1、6.2单调性及其判定,一、单调性的判别法,函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？回答是肯定的。,定理,证,应用拉氏定理,得,注,此判定法则对其它各种类型的区间仍适用,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这
2、一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,例5,证明,证,例6,分析,如图所示,结论是显然的,证一,总之有,证二,或令,例7,证,或,利用单调性证明不等式的步骤：,将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x),与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增,
