1、模糊数学 引例： 你某时到某地去接一个“大胡子 . 高个子 . 长头发 . 戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息 男人，而其它的信息 大胡子 . 高个子 . 长头发 . 戴宽边黑色眼镜 . 中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。 模糊数学的概述 现实中的模糊概念 例如：厚、薄、美、丑、早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水果、感冒、合格品、次品等 量的分类 模糊数学模糊性随机数学随机性不确定性经典数学确定性量模糊数学 1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德 (zadeh L.A)在 information and control
2、杂志上发表了一篇开创性论文“ Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用的方法。 模糊数学应用广泛 农业，林业，气象，环境，地质勘探，医学，经济管理等 从精确到模糊 精确 答案确定：要么是，要么不是 f : A 0,1 他 是 学生？他 不是 学生？ 模糊 答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 A : U 0,1 他 是 成年人？他 不是 成年人？他 大概是 成年人？ 一、模糊集合论的基础知识 1、模糊集与隶属度 定义 1： 设 U是论域，称映射 1,0)(,1,0:xxUAA隶属函数一般根据
3、经验确定 当值域为 0,1时，模糊子集 A就是经典子集 确定了一个 U上的 模糊子集 A， 称为 A的 隶属函数 ， 称为 x对 A的隶属程度 . 的点 x 称为过渡点，此点最具模糊性 . 此后 简记为 A(x). A)(xA5.0)( xA)(xA一、模糊集合论的基础知识 140190140)( xxA例 1：设论域 U=x1(140), x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190) (单位 :cm) 表示人的身高，那么“高个子” 就是 U上的一个模糊集，其隶属函数可定义为 则： .1)(,8.0)(,6.0)(,4.0)(,2.0)(,0)(665
4、544332211xAxxAxxAxxAxxAxxAx一、模糊集合论的基础知识 2、模糊集的表示法 （ 1）扎德表示法 （ 2）向量表示法 （ 3）序偶表示法 nnxxAxxAxxAA )()()(2211 )(,),(),( 21 nxAxAxAA ) ) (,(,) ) ,(,() ) ,(,( 2211 nn xAxxAxxAxA 上例中 A=（ 0， 0.2， 0.4， 0.6， 0.8， 1）或者 65432118.06.04.02.00xxxxxxA 一、模糊集合论的基础知识 例 2、设以人的岁数作为论域 U 0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶
5、属函数可以定义如下： “年轻”（ u） “年老”（ u） 121 0 2 5251 2 5 1 2 05uu u 121 0 5 0251 5 0 1 2 05uu u 一、模糊集合论的基础知识 隶属函数图 常见隶属函数有以下类型： 应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数，尽管一个元素属于模糊集是客观存在的，但是建立隶属函数的方法基本上是主观的，根据人的实践经验， 偏大型 中间型 偏小型 1.矩形型 01 x a x bAx a x b 或 10 xaAx xa 01 xaAx xa x Ax01a x Ax01ax Ax01a b3 隶属函数的确定 2.梯形型 010xaxaa x
6、 bbaAx b x cdxc x ddcxd 10xabxA x a x bbaxb 01xaxaA x a x bbaxb 偏大型 中间型 偏小型 x Ax01a b x Ax01a b c d x Ax01a b3.K次抛物型 010kkxaxaa x bbaAx b x cdxc x ddcxd 10kxabxA x a x bbaxb 01kxaxaA x a x bbaxb 偏大型 中间型 偏小型 x Ax01a b x Ax01a b c d x Ax01a b 1k x ak x ae x aA x a x be x b 1k x a xaAx e x a 01 k x a x
7、aAx e x a 偏大型 中间型 偏小型 4. 型 0k x Ax01a 1ak x Ax01a b1a k 1b k x Ax01a 1a k5.正态型 2xaA x e 21xaxaAxe x a 201xaxaAxe x a 偏大型 中间型 偏小型 x Ax01a x Ax01a x Ax01a6.柯西型 偏大型 中间型 偏小型 x Ax01a x Ax01a x Ax01a 11Ax xa 111xaAx xaxa 011xaAx xaxa 0 , 0 0, 为 正 偶 数 0 , 0一、模糊集合论的基础知识 4、模糊集的运算 相等 ： 包含 ： 并 ： 交 ： 余 ： 符号 ： 表
8、示二者之中取大， 表示二者之中取小 说明 ：排中律不成立，即 UxxBxABA ),()(UxxBxABA ),()()()()( xBxAxBABA ），隶属函数（ )()()( xBxAxBABA ），隶属函数（ )(1)( xAxAA ccc ，隶属函数 cc AUAA ,一、模糊集合论的基础知识 U = 甲 , 乙 , 丙 , 丁 A = “矮子” 隶属函数 A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数 B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = AB = ( 0.9 0.8 , 1 0.2 , 0.6 0.9 , 0 1 )
9、= ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲 和 丙 比较符合条件 一、 模糊集合论的 基础知识 等幂律 A A = A 交换律 A B = B A 结合律 (A B) C = A (B C) 分配律 A (BC) = (A B)(B C) 德摩根律 (A B) = AB 双重否定律 A = A 两极律 U A = U 排中律 A A = 模糊集的运算性质 一、模糊集合论的基础知识 5. -截集 定义 2：若 A是 U上的任一模糊集，对 记 称 A为 A的 -截集 ，其中 称为阈值或置信水平 . A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的 , 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取
10、不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。 -截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集 A 是一个具有游移边界的集合，它随 值的变小而增大，即当 1 2时，有 A1 A2。 1,0 ,)( UxxAxA 一、模糊集合论的基础知识 例 ： 设论域 U=u1， u2， u3， u4， u5， u6， ui表示学生，某门课成绩依次是 90， 60， 85， 70， 50， 95. A=“学习成绩好的学生”，隶属度取为 :成绩 100，则 A=（ 0.9， 0.6， 0.85， 0.7， 0.5， 0.95） 要确定学习好的学生，实际上就是要把模糊集 A转化为经典集合，即先确定一个阈值 ( 0
11、1 ) ,然后把隶属度 A(x) 的元素找出来 . 有 当 =0.8时 ， A0.8=u1， u3， u6 当 =0.9时 A0.9=u1， u6 二、模糊关系与模糊矩阵 1、 模糊矩阵 定义 3： 设 R=(rij)m n， 0rij 1，称 R为 模糊矩阵 .当 rij只取 0或 1时，称 R为布尔（ Boole）矩阵 . 例 1、 模糊矩阵的运算： （ 1）并 （ 2）交 （ 3）余 nmijij baBA )(定义为nmijij baBA )(定义为nmijc aA ）（定义为 11 0 . 1 1 0 1AB0 . 3 0 . 5 0 1 0 ，二、模糊关系与模糊矩阵 （ 4）合成（
12、乘法） 例 2：设 23321 0. 70. 4 0. 7 0, 0. 4 0. 61 0. 8 0. 50 0. 30. 7 0. 7 0. 50. 4 0. 6, 0. 6 0. 6 0. 51 0. 70. 3 0. 3 0. 3ABA B B A 则 ：)(,)(1kjikskijnmij baccBA 其中二、模糊关系与模糊矩阵 （ 5）模糊矩阵的转置 （ 6）模糊矩阵的 -截矩阵 ：设 A=(aij)m n， 对任意的 ，称 为模糊矩阵 A的 -截矩阵，其中 ()T j i m nAa 0, 1 ()() ij m nAa ()1,0,ijijijaaa 例 3 1 0 . 5 0
13、 . 2 1 1 0A 0 . 5 1 0 . 1 , A 1 1 00 0 . 3 1 0 0 1 0 .5则二、模糊关系与模糊矩阵 2、 模糊关系 定义 4：设 X=x1,x2, , xm和 Y=y1,y2, , yn是经典集 合，称映射 为 X到 Y的一个二元关系 .当 X=Y时，称 R为 X上的关系 . X到 Y的一个关系可用布尔矩阵 R=(rij)m n表示 ： R,0R,1没有关系与有关系与其中jijiijyxyxry1 y2 yn R x1 x2 xm r11 r12 r1n r21 r22 r2n . rm1 rm2. rmn 1,0:),( YXyxR二、模糊关系与模糊矩阵
14、例 ：设 X=1， 4， 7， 8， Y=2， 3， 6，定义“小于”关系 R： xy. 于是 R=(1,2), (1,3), (1,6), (4,6) 这表明关系 R是直积 的子集 关系矩阵 000000100111R二、模糊关系与模糊矩阵 定义 5 设 R为 X上的一个关系，并且满足： 反身性 : rii=1，即集合中每个元素和它自己有关系 R； 对称性 : rij=rji 传递性 : 当 rij=1且 rjk=1时，有 rik=1 满足 的关系 R称为 X上的 等价关系 ，此关系矩 阵称为 等价矩阵 ，满足这三条性质的集合 R为一 分 类关系 . 二、模糊关系与模糊矩阵 例：设，定义关系
15、 ： ； ： 为偶数，则 关系 R1有传递性，但无反身性和对称性；关系 R2是上的等价关系，按 2可以分类：奇数类，和偶数类， 1010010110100101,000010001100111021 RR二、模糊关系与模糊矩阵 定义：设论域 U、 V，称 U V上的一个模糊子集 R F(U V)为从 U到 V的模糊关系其隶属函数为映射 并称隶属度 (x,y)为（ x,y)关于模糊关系 R的 相关程度 . 模糊关系 R可有模糊矩阵 R=(rij)m n表示，其中 rij= (x ， y ). 注记：若 R为布尔矩阵，则关系 R为普通关系 . ),(),(,1,0:yxRyxyxVURR记为二、模糊关系与模糊矩阵 定义 7： 设模糊子集 R F(U V)为从 U到 V的模糊 关系，并且满足： 反身性 : R(x,x)=1（或 IR） 对称性 : R(x,y)=R(y,x)（或 ） 传递性 : RRR 满足以上三条，称 R为一 模糊等价关系 . 其关系矩阵称为 模糊等价矩阵 . 只满足的关系称为 模糊相似关系 .其关系矩阵称为 模糊相似矩阵 . TRR
