1、1,第 1 章 弯曲问题的进一步研究,2,1-1 非对称纯弯曲梁的正应力,当梁具有一个纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内时，梁将发生对称弯曲(图a)，材料力学(I)中已研究了该情形下梁横截面上的正应力。,3,当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力作用面与该平面间有一夹角，梁将发生非对称弯曲(图b)。本节研究非对称弯曲时，梁横截面上的正应力。,4,三角形截面纯弯曲梁如图(a)所示，图中，x为梁的轴线，y 、z为任意一对相互垂直的形心轴。横截面上弯矩M的矢量方向和y轴的夹角为j，M 在y、z 轴上的分量分别为My和Mz。,. 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式,5,几何方面 试验表
2、明，非对称弯曲时，平面假设依然成立，设横截面的中性轴为n -n(位置未定)，距中性轴为h(图b)的任一点的线应变为,式中，r为变形后中性层的曲率半径。,(1),6,物理方面 横截面上各点仍为单轴应力状态，并设材料在线弹性范围内工作，且拉伸和压缩时的弹性模量均为E，横截面上任一点的正应力为,(2),7,静力学方面 法向内力元素s dA组成的内力分别为,将(2)式代入(3)式，得,8,因为 ，必有,可见，中性轴nn通过横截面的形心。设中性轴nn和y轴的夹角为q，如图所示。由图可见,将上式代入(2)式，得,9,将(6)式代入(4)、(5)两式，并注意到,可得,10,联解以上两式，得,将(7)，(8)
3、两式代入(6)式，得,(1-1)式称为广义弯曲正应力公式。,(1-1),11,由(7)和(8)式可以解出中性轴和y轴的夹角q为,由(1-2)式可以确定中性轴的位置。令(1-1)式中,也可以得到(1-2)式。,12,横截面上的最大拉应力和最大压应力分别发生在距中性轴最远的D1和D2点处，如图a、b所示。把D1和D2点的坐标(y，z)代入(1-1)式，可以得到横截面的st,max和sc,max。,(1-1)式也可以用于计算细长梁横力弯曲时，横截面上的正应力。,13,. 广义弯曲正应力公式的讨论,广义弯曲正应力公式(1-1)适用一切弯曲情况下梁横截面上正应力的计算，分述如下：(1) 梁具有纵向对称平
4、面xy，且外力作用在该平面内(对称弯曲，平面弯曲)。,上式即为对称弯曲时，梁横截面上的正应力计算公式，式中的负号是因为(1-1)式中Mz为负值。,令(1-1)式中，My= 0 , Mz=M , Iyz= 0 , 得,(1-1),14,(2) 梁不具有纵向对称平面，但外力作用在梁的形心主惯性平面内，或外力作用面与形心主惯性平面平行,如图所示Z字形截面梁，图中y,z轴为形心主惯性轴(Iyz=0)，xy，xz均为形心主惯性平面。弯矩M位于xy面内(M的矢量沿z轴)。将My=0，M=Mz，Iyz=0代人(1-1)式，得,(1-1),15,上式表明，只要外力作用在形心主惯性平面内，或者外力作用面平行于形
5、心主惯性平面时，对称弯曲时的正应力公式仍然适用。,由(1-2)式，得,，即,说明中性轴为z轴，梁只绕z轴弯曲，梁的挠曲线和外力均在xy平面内，或外力所在平面和挠曲线平面平行，即梁发生平面弯曲。,16,如图所示Z字形截面梁，其y、z轴为形心主惯性轴，弯矩M的矢量与y轴的夹角为j，把My=M cosj，Mz = M sinj，及 Iyz = 0代入（1-1）式，得,(3) 梁不具有纵向对称平面，外力也不作用在形心主惯性平面内,(1-1),17,上式右端的第一项表示xz平面内弯曲时的正应力，第二项表示xy平面内弯曲时的正应力。可见外力不作用在形心主惯性平面内时，可将外力向两个形心主惯性平面内分解，分
6、别计算两个形心主惯性平面内的弯曲正应力，将二者叠加可得到横截面上任一点的正应力。,中性轴公式成为,因为 所以 即中性轴不再垂直于M(外力)作用平面(中性轴不沿M的矢量方向)。外力和挠曲线不在同一平面内，梁产生斜弯曲。,18,(4) 梁具有纵向对称平面，但外力作用面与纵向对称平面有一夹角。,这种情况，是情况3的特例，已在材料力学()的8-2中研究过。,19,已知：Iy=28310-8 m4，Iz=1 93010-8 m4，Iyz=53210-8 m4，s=170 MPa。求q。,例题 1-3,20,1. 用广义弯曲正应力公式计算,(b),例题 1-3,解:,21,由 式得,(b),例题 1-3,
7、22,中性轴n-n位置如图c所示。由图可见，st,max和sc,max分别发生在C截面的D点和E点。该两点到中性轴的距离相等，D点的坐标为,例题 1-3,23,把有关数值代入上式，,得 q=23.1kN/m,可得D点的强度条件为,按式,例题 1-3,24,2. 叠加法 将Mz = MC沿形心主轴y0，z0方向分解(图d)，分别计算两个平面弯曲时的正应力，然后进行叠加。确定形心主轴的位置，即,形心主轴y0，z0的位置如图d所示。,例题 1-3,25,形心主惯性矩分别为,沿形心主轴y0，z0弯矩的分量分别为,2086.910-8m4 126.110-8m4,例题 1-3,26,D点在y0，z0坐标
8、中的坐标的绝对值分别为,例题 1-3,27,D点的强度条件为,解得,可见，当形心主轴位置未知时，利用广义弯曲正应力公式计算较为方便。,例题 1-3,28,1-2 两种材料的组合梁,由1, 2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图a所示。设1, 2两种材料的弹性模量分别为E1和E2，且E1E2，横截面面积分别为A1和A2。现在分析该梁在纯弯曲时横截面上的正应力。弯矩M 作用在纵向对称平面内，且M 为正。,29,图中，y为对称轴，z为中性轴(位置未定)。设平面假设依然成立，变形后中性层的曲率半径为r，横截面上距中性轴为y的任一点的线应变为,线应变沿高度的变化规律如图b所示。,(1),30,当材料均
9、在线弹性范围内工作时，横截面上材料1,2两部分的正应力分别为,(2),正应力沿高度的变化规律如图c所示,31,静力学关系为,把(2)式代入(3)式，得,(a)式为确定中性轴位置的条件。,32,设中性轴z到z1轴的距离为yn，微面积dA到z和z1轴的距离分别为y和y(图f)。由图可见，,把(b)式代入(a)式，得,(c),(b),33,注意到，yn为常量，设面积A1, A2的形心到z1轴的距离分别为yC1和 yC2 (图f)则,于是(c)式成为,34,将上式右端除以E1，(d)式成为,由(5)式可以确定中性轴的位置。,把(2)式代入(4)式，得,式中， 分别表示面积A1和A2对z轴的惯性矩。由(
10、e)式得中性层的曲率为,(6),(e),(5),35,将(6)式代入(2)式，得,(f),(g),36,相当截面设高度h1和h2及材料1部分的宽度b不变，把材料2部分的宽度按,折算，折算后的截面如图e所示。折算的截面相当于仅由材料1构成的截面，称为相当截面。,37,由图e可见，材料1、2两部分的面积的形心位置yC1、yC2不变。求实际截面的中性轴公式(5)成为,该式也是求相当截面水平形心轴的公式。实际截面的等效惯性矩,为相当截面对水平形心轴的惯性矩。,38,按相当截面求出的正应力，为材料1部分的正应力，将它乘以 后才是材料2部分的应力，即,（同8式）,39,图a所示矩形截面梁，由铝合金1和碳钢
11、2组成，两种材料的弹性模量分别为E170 GPa，E2=210 GPa，横截面上的正弯矩M50 kNm。试求正应力沿高度的变化规律。,例题 1-1,40,为了说明利用公式和相当截面计算的截面几何性质的一致性，分别采用两种方法计算截面的几何性质。,公式法,实际截面的几何尺寸如图a所示，其中性轴位置为,例题 1-1,解:,41,1, 2两部分面积对中性轴的惯性矩分别为,等效惯性矩为,例题 1-1,42,相当截面法 将碳钢部分的宽度折算成铝合金部分的宽度，即相当截面如图b所示，,例题 1-1,43,水平形心轴的位置为,例题 1-1,44,对z轴的惯性矩为,可见两种方法所得到的结果完全一致。,yn,例
12、题 1-1,45,1. （铝合金）部分的最大压应力发生在横截面的上边缘，其值为,最大拉应力发生在两种材料的分界处，其值为,例题 1-1,46,正应力沿梁高度的变化规律如图c所示。,2. （碳钢）部分的最小拉应力为,最大拉应力发生在横截面的下边缘处，其值为,例题 1-1,47,一木梁因承载能力不足，在梁的顶部和底部用钢板加固，如图a所示。钢板和木材的弹性模量和许用应力分别为E1=210 GPa，s1=160 MPa，E2=10.5 GPa， s2=10 MPa。试求该梁所能承受的最大弯矩M。,例题 1-2,48,解：,相当截面如图b所示。其惯性矩为,由钢板的强度条件,得,例题 1-2,49,由木
13、材的强度条件,得,梁能承受的最大弯矩为M47.95 kNm,例题 1-2,50,1-3 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心,T字形截面悬臂梁如图a所示。图中，z为对称轴，y、 z轴为形心主惯性轴。横向力F平行于y轴，到竖直板中线的距离为e。试验表明：梁将在xy面内发生平面弯曲，同时还伴随有扭转。,51,为了分析产生扭转的原因，先分析梁横截面上的切应力。非对称开口薄壁截面梁横截面上的切应力公式仍为,图a所示梁横截面的水平板上和y方向平行的切应力很小，可以忽略不计。竖直板上与切应力相应的合力FR几乎等于横截面的剪力FSy，即,其作用线沿竖直板的中线，如图b所示。,52,从梁中截取长度为a的一段梁(图
14、c)进行分析，该段梁上两个反向平行力F组成一个力偶，其矩为,该力偶矩使梁产生扭转。只有当力F的作用线沿竖直板的中线，Mx=0时,梁只产生弯曲，不产生扭转。,53,若力F沿梁自由端的z轴，略去竖直板上平行于z方向切应力，水平板上与切应力相应的合力FRFSz，其作用线沿z轴(图d)。剪力FSy和FSz相交于A点(图e)，A点称为截面的弯曲中心或剪力中心。当横向力F通过弯曲中心A时，梁只产生弯曲，不产生扭转。,54,开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小，当横向力不通过弯曲中心A时，将引起很大的扭转变形，并且当扭转时横截面不能自由翘曲时，梁中还要产生附加的正应力和切应力，称为约束扭转(1-4)。因此研究开口薄
15、壁截面梁的弯曲中心具有十分重要的意义。弯曲中心是剪力FSy和FSz的交点，其位置仅取决于截面的形状和尺寸，它是截面的几何量，与外力的大小和方向及梁的约束等均无关。现将几种截面的弯曲中心位置列于表1-1中。,55,56,由表1-1可见：1. 当截面具有一根对称轴时，例如，槽形,开口薄壁圆环,T字形,等边角形等，其弯曲中心一定位于对称轴上。,3. 由两个狭长矩形组成的截面，例如，T字形,等边和不等边角形等，其弯曲中心位于两狭长矩形中线的交点处。,2. 当截面具有两根对称轴时，例如工字形等，其弯曲中心和形心位置重合。Z字形截面为反对称截面，其弯曲中心也与形心位置重合。,57,试确定图a所示槽形截面弯
16、曲中心的位置。,例题 1-3,58,图a中z为对称轴，y,z为形心主惯性轴，当外力沿z轴作用时，切应力分布规律如图b所示，相应的合力近似等于FSz，作用线沿z轴，所以弯曲中心A一定位于z轴上。,1. FSz的作用线位置,例题 1-3,解:,59,设外力F的作用线平行于y轴， 且通过弯曲中心A，其切应力分布规律如图c所示。其中,微内力t dA在腹板和翼缘上的合力分别为,A为腹板的面积。,2. FSy的作用线位置,例题 1-3,60,FH，FSy的作用线位置如图d所示，将各力向O点简化，得主矢量和主矩分别为,设合力作用线通过弯曲中心A，由,得,例题 1-3,61,求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位
17、置。,例题 1-4,62,因为弯曲中心A位于对称轴z上，所以仅需确定剪力FSy的作用线位置。设剪力FSy平行于y轴，且通过弯曲中心A。在截面的开口处截取dx微段梁(图b)进行分析，可知截面上切应力流如图a所示。,1. 计算在剪力Fsy作用下，横截面上的切应力,例题 1-4,解:,63,式中，,把(b),(c)式代入(a)，得,例题 1-4,64,微内力 的合力及其对O点的合力矩分别为,2. 求Fsy的作用线位置,例题 1-4,65,悬臂梁在自由端受集中力F作用，若采用图a,b,c所示三种截面，且力F均通截面的形心C。试问这几种截面梁各产生何种变形？,例题 1-5,66,1. 各截面的形心主惯性
18、轴和弯曲中心的位置，分别如图d，e，f 所示。,例题 1-5,解:,67,图a中力F沿形心主轴y，但不通过弯曲中心A，梁产生平面弯曲和扭转。,图b中力F既不和形心主惯性轴平行，也不通过弯曲中心A，梁产生斜弯曲和扭转。,2. 判断各种截面梁产生的变形形式,例题 1-5,68,图(c)力F不和形心主惯性轴平行。但通过弯曲中心A，梁产生斜弯曲。,例题 1-5,69,1-4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念,由1-3节可知，当横向力不通过开口薄壁截梁的弯曲中心时，梁除了产生弯曲变形外，还要产生较大的扭转变形。且这种扭转往往是约束扭转。本节介绍开口薄壁截面杆约束扭转的概念。,70,图示矩形截面杆，扭转后其横
19、向线成为曲线，可以推知横截面变形后成为曲面翘曲。非圆截面杆扭转时，横截面均要发生翘曲。,71,当等直杆仅两端受扭转力偶作用，且两端横截面均可以自由翘曲时，其任意相邻两横截面的翘曲程度相同，即相邻两横截面间的纵向纤维的长度不变，因此横截面上不会产生正应力，这种扭转称为自由扭转。图示矩形截面杆的扭转为自由扭转。,72,由于约束条件或荷载等原因，使杆在扭转时，横截面不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同，即相邻两横截面间的纵向纤维的长度发生不同程度的改变，因此横截面上产生相应的附加正应力，这种扭转称为约束扭转。实体截面杆的附加正应力很小，可以不计。开口薄壁截面杆的附加正应力较大，不能不计。,73
20、,求开口薄壁截面杆件在约束扭转时的内力,应力等，是“薄壁杆件”课程的内容。本节以工字形截面杆为例，简单介绍开口薄壁截面杆约束扭转时横截面上的应力和内力特征。,图a所示工字形截面杆，由于左端为固定端，左端横截面不可能翘曲，右端为自由端，右端横截面可以自由翘曲。可以推知，处于左,右两端面之间的各横截面的翘曲将受到不同程度的约束，即该杆产生约束扭转。,74,横截面上相应的内力如图b所示。图中，T为扭矩；MB为翼缘上位于翼缘平面内的弯矩，两翼缘上MB的转向相反；FSw为位于翼缘平面内的剪力，两翼缘上FSw的指向相反。翼缘上存在剪力的原因是由于各横截面的翘曲程度不同，因此弯矩MB随截面位置而变化，即MB
21、 = MB (x)，由,可知，翼缘上存在剪力。,试验和理论分析表明：,杆的变形情况如图a所示，除了扭转变形外，两翼缘还产生相反方向的弯曲。,75,横截面上与MB 相应的正应力sw 如图c所示；与FSw 相应的弯曲切应力tw 如图d所示；与T 相应的扭转切应力t t如图e所示。其中，MB 和sw 以及FSw 和sw 是工字形截面杆在约束扭转时特有的内力和应力。而T 和t t 是基本的内力和应力。,76,2. SFz0可知，两个FSv的大小相等，指向相反，他们组成一个力偶，其矩为,仅靠截面法和平衡方程是不能确定内力分量的。结合图b分析如下：,1. 由SMy=0可知，横截面翼缘上的弯矩MB数值相等，
22、转向相反，是自相平衡的。,(a),77,3. 取分离体如图f 所示。由SMx0，得,78,仅用上述的静力学关系，是不能确定内力分量的。从而也无法确定相应的应力分量。也就是说约束扭转问题的内力分析是超静定的，这正是约束扭转问题内力的特征。要解决这个问题必须对变形作出补充假设。再综合利用几何,物理及静力学三个方面关系求解。,由(b)式可见，约束扭转时的扭矩TMxTw。将小于自由扭转时的扭矩TMx。所以约束扭转时的扭转切应力tt 和扭转角j 都比自由扭转时小。而横截面上却产生了附加正应力sw和弯曲切应力tw。这是约束扭转时，横截面上应力的特征。,79,1-5 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力,工程中还会
23、遇到如吊钩,圆环,曲梁等曲杆的弯曲问题。若曲杆的轴线位于同一平面内，这类曲杆称为平面曲杆。图a为平面曲杆的纵向对称平面，外力偶Me作用在该平面内。平面曲杆纯弯曲时的正应力，仍然要从几何,物理,静力学三个方面进行综合分析。,80,变形的几何关系 平面曲杆和直梁的区别为：1. 曲杆有初曲率；2. 相邻横截面间纵向线段的长度不同。因此，平面曲杆变形的几何关系与直梁不同。,81,用夹角为dj 的两横截面mm和nn，从平面曲杆中截取任一微段(图b、c)。根据平面假设，受力后该两横截面相对转动D(dj)角(图b)。,82,图c为曲杆的横截面，图中，y为对称轴，zC为形心轴，RC为曲杆轴线的原始曲率半径，z
24、为中性轴（位置未定），r为中性层的曲率半径，r (y)为距中性层为y处线段的曲率半径，r (r) = r + y。,83,同一横截面处r, 为常量，(a)式表明e 沿横截面高度按双曲线规律变化(图d)。这是因为，微段内侧与外侧到中性层等距离的线段cd 和ab的原长不同(图b)。而它们的长度改变量均为yD(dj ), 所以 。,由图b、c可见，距中性层为y的线段ab的原长为r(y) dj，受力后该线段的增长量为yDd(j ),则横截面上各点沿其法线的线应变为,(a),84,物理方程 不计纵向纤维之间的挤压，并设拉伸和压缩时的弹性模量均为E，根据单轴应力状态的胡克定律，横截面上的正应力为,由(b)
25、式可见，s沿横截面高度也按双曲线规律变化(图e)。,(b),85,静力学条件 微内力sdA 可简化为三个内力分量，由于受力的对称性，My=0自动满足。还有,将(b)式代入(c)式，得,(c),(d),把 y =r(y)-r 代入后解得,(e),86,由(e)式确定中性层的曲率半径，从而确定中性轴的位置。中性轴将不通过横截面的形心。这是因为，曲杆内侧各点的压应力值大于到中性轴等距离的外侧各点的拉应力值，又要使由sdA组成的轴向压力等于轴向拉力 ，因此横截面上受压区的面积必然小于受拉区的面积，即中性轴偏于曲杆内侧一边。,把(b)式代入(d)式，得,(f),87,把y2换成yr(y)r，(f)式左端
26、得积分可以写成,代入(f)式后，得,(g),88,将(g)式代回(b)式。得平面曲杆纯弯曲时横截面上的正应力公式为,式中，M为横截面上的弯矩；r(y)为横截面上距中性轴z为y处线段的曲率半径，r(y)=ry；S为横截面对中性轴z的静矩，计算公式为,为横截面的形心到中性轴的距离(图d)。(1-3)式中的各量均取绝对值。 根据变形情况判断是拉应力或压应力。中性层的曲率半径r，由(e)式确定，各种截面的r公式，将在本节最后进行推导。,(1-3),(1-4),89,I. 正应力公式分析,代入(b)式，得,由(f)式得,(h),90,若ry，1+y/r1，则(h)式成为直梁的正应力公式，即,设C为曲杆横
27、截面的形心到其内边缘的距离，当RC/C 10时，曲杆的正应力用直梁公式s =My/Iz计算，可以得到足够精确的结果。这类曲杆称为小曲率杆。当RC/C10时，曲杆的正应力必须用公式(1-3)进行计算，这类曲杆称为大曲率杆。,91,II. 曲杆纯弯曲时的正应力公式，也可以推广到横力弯曲的情况。当横向力作用在曲杆的纵向对称平面内时，曲杆横截面上的内力一般有弯矩,轴力和剪力。和轴力对应的正应力在横截面均匀分布，将它与弯曲正应力叠加，得到总的正应力。弯曲切应力通常用直梁的切应力公式作近似计算。,92,III. 几种常见截面中性层曲率半径r 的计算公式,(1) 梯形截面,由 可知，确定r的关键在于计算 。
28、,93,(2) 矩形截面,令(i)式中，b1=b2=b，得,(i),(j),94,(3) 三角形截面,令(i)式中，b1=0，b2=b，得,(k),95,(4) 圆截面,96,(1),97,求图示矩形截面开口圆环nn截面上的最大正应力。,y,例题 1- 6,98,横截面的形心到中性轴的距离为,曲杆的几何尺寸分别为，h =30 mm， b=20 mm，R1=90 mm，R260 mm， RC75mm。 ， 该曲杆为大曲率杆。中性层的曲率半径为,1. 用曲杆公式求st,max和sc,max,例题 1- 6,解:,99,横截面对中性轴z的静矩为,nn截面上的轴力和弯矩分别为,nn截面上的最大拉应力和最大正应力分别发生在其外侧和内侧边缘处，其值分别为,例题 1- 6,100,例题 1- 6,101,若用直梁公式计算，最大弯曲正应力为,其最大误差为,2. 按直梁公式求解,对于大曲率杆必须用曲杆公式计算正应力。,例题 1- 6,102,第一章结束,
