1、第 2 章 状态空间数学模型,教材： 王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011,2,状态空间方法是基于状态空间模型分析与设计自动控制系统。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。 本章首先介绍状态的概念以及状态空间模型的建立方法，然后介绍系统的状态空间模型的实现，为系统分析与设计奠定基础。,第2章 状态空间数学模型,3,第2章 状态空间数学模型,2.1 状态与状态空间的概念 2.2 系统的状态空间模型 2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换 2.4 控制系统的实现 2.5 多变量系统的传递矩阵 2.6 控制系统的离散状态空间
2、模型,4,2.1 状态与状态空间的概念,例：图2.1所示弹簧-阻尼器系统,在外作用力F(t)已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。 如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。 物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，可以根据其中两个量确定另外一个量，因此这个量对于描述系统状态是多余的。 可选择物体在某一时刻的位移及速度为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。,5,状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数
3、变量的一组变量称为状态变量。 以n个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间。,2.1 状态与状态空间的概念,状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。,6,2.2 系统的状态空间模型,2.2.1 建立状态空间模型的方法,描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。 描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。 系统的状态方程和输出方程组成系统的状态空间模型，或称为动态方程。 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以又称为内部描述模型。它比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。,7,选取的状态变量
4、一定要满足状态的定义，首先检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分，即是否完全决定了系统的状态。 状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数 。选择状态变量一般有三条途径(不限于)：（1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；（2）选择系统的输出变量及其阶导数作为状态变量（为系统独立储能元件的个数）；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。,2.2.1 建立状态空间模型的方法,8,2.2.1 建立状态空间模型的方法,例2.1 建立图示质量-弹簧-阻尼器系统的状态空间模型。,选取状态变量为,根据牛顿定律得,系统的状态方程,系统的输出方程为,状态空
5、间表达式,9,2.2.1 建立状态空间模型的方法,例2.2 建立图示RLC网络的状态空间模型。,选取状态变量为,根据电压电流定律得,10,2.2.1 建立状态空间模型的方法,从上面例题可以看出： （1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）； （2）状态变量的个数一定； （3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。 很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。,11,2.2.2 由状态空间模型求微分方程,如果已经得到了系统的状态空间模型，只要消除状态空间模型中的状态变量，即可得
6、到系统输出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。 例2.4 例2.1所示弹簧-阻尼器系统的状态空间模型为,微分方程为,12,2.2.2 由状态空间模型求微分方程,例2.5 对于例2.2所示的RLC网络，若选状态变量为电感中的电流和电容上的电压，则状态空间模型为,微分方程为,13,2.3 线性系统的状态空间模型与线性变换,状态空间模型的一般表示式（1）,2.3.1 SISO线性系统的状态空间模型,14,2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型,多输入多输出线性系统的状态方程可以表示为,输出方程表示为,15,2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型,简记为,多输入多输出线性系统的
7、状态方程矩阵形式为,16,多输入多输出系统的矩阵方框图,2.3.2 MIMO线性系统的状态空间模型,17,2.3.3 状态方程的线性变换,状态变量的选择不唯一，状态方程也不唯一，但这些状态方程可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。,可以通过线性变换将系统的一般模型变换为简单规范的标准型，从而简化系统的分析和设计。,18,2.3.3 状态方程的线性变换,设状态变量取为x时，系统的状态空间模型为,取线性变换,系统的状态空间模型变换为,P?,第5章介绍,19,2.3.3 状态方程的线性变换,考察经非奇异线性变换后，特征值的变化情况。,经非奇异线性变换后，状态方程的特征值不变，所以，
8、一般称特征值是系统的不变量。,20,例2.6 已知系统的状态方程为,2.3.3 状态方程的线性变换,取线性变换为,求变换后的系统的状态方程。,21,2.3.3 状态方程的线性变换,解：取,22,2.4 控制系统的实现,2.4.1 系统的实现问题,系统的实现是根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来。 根据输入输出关系求得的状态空间模型不是唯一的，有无穷多个状态空间模型具有相同的输入输出关系。,由状态空间模型求微分方程较容易，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系式就行了。 由系统的微分方程、传递函数等外部数学模型确定等价的状态空间等内部
9、数学模型称为系统的实现。,23,2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现,不含有输入导数项的微分方程的一般描述为,若将状态变量选为,系统的状态方程为,24,2.4.2 不含有输入导数项的微分方程的实现,表达为矩阵形式,25,2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现,含有输入导数项的微分方程的一般描述为,这时，不能选输出及其各阶导数，否则状态变量中包含输入信号的导数，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求。,（1）方法一: 选取系统的状态变量为,26,2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现,27,例2.8 求系统的状态空间模型。,2.4.3 含有输入导
10、数项的微分方程的实现,28,（2）方法二：基于方框图变换 与微分方程等效的方框图进行等效变换。,2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现,29,2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现,取状态变量为,引入中间变量z，则微分方程可化成下面两个方程表示,所以，状态方程为,30,输出方程为,2.4.3 含有输入导数项的微分方程的实现,这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义。 例2.9 求系统的状态空间实现。,解,31,2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念 对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成了一个矩阵，称为传递矩阵。,2.5 多变量系统的传递矩
11、阵,由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出分别为,32,表示为矩阵形式,2.5.1 多变量系统传递矩阵的概念,传递矩阵定义为,33,设MIMO线性定常系统的状态空间模型为,2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵,传递矩阵为,34,2.5.2 从状态空间模型求传递矩阵,例2.10 已知系统状态空间模型，求传递矩阵。,35,2.5.3 多变量控制系统的结构图简化,系统的传递矩阵为,36,2.6 控制系统的离散状态空间模型,设线性定常系统的差分方程描述为,若状态变量选择为,37,2.6 控制系统的离散状态空间模型,当差分方程中含有输入量的差分项时，类似于连续状态空间模型中的方法，状态变量可以选
12、择为,38,2.6 控制系统的离散状态空间模型,例2.12 已知系统的差分方程，求离散状态空间模型。,39,2.6 控制系统的离散状态空间模型,40,2.8 本章小结,状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。 状态变量可以选择：系统中储能元件的输出物理量、输出变量及其阶导数、使状态方程成为某种标准形式的变量。 状态变量的选择不唯一，但个数一定。状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义
13、的量；可以是可测量，也可以是不可测量。状态方程不唯一，在相似意义下唯一。 消除状态空间模型中的状态变量，可得到系统的微分方程描述。 状态方程可以通过线性变换得到状态方程的其他形式。,41,2.8 本章小结,由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，通常称为系统的实现问题。 对于不含有输入导数项的微分方程，取输出变量及其n-1阶导数作为状态变量可以得到状态空间模型实现。 对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构成的矩阵称为传递矩阵。 除第i个输入外，设其余输入均为0，且在零初始条件下，第j个输出的拉氏变换与第i个输入的拉氏变换之比，定义为第i个输入和第j个输出之间的传递函数，记为 从状态空间模型求传递矩阵： 差分方程（2.54）的离散状态空间模型为式（2.55）。,42,THE END,
