1、小学奥数举一反三练习材料六年级 下 册二一四年六月目 录第 21 周 抓“不变量” 解 题 .1第 22 周 特殊工程问题 .5第 23 周 周期工程问题 .11第 24 周 比较大小 .22第 25 周 最大最小问题 .27第 26 周 乘法和加法原理 .31第 27 周 表面积与体积（一） .35第 28 周 表面积与体积（二） .42第 29 周 抽屉原理（一） .50第 30 周 抽屉原理（二） .55第 31 周 逻辑推理（一） .59第 32 周 逻辑推理（二） .66第 33 周 行程问题（一） .71第 34 周 行程问题（二） .77第 35 周 行程问题（三） .85第 3
2、6 周 流水行船问题 .90第 37 周 对策问题 .94第 38 周 应用同余问题 .98第 39 周 “牛吃草 ”问题 .101第 40 周 不定方程 .1061第 21 周 抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。二、精讲精练【例题 1】将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。4361 79解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“ 一个分数的
3、分子比分母少 18，切分子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。 ”79分母：（61-43 ）（1 ）8179分子：81 637981-61 20 或 63-4320解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不4361 79变，所以将 的分子、分母同时扩大（182=）9 倍。79的分子、分母应扩大：（61-43）（9-7）9（倍）79约分后所得的 在约分前是： 79 79 7999 6381所加的数是 81-6120答：所加的数是 20。练习 1：1、分数 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的97181 25数是多少？2、分数 的分子
4、、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？113 353、 的分子、分母加上同一个数并 约分后得 ，那么加上的数是多少？319 5724、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么5879 23减去的数是多少？【例题 2】将一个分数的分母减去 2 得 ，如果将它的分母加上 1，则得 ，求 这45 23个分数。解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“ 它的分母减去 2 得 ”可知，分母比分子的 倍还多 2。由“分母加 1 得 ”可知，分母45 54 23比分子的 倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。32分子：（2+1 ）（ ）=1232
5、54分母：12 -11732解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。 ， 23 46 1218 45 1215原分数的分母是：18-1 17 或 15+217答：这个分数为 。1217练习 2：1、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 3 得 。原来的分数是多少？79 343、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？34 453、将一个分数的分母加上 5 得 ，分母加上 4 得 。原来的分数是多少？37 494、将一个分数的分母减去 9 得 ，分母减去 6 得 。原来的分数是多少？58 74【例题 3】在一个最简
6、分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的57分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。12解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， = 。根据 题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别57 1014 12 714想 和 的分子和分母再乘以 2。所以1014 7143 ， 57 1014 2028 12 714 1428故原来的最简分数是 。1728解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以（ + ）257 12 1728答：原来的最简分数是 。1728练习 3：1、一个最简分数，在它的分子上加一个
7、数， 这个分数就等于 。如果在它的58分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求 这个分数。122、一个最简分数，在它的分子上加一个数， 这个分数就等于 。如果在它的67分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求 这个分数。133、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子79上减去同一个数，这个分数就等于 ，求 这个分数。35【例题 4】将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？79 34解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ， 。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，79 2127 34 2128所
8、以分别将 和 的分子和分母再同乘以 2。则 ， 。2127 2128 79 2127 4254 34 2128 4256所以，原分数的分母是（543）51。原分数是 。4251解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的 ，分母97加 5 后是分子的 ，因此，原分数的分子是（ 53）（ ）42。原分数43 43 97的分母是 4279-3=51，原分数是 。4251练习 4：41、一个分数，将它的分母加 5 得 ，加 8 得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）56 452、将一个分数的分母减去 3，约分后得 ；若将它的分母减去 5，则得 。原来的分67 78数是多少
9、？（用两种方法做）3、把一个分数的分母减去 2，约分后等于 。如果给 原分数的分母加上 9，约分后34等于 。求原分数。57【例题 5】有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分12数就等于 ，这个分数是多少？13根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这12个分数就等于 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）13（3-2）=3，分母是 32+2=8。所以，这个分数是 。38练习 5：1、一个分数，如果分子加 3，这个分数等于 ，如果分母加上 1，这个分数等12于 ，这 个分数是多少？132、一
10、个分数，如果分子加 5，这个分数等于 ，如果分母减 3，这个分数等于 ，12 13这个 分数是多少？3、一个分数，如果分子减 1，这个分数等于 ；如果分母加 11，这个分数等于12，这个分数是多少？13答案：练 11、 41 2、17 3、 37 4、 16练 21、 2、 3、 4、 2125 1213 1223 2041练 31、 2、 3、 916 2542 3145练 451、 2、 3、6067 84101 165222练 51、 2、 3、720 724 9166第 22 周 特殊工程问题一、知识要点有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时 我们就
11、可以考虑运用一些特殊的思路，如综 合转化、整体思考等方法来解题。二、精讲精练【例题 1】修一条路，甲队每天修 8 小时， 5 天完成；乙队每天修 10 小时， 6 天完成。两队合作，每天工作 6 小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“ 甲队 40 小时完成” ，后两个条件综合为“乙队 60 小时完成”。 则1 + 6=4（天）158 1106或 1（ + ）6=4（天）158 1106答：4 天可以完成。练习 1：1、修一条路，甲队每天修 6 小时，4 天可以完成；乙 队每天修 8 小时，5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？2、一项工作，甲组 3 人 8
12、天能完成，乙 组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组 2人和乙组 7 人合作，多少天可以完成？3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可以运完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡 车、 3 辆马车和 7 辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板7车？【例题 2】有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运
13、一个仓库的货物的工作量为“1” 。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”三人同时搬运了2（ + + ）=8（小时）110 112 115丙帮甲搬了（1- 8） =3（小时）110 115丙帮乙搬了8-3=5（小时）答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。练习 2：1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任 务的 ，徒弟每110小时加工自己任务的 。师 、徒同 时开始加工。 师傅完成任 务后立即帮助徒弟加115工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2、有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 18 小时，乙需要 12 小时，丙需要 9 小 时。甲、乙在
14、 A 仓库，丙在 B 仓库，同 时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任 务时，甲做了全部零件的 ，乙每小58时加工 12 个零件，甲单独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？8【例题 3】一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。 这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。 这件工作由甲先做了几天？解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1” 列方程解答，很容易理解。解：设甲做了 x 天，则乙做了（14-x）天。x+ （14-x）=1120 112X=5解
15、法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是 14，比总工作量多112了 14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 - = ，因此112 16 112 120 130甲做了 =5（天）16 130练习 3：1、一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务， 这样前后共用了 6 天，甲先做了几天？2、一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙 队单独做需 40 天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用 35 天完成了任务 。甲、乙两 队各做了多少天？3、一项工程，甲独做要 50 天，乙独做要 75 天， 现在
16、由甲、乙合作，中 间乙休息几天，这样共用 40 天完成。求乙休息的天数。【例题 4】甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工 3 天，因此，两人共用了 10 天才完成。如果由甲单独加工 这批零件，需要多少天才能完成？解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。9甲、乙同 时做的工作量为 （10-3）18 78乙单独做的工作量 为 1 78 18乙的工作效率为 3=18 124甲的工作效率为 18 124 112甲单独做需要的天数 为 1 12（天）112解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人多做了（ 10-8=）2 天。由此可知
17、，甲 3 天的工作量相当于 这批零件的 28=1/43（10-8）8=12（天）或38（10-8）=12（天）答：甲单独做需要 12 天完成。练习 4：1、甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假 5 天，因此共用 15 天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做 30 件上衣，也可做 48 条裤子。如果先做 20 件上衣后，还可以做多少条裤子？3、一项工程，甲、乙合作 6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了 2.5 小时，因此，经过 7.5 小时才完工。如果 这项工程由甲 单独做需要多少小时？4、一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合作
18、7 天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是 3：2，如果这件工作由乙 单独做，需要多少天才能完成？10【例题 5】放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，15 小时放满；如果同时开放号阀门 ，12 小时可以放满；如果同时开放号阀门，8小时可以放满。问：同时开放 这五个阀门几小时可以放满这个水池？从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现 3 次，号阀门各出现 2 次。如果 + + + 再加一个 ，则是五个阀门各放 3 小115 110 112 18 18时的总水量。1（ + + + + ）3=1 3=6（小时）115 110 1121818 12练习 5：1、完成一
19、件工作，甲、乙合作需 15 小时，乙、丙两人合作需 12 小时，甲、丙合作需 10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？2、一项工程，甲干 3 天，乙干 5 天可以完成 ，甲干 5 天、乙干 3 天可完成 。12 13甲、乙合干需几天完成？3、完成一件工作，甲、乙两人合作需 20 小时，乙、丙两人合作需 28 小时，丙、丁两人合作需 30 小时。甲、丁两人合作需几小时？4、一项工程，由一、二、三小队合干需 18 天完成，由二、三、四小队合干需15 天完成，由一、二、四小 队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需 20 天完成。由第一小队单独干需要多少天？答案：练 11、1（ + ）2
20、7.5 小时146 1852、1（ 2+ 7）3 天138 147113、（1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的1（ 2+ 5+ 7）2134 145 1206 14（2）后两天需要小板车： （ 2）15 辆14 1206练 21、2（ + ）102 小时110 1152、2（ + + ）8 小时118 11219甲帮乙：（1 8） 6 小时112 118甲帮丙：（1 8） 2 小时19 1183、解法一：12（ ）（1 ）240 个58 112 58解法二：12（85）512240 个练 31、（ 61） （ ）3 天14 14 1122、甲：（1 35）（ ）15 天140 130 140乙：
21、351520 天3、40（1 40） 25 天150 175练 41、5【12（1512）】20 天2、4848302016 条3、2.5【6（7.56）】10 小时12练 51、1【（ + + ）2】8 小时115 112 1102、1【（ + ）（3+5）】9.6 天12133、1（ + ）21 小时120 130 1284、1【（ + + + ）3 】54 天118 115 112 120 11513第 23 周 周期工程问题一、知识要点周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循 环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复 杂的问题迅速地化
22、难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。二、精讲精练【例题 1】一项工程，甲单独做需要 12 小时，乙 单独做需要 18 小时。若甲做1 小时后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做 1 小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。需循环的次数 为：1 （ + ）= 7（次）112 118 3657 个循环后剩下的工作量是：1-（ + ）7=112 118 136余下的工作两还需甲做的 时间为： = （小时）136 11213完成任务共用的 时间为 ：27+ =14 （小时）13 13答：完成任务时需共用
23、 14 小时。13练习 1：1、一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙 单独做要 10 小时完成。如果按甲、乙；甲、乙的顺序交替工作，每次 1 小时，需要多少小时才能完成？2、一部书稿，甲单独打字要 14 小时，乙单独打字要 20 小时。如果先由甲14打 1 小时，然后由乙接替甲打 1 小时；再由甲接替乙打 1 小时两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？3、一项工作，甲单独完成要 9 小时，乙单独完成要 12 小时。如果按照甲、乙；甲、乙的顺序轮流工作，每人每次工作 1 小 时，完成 这项工程的 2/3 共要多少时间？【例题 2】一项工程，甲、乙合作 26 天完成。如果第一天甲做，第二
24、天乙做，23这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？由题意可以推出“ 甲先” 的 轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先 ”，两种轮 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先” 的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙 甲乙甲乙甲乙甲 乙 甲12竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。 竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的 2 倍。甲每天能做这项工程的 126 =23 21+2 140甲单独做完成的 时间 1 =40（天）140答：
25、这项工程由甲单独做需要 40 天才能完成。练习 2：1、一项工程，乙单独做 20 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流15交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？2、一项工程，甲单独做 6 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 天才能完成。 这项工程由甲、乙合作合作几天可以13完成？3、一项工程，甲、乙合作 12 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时35乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小
26、 时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 小时才能完成。这项工程由甲独做13几小时可以完成？4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管 5 小时灌满一池水， 单开排水管 3 小时排完一池水。 现在池内有半池水，如果按进水、排水； 进水、排水的顺序轮流依次各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排完？【例题 3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是 5：3。甲、乙每天各做多少个？由题意可以推出“ 甲先
27、” 的 轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先 ”，两种轮 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先” 的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙 甲乙甲乙甲乙甲 乙剩 60 个竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。 竖线右边可以看出，剩下的 60 个零件就是甲、乙工作效率的差。16甲每天做的个数为：60（5-3）5=150（个）乙每天做的个数为：60（5-3）3=90（个）答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。练习 3：1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样 交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样 交替轮流做，
28、做到上次轮流完成时所用的天数后，还 剩 84 个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师 、徒二人每天各做多少个？2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 天才能完成。如果25让甲、乙二人合作，只需 2 天就可以完成。 现在，由乙独做需要几天才能完成？583、红星机械厂有 1080 个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替 轮流，做到上次 轮流完成 时所用的天数后， 还剩60 个不能完成。如果让师 、徒二人合作，只
29、需 3 小时 36 分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？【例题 4】打印一部稿件，甲单独打要 12 小时完成，乙单独打要 15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？根据已知条件，我们可以把 6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了 3 小时。17每循环一次，他们共完成全部工程的（ + ）3112 115 920总工作量里包含几个 9/20：1 =2920 29甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的 1- 2920 110由于
30、 ，所以，求甲工作 1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为110 112（ - ） 110112 115 14打印这部稿件共需的 时间为 ：62+1+ =13 （小时）14 14答：打印这部稿件共需 13 小时。14练习 4：1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开乙管，18 分钟能把空池灌满。 现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲 1 分钟，乙 2 分钟，甲 2 分钟，乙 1 分钟，甲 1 分钟，乙 2 分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？2、一件工作，甲单独做，需 12 小时完成；乙单独做需 15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作 2 小时，乙
31、工作 1 小时 ；甲工作 1 小时，乙工作 2小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？3、一项工程，甲单独做要 50 天完工，乙 单独做需 60 天完工。现在，自某年的 3 月 2 日两人一起开工，甲每工作 3 天则休息 1 天，乙每工作 5 天则休息18一天，完成全部工程的 为几月几日？52754、一项工程，甲工程队单独做完要 150 天，乙工程队单独做完需 180 天。两队合作时，甲队做 5 天，休息 2 天，乙队做 6 天，休息 1 天。完成这项工程要多少天？【例题 5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整
32、数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知甲单独做 13 天完成。且133 个工程队的工效各不相同。 这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是 3 的倍数余 1 或余 2。如果是 3 的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是 3 的倍数余 1。三种 轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙 丙12丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙 甲13从中可以退出：丙= 甲；由于乙= 甲 丙=甲 甲 ，又推出乙
33、= 甲；与题中23 12 23 12 23“三个工程队 的工效各不相同 ”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序 轮做，用的天数必定是 3 的倍数余 2。三种轮 流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙， 甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲， 乙丙 甲12丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙， 丙甲 乙1319由此推出：丙= 甲，丙= 乙12 23丙队每天做 这项工程的 =11312 126乙队每天做 这项工程的 =12623 352甲、乙、丙合作完工需要的 时间为 1（ + + ）=5 （天）113 126 352 79答：甲、乙、丙合作要 5 天完工。79练习 5：1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划
34、按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、13乙次序做，比原计划多用 天。已知甲 单独做 7 天完成。且 3 个工程队的工效各不14相同。这项 工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果按丙、甲、12乙次序做，比原计划多用 天。已知甲 单独做 10 天完成。且 3 个工程队的工效各12不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整
35、数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 天；如果12按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同13时合作，需 13 天可以完成，且 3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做79需要多少天才能完成？4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开20甲管需要 3 小时，单开丙管需要 5 小时。要排光一池水， 单开乙管要 4 小时，单开丁管要 6 小时。现知池内有 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁的16顺序轮流各开 1 小时，多长时间后水开始溢出水池？答案：练 11、（1）需循环的次数1（ + ） 316 110 15
36、4（2）3 个循环后剩下的工作量1（ + ）316 110 15（3）最后由乙做的时间（ ） 小时15 16 110 13（4）需要的总时间23+1+ 7 小时13 132、（1）需循环的次数1（ + ） 8114 120 14017（2）3 个循环后剩下的工作量1（ + ）8114 120 4140（3）最后由乙做的时间 小时4140 114 2521（4）需要的总时间28+ 16 小时25 253、（1）需循环的次数（ + ） 323 19 112 247（2）3 个循环后剩下的工作量（ + ）323 19 112 112（3）最后由乙做的时间 小时11219 34（4）需要的总时间23+
37、 6 小时34 34练 21、提示：甲的效率是乙的 2 倍20210 天2、提示：乙的效率是甲的231【 （1 ）+ 】3 天16 13 16 353、提示：乙的效率是甲的231（112 ）21 小时35 33 1+34、（1）需几个周期（ ）3 312 13 15 15422（2）3 个周期后剩下的水（ ）312 13 15 110（3）需要的时间23+1+（ + ） 7 小时11015 13 910练 31、 师傅：84（74）7196 个徒弟：84（74）4112 个2、 提示：乙的效率是甲的（1 ）25 351（12 ）7 天58 35 2+53、 3 小时 36 分3 小时35师、徒
38、效率和：10803 300 个35师傅每小时的个数：（300+60）2180 个徒弟每小时的个数：（30060）2120 个练 41、提示：把 6 分钟看作一个循环（1）每循环一次的工作量（ + ）（1+2）124 118 724（2）总工作量里面有几个7241 3724 3723（3）3 个循环后剩下的工作量1 3724 18（4）一共需要的时间63+1+（ ） 20 分钟18 124 118 122、提示：把 6 分钟看作一个循环（1）1 个循环的工作量（ + ）（1+2）112 115 920（2）总工作量里面有几个9201 2920 29（3）3 个循环后剩下的工作量1 2920 11
39、0（4）一共需要的时间62+ 13 小时110 112 15说明：2 个循环后，是由甲接着干 2 小时，所以直接用 110 1123、提示：把 12 天看作一个循环12 天中甲的工作量（3+3+3）150 95012 天中乙的工作量24（5+5）160 16总共需要的天数（ + ）25275 95016（12 天减去最后休息的 1 天）122123 天完成全部任务的 为 3 月 24 日。52754、提示：把 7 天看作一个周期1（ 5+ 6）1523 237151104 天练 51、 提示：按甲、乙、丙的 顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 2，否 则与题意不符。由此推出丙的效率是甲
40、的 ，丙的效率也是乙的 。23 34（1）丙的工作效率 17 23 221（2）乙的工作效率 221 34 863（3）甲、乙、丙三队合做的天数 1（ + + ）2 天17 221 863 17232、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为 3 的倍数余 1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的 ，乙的效率是甲的 。12 34（1）丙的效率 110 12 120（2）乙的效率 （1 ）110 12 12 340（3）甲、乙、丙三队合做的天数 1（ + + ）4 天110 120 340 493、由题意可以推出，丙的效率是甲的 ，丙的效率是乙的 ，进而推出甲、12 24 23乙、
41、丙工作效率的比是 4：3：2。251（113 ）31 天79 44+3+24、提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 ，否 则开甲管的过程23中水池里的水就会溢出。（1）水池里的水超过 时需要几个循环23（ ）（ + ） 423 16 13 14 15 16 307（2）循环 5 次以后，池中水占+（ + ）516 13 14 15 16 34（3）总共需要的时间45+（1 ） 20 小时34 13 3426第 24 周 比较大小一、知识要点我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。解答这种类型的题目，需要将原题进行各种
42、形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如： ab0，那么 a 的平方b 的平方；如果 ab0，那么 ；如果 1，b0，那么 ab 等等。1a 1b ab比较大小时，如果要比较的分数都接近 1 时，可先用 1 减去原分数，再根据被减数相等（都是 1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。如果两个数的倒数接近，可以先用 1 分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。二、精讲精练【例题 1】比较 和 的大小。777773777778 888884888889这两个
43、分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近 1，所以我 们可先用 1 分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。因为 1 = ，1 =777773777778 5777778 888884888889 58888895777778 5888889所以 。777773777778 888884888889练习 1：271、比较 和 的大小。77777757777777 666666166666632、将 ， ， ， 按从小到大的顺序排列出来。987659876698769877987988 98993、比较 和 的大小。23
44、5861235862 652971652974【例题 2】比较 和 哪个分数大？1111111 111111111可以先用 1 分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。因为 1 101111111 1111111 11111 10111111111 111111111 1111110 101111 11111所以 1111111 111111111练习 2：1、比较 A 和 B 的大小3331666 331662、比较 和 的大小111111110222222221 4444444438888888873、比较 和 的大小。88888878888889 999999199
45、99994【例题 3】比较 和 的大小。1234598761 1234698765两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。因为 12345987651234598761+1234541234598761+4938012346987611234598761+98760而 9876149380所以 1234698761123459876528则 1234598761 1234698765练习 31、比较 和 的大小。176257 1772592、如果 A ，B ，那么 A 与 B 中较大的数是_.2222133332 44443666653、试
46、比较 与 的大小。12345679876543 1234567198765431【例题 4】已知 A151 B 15C15.2 D14.8 。A、B、C、D 四199 23 34 45 7374个数中最大的是 .求 A、B、C、D 四个数中最大的数，就要找 151 ， 15，15.2 ，14.8199 2334 45中最小的。7374151 1519915.2 1545 15 1323 34 1314.8 14.67374答：因为 15 的积最小，所以 B 最大。23 34练习 41、已知 A1 B90 C75D E1 。把 A、B、C、D、E 这 5 个数23 45 15从小到大排列，第二个数是_.2、有八个数，0. ，0.5， ， 是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个2359 2447 1325数是 0.5111，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？3、在下面四个算式中，最大的得数是几？（1）（ + ）20 （2）（ + ）30117 119 124 129（3）（ + ）40 （4）（ + ）50131 137 141 147【例题 5】图 241 中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积
