 22222 0.4dddd)( =+= smtytxt则 t1 1.0 时的 速度v(t) t 1 2.0i-4.0j切 向和 法向 加速 度分 别为 ttyxttt tt eeea 222s1 sm58.3)(dddd = =+= vvvnntn aa eea 222 sm79.1=(4
37、)t 1.0 质点 的速 度大 小为 122 sm47.4=+=yxvvv则 m17.112=nav1-8飞 机 以 10m -1的 速 度 沿 水 平 直 线 飞 行 ,在 离 地 面 高 为 10m时 ,驾 驶 员 要 把 物 品 空 投 到 前 方 某 一 地 面 目 标 处 ,问 ： (1)此 时 目 标 在 飞 机 正下 方 位 置 的 前 面 多 远 ？ (2)投 放 物 品 时 ,驾 驶 员 看 目 标 的 视 线 和 水 平 线 成 何角 度？ (3)物 品投 出 2.0 后 ,它 的法 向加 速度 和切 向加 速度 各为 多少 ？分 析 物 品 空 投 后 作 平 抛 运 动
38、 忽 略 空 气 阻 力 的 条 件 下 ,由 运 动 独 立 性原 理 知 ,物 品 在 空 中 沿 水 平 方 向 作 匀 速 直 线 运 动 ,在 竖 直 方 向 作 自 由 落 体 运动 到 达地 面目 标时 ,两 方向 上运 动时 间是 相同 的 因此 ,分 别列 出其 运动 方程 ,运 用时 间相 等的 条件 ,即 可求 解此 外 ,平 抛 物 体 在 运 动 过 程 中 只 存 在 竖 直 向 下 的 重 力 加 速 度 为 求 特 定时 刻 t时 物体 的切 向加 速度 和法 向加 速度 ,只 需求 出该 时刻 它们 与重 力加 速度之 间的 夹角 或 由 图可 知 ,在 特定
39、 时刻 t,物 体的 切向 加速 度和 水平 线之 间的夹 角 ,可 由 此 时 刻 的 两 速 度 分 量 vx、 vy求 出 ,这 样 ,也 就 可 将 重 力 加 速 度 g的切 向和 法向 分量 求得 解 (1)取 如 图 所 示 的 坐 标 ,物 品 下 落 时 在 水 平 和 竖 直 方 向 的 运 动 方 程分 别为 x vt,y 1/2gt2飞 机 水 平 飞 行 速 度 v 10m s-1,飞 机 离 地 面 的 高 度 y 10m ,由 上 述 两式 可得 目标 在飞 机正 下方 前的 距离 m4522=gyxv(2)视 线和 水平 线的 夹角 为 o5.12arctan=
40、xy(3)在 任意 时刻 物品 的速 度与 水平 轴的 夹角 为vvv gt xyarctanarctan=取 自 然 坐 标 ,物 品 在 抛 出 2s时 ,重 力 加 速 度 的 切 向 分 量 与 法 向 分 量 分 别为 2sm88.1arctansinsin = vgtggat2sm62.9arctancoscos = vgtggan1-9如 图 (a)所 示 ,一 小 型 迫 击 炮 架 设 在 一 斜 坡 的 底 端 O处 ,已 知 斜 坡倾 角为 ,炮 身与 斜坡 的夹 角为 ,炮 弹的 出口 速度 为 v0,忽 略空 气阻 力 求 ： (1)炮 弹 落 地 点 P与 点 O的
41、 距 离 OP； (2)欲 使 炮 弹 能 垂 直 击 中 坡 面 证 明 和 必 须满 足 tan21tan=并 与 v0无 关分 析 这 是 一 个 斜 上 抛 运 动 ,看 似 简 单 ,但 针 对 题 目 所 问 ,如 不 能 灵 活 运用 叠加 原理 ,建 立一 个恰 当的 坐标 系 ,将 运动 分解 的话 ,求 解起 来并 不容 易 现建 立 如 图 (a)所 示 坐 标 系 ,则 炮 弹 在 x和 y两 个 方 向 的 分 运 动 均 为 匀 减 速 直 线运 动 ,其 初 速 度 分 别 为 v0cos和 v0sin,其 加 速 度 分 别 为 gsin和 gcos 在 此 坐
42、标 系 中 炮 弹 落 地 时 ,应 有 y 0,则 x OP 如 欲 使 炮 弹 垂 直 击 中 坡 面 ,则 应 满足 vx 0,直 接列 出有 关运 动方 程和 速度 方程 ,即 可求 解 由 于本 题中 加速 度 g为 恒 矢 量 故 第 一 问 也 可 由 运 动 方 程 的 矢 量 式 计 算 ,即 20 g21tt+=vr ,做 出炮 弹落 地时 的矢 量图 如 图 (B)所 示 ,由 图中 所示 几何 关系 也可 求得 OP(即图 中的 r矢 量 )(1)解 1由 分析 知 ,炮 弹在 图 (a)所 示坐 标系 中两 个分 运动 方程 为gttx sin21cos20 =v (
43、1)gtty cos21sin20 =v (2)令 y 0求 得时 间 t后 再代 入式 (1)得 )cos(cossin2)sinsincos(coscossin2 220220 ggxOP += vv解 2做 出炮 弹的 运动 矢量 图 ,如 图 (b)所 示 ,并 利用 正弦 定理 ,有gtt sin212sin2sin 20 =+= vr从 中消 去 t后 也可 得到 同样 结果 (2)由 分析 知 ,如 炮弹 垂直 击中 坡面 应满 足 y 0和 vx 0,则0sincos0 = gtxvv (3)由 (2)(3)两 式消 去 t后 得 sin21tan=由 此可 知 只 要角 和
44、满 足上 式 ,炮 弹就 能垂 直击 中坡 面 ,而 与 v0的 大小无 关 讨 论 如 将 炮 弹 的 运 动 按 水 平 和 竖 直 两 个 方 向 分 解 ,求 解 本 题 将 会 比 较困 难 ,有 兴趣 读者 不妨 自己 体验 一下 1-20一 直 立 的 雨 伞 ,张 开 后 其 边 缘 圆 周 的 半 径 为 R,离 地 面 的 高 度 为h,(1)当 伞 绕 伞 柄 以 匀 角 速 旋 转 时 ,求 证 水 滴 沿 边 缘 飞 出 后 落 在 地 面 上 半 径为 ghRr /212+= 的 圆周 上 ； (2)读 者能 否由 此定 性构 想一 种草 坪上 或农 田灌 溉用 的
45、旋 转式 洒水 器的 方案 ？分 析 选 定 伞 边 缘 O处 的 雨 滴 为 研 究 对 象 ,当 伞 以 角 速 度 旋 转 时 ,雨 滴将 以速 度 v沿 切线 方向 飞出 ,并 作平 抛运 动 建立 如图 (a)所 示坐 标系 ,列 出雨滴 的 运 动 方 程 并 考 虑 图 中 所 示 几 何 关 系 ,即 可 求 证 由 此 可 以 想 像 如 果 让 水从 一 个 旋 转 的 有 很 多 小 孔 的 喷 头 中 飞 出 ,从 不 同 小 孔 中 飞 出 的 水 滴 将 会 落 在半 径 不 同 的 圆 周 上 ,为 保 证 均 匀 喷 洒 对 喷 头 上 小 孔 的 分 布 还
46、要 给 予 精 心 的 考虑 解 (1)如 图 (a)所 示坐 标系 中 ,雨 滴落 地的 运动 方程 为 tRtx=v (1)hgty =221 (2)由 式 (1)(2)可 得 ghRx 222=由 图 (a)所 示几 何关 系得 雨滴 落地 处圆 周的 半径 为222 21ghRRxr +=+=(2)常 用 草 坪 喷 水 器 采 用 如 图 (b)所 示 的 球 面 喷 头 (0 45)其 上 有 大 量小 孔 喷 头旋 转时 ,水 滴以 初速 度 v0从 各个 小孔 中喷 出 ,并 作斜 上抛 运动 ,通 常喷 头表 面基 本上 与草 坪处 在同 一水 平面 上 则以 角 喷射 的水 柱射 程为gR2sin0v=为 使喷 头周 围的 草坪 能被 均匀 喷洒 ,喷 头上 的小 孔数 不但 很多 ,而 且还 不能 均匀 分布 ,这 是喷 头设 计中 的一 个关 键问 题1-21一 足 球 运 动 员 在 正 对 球 门 前 25.0m 处 以 20.m -1的 初 速 率 罚任 意球 ,已 知球 门高 为 3.4m 若 要在 垂直 于球 门的 竖直 平面 内将 足球 直接 踢进 球门 ,问 他应 在与 地面 成什 么角 度的 范围 内踢 出足 球？ (足 球可 视为 质点 )分 析 被 踢出 后的 足球 ,在 空中 作斜 抛
