1、第卷第期年月河海大学常州分校学报麦克斯韦速率分布律是大学物理教学的重要内容之一，然而现行的不少教材对其的数学推导和论证过程是非常不严密的针对这一问题，作者分别采用初等方法（与麦克斯韦当初的推证过程基本相同）和“科学猜想”方法（分子运动论的基本观点和统计性假设）对理想气体在平衡态下的速率分布进行了推导，推导结果与原结果完全一致推导过程表明大多数教材利用麦克斯韦速率分布函数推导方均根速率的过程缺少理论依据，在数学上是不严密的，属于前后循环论证部分教材的理论推导和阐述目前国内许多高等院校选用的大学物理教材，在推导气体分子平均平动动能时直接给出麦克斯韦速率分布函数：（）!（!）（）然后由该函数得出方均
2、根速率：!（）“ #最后由上式推导出气体分子的平均平动动能：“$?以上各式中，为单原子分子的质量，为波耳兹曼常数，为热力学温度事实上在麦克斯韦速率分布律的推导过程中能量均分定理公式已作为一个已知条件使用，因此上述推导属于循环论证，是不严格的经过查阅有关资料后，作者采用种方法推导了麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布函数的种推导方式麦克斯韦速率分布函数的初等方法推导设容器内有一定量的处于平衡态的气体，气体分子总数为，分子速度在、方向的分量分别为、由于气体分子的速度分布各向同性，在速度区间、内的分子数与总分子数和速度体积元的乘积成正比，即（），因此速度分布函数（单位速度间隔内的分子数占总分子数的比率
3、）（）（）速度分布函数的自变量用（）表示，分布函数只与速度大小有关，而与速度方向无关由于速度分布各向同性，各速度分量之间互相独立，因此可令收稿日期：作者简介：陈秉岩（），男，云南普洱人，助理实验师，物理学专业文章编号：（）麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨陈秉岩，王怡，薛波静，康艳萍，茆黎琼（河海大学数理教学部，江苏常州；河海大学计算机及信息工程学院，江苏常州）摘要：指出目前许多大学物理教材中直接利用麦克斯韦速率分布函数推导方均根速率的方法是不严格的，属于循环论证采用初等方法和科学猜想方法对麦克斯韦速率分布律进行了严格的数学推导分析，并得出了正确的结果关键词：分布函数；麦克斯韦速率分布律；分子平
4、均平动动能；初等方法；科学猜想方法中图分类号：文献标识码：年月河海大学常州分校学报（）（）（）（）（）式中，（）、（）和（）分别为分子速率在、和方向的分布函数式（）两边取对数后，分别对、求偏导，并利用，整理后有：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）可见式（）对、求偏导的结果相同假设：（）（）（）（）（）（）!积分后得：（）（!），（）（!），（）（!）令常数将此积分结果代入式（）得：（）!（）考虑到具有无限大速率的分子出现的几率极小，故!应为 负值令!，由归一化条件得：!（）“（!）“（!）“（!）将“ （! ）“#!代入上式得 “!“#，于是（）（!“#）!（）（!“#）（!）（）根据能
5、量均分定理，在温度为时，单原子分子的平均能量为：（）因此，由，即!（）（），可以确定!#将!代入式（）得麦克斯韦速率分布函数：（）（“ ）（）（“ ）（）（）若用（）表示只考虑单原子气体分子速度大小的分布函数，并用球坐标描述方程，则在直角坐标系和球坐标系下速度区间的对应关系为：#（$为立体角）因此气体分子速率在区间的分布可表示为：（）“ （）$（）将式（）代入式（）即可得用初等方法推导出的麦克斯韦速率分布律：（）“（“）（）麦克斯韦速率分布函数的科学猜想方法推导以（）表示分布在速率附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率，运用分子运动论和平衡态下气体分子运动的统计性假设对分子按速率分布的规律
6、作如下推论：由于分子都在不停地作无规则运动，因此就统计平均而言，分子运动速率不可能为零，即当时，分布函数（）任何分子的速率都是有限值，且不可能达到光速，即（）由推论和可知，分子运动的速率必定在区间（，）内，即“ （ ） 据统计性假设，对某一给定速率，分子在各个方向运动的几率是相等的，因此分子在、方向以速率、的运动可视为独立事件，且出现的概率也是独立的若设其概率分别为：（）、（）、（），则个独立事件同时发生在速度空间的总概率应为：第卷第期（）（）（）由于分子在各个方向速率的分布几率是相等的，因此速率分布函数必须满足：（）（）（）（）（）（）即速率分布函数为偶函数，且在各方向的分布具有相同的函数形
7、式因此，将某一速率的值代入不同的独立分布函数中应当得到相同的结果考虑到函数（）（）可以满足上述推论中提出的各种条件，因此可用它作为分布函数的雏形来构造所需要的速率分布函数假定：（）（!）（）（!）（）（!）式中，和 为待定系 数按推论 有：（）!（）根据体元变换关系，此式又可写成：（）? （!） ?! （）式（）完全符合分子运动论的基本观点、统计性假设和所作的各种推论，因而是合理的将式（）代入推论中的式子，可得!方均根速率是单原子气体分子运动速率的平方的平均值的平方根，即：!“ （!）! ? !（）再根据能量均分定理，将温度为时的单原子分子平均能量的表达式（能量均分公式）代入式（），整理后得：
8、!将!和!代入式（），经整理便可得到以科学猜想方式推导的平衡态下单原子气体分子的速率分布函数：（）!（!）（）结束语指出了文献运用麦克斯韦速率分布函数，推导分子平均平动动能的方法是不严密的，属于循环论证，缺少具体理论依据根据理想气体分子的平均平动动能与麦克斯韦速率分布函数的关系，运用初等方法和科学猜想的方法对麦克斯韦速率分布函数进行了更合理、更严密的数学推导，并得出了公认的结果参考文献：吴百诗大学物理（下）西安：西安交通大学出版社，邓法金大学物理学（世纪高等院校教材）版北京：科学出版社，程守洙，江之永普通物理学（第册）版北京：高等教育出版社，韩绍先大学基础物理教育研究天津：南开大学出版社，王竹
9、溪统计物理学导论北京：人民教育出版社，马本堃热力学与统计物理学北京：人民教育出版社，汪德新数学物理方法武汉：华中理工大学出版社，汪志诚热力学统计物理版北京：高等教育出版社，（下转第页）陈秉岩，等麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨第卷第期（上接第页）!，!，!，!（，；，）：，：；参考文献：何希才传感器及应用电路北京：电子工业出版社，李茂山超声测距原理及实践技术实用测试技术，（）：多传感器技术及应用北京：国防工业出版社，纪良文，蒋静坪机器人超声测距数据的采集与处理工业控制计算机，（）：奚吉，江冰基于实现网串口通信的研究河海大学常州分校学报，（）：夏德海现场总线技术北京：中国电力出版社，!，（，）：，!，!（）!，：；!；戴娟，等移动机器人多传感器的实时动态测试与控制!
