1、绝密 绝密考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 一,填空题 1,设集合 A=-1,1,3,B=a+2,a2+4,AB=3,则实数 a=_ 简析:由集合中元素的互异性有 a+2=3 或 a2+4=3,a=1 或 a2=-1(舍) a=1 2,设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_ 6+4i (6+4i)(2+3i) 26i 简析:由题意z= = = =2i|z|=2 13 13 2-3i 3,盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ 1 简析: 2 4,某棉纺厂为了了解一
2、批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标) ,所得数据都在区间5,40中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_ _根在棉花纤维的长度小于 20mm. 简析:观察频率分布直方图,知有 0.065100=30 根长度小于 20mm 5,设函数 f(x)=x(ex+ae-x),(x R) 是偶函数,则实数 a=_ R R简析:由偶函数f(-x)=f(x) x(ex+ae-x)=-x(e-x+aex) x(ex+e-x)(1+a)=0 x R a=-1 频频 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 长长m O
3、5 10 15 20 25 30 35 40 组组 x2 y2 6,在平面直 标 xOy 中, - =1 一 M, M 的 标是 3,则 M 的 4 12 是_ 简析: 一 直 . 知 中 , 不重 ; 量 解.由题意知 标为 F(4,0),M 标为(3, 15)MF=4 7,图是一 的currency1图,则出 S 的“是_ 简析:图知是 S=1+21+22+2n 的一 ,由 S=2n-133 fi n 为fl 数知 n=5 出,出 S=1+21+22+25=63 nn+1 S1 n1 1 SS+2n 11 ” S33 是 出 S 结束8,函数 y=x2(x0)的图在 (ak,ak2)的 x
4、 的 标为 ak+1,k 为fl 数,a1=16,则a1+a3+a5=_ 简析: 函数 得 y=2x (x0), 据题意, a1=16=24 得 a2=8, 3=4, 4=2, 5=1, 由 a a a 所 a1+a3+a5=21 2 2 9,在平面直 标 xOy 中,知 x +y =4 直 12x-5y+c=0 的 为 1, 则实数 c 的取“ 是_ |c| 简析:若 有fi有 直 12x-5y+c=0 为 1,则 直 小于 1, f(2x)的 x 的是_ 11,知函数 f(x)= 1 ,x1 ,t2,f(1-x2)=1,f(2x)=(2x)2+15, 不满足 f(1-x2)f(2x) -1
5、xf(2x) (x-1); 0x1 ,t0,2x0,所 f(1-x2)=(1-x2)2+11,f(2x)=(2x)2+1, 由 f(1-x2)f(2x) (1-x2)2+1(2x)2+1x4-6x2+100x0 3 3 1 1 32 3 所 x= S(x)有 小“ S( )= 3 3 3,解答题 15,(14 分)在平面直 标 xOy 中, A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1) AB,AC 为邻 的平 两 的长 (2)设实数 t 满足(AB-tOC)OC=0=0, t 的“ 简析:据题意, 小问解 不唯一,如利 平 性质 出 D, 后 两 间 两 ; 如,亦可利 向量知 ,
6、 向量AB AC和,差的模; 两 长为 2 10,4 2 11 为AB=(3,5), OC=(-2,-1),所由(AB-tOC)OC=0 知 t=- 516,(14 分)如图, 棱锥 P-ABCD 中,PD平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB DC, BCD=900 (1) 证:PC BC (2) A 平面 PBC 的 P P F D C D E C A 16题题 B A B 简析:证: PD面 ABCD,BC 在面 ,所 PD BC; BCD=900,所 BC DC; PD,DC 相 于 D,所 BC平面 PDC PC 在平面 PDC ,所 BC PC, PC BC 在面 A
7、BCD AE BC CD 延长 于 E,则 E 在平面 PDC ; 在平面 PDC EF PC PC 于 F,结合推知 EF平面 PBC, 所 EF 长就是 A 平面 PBC 的 . 在PEC 中,利 面积的等积性有 ECPD=PCEF 所 EF= 21 = 2,所 A 平面 PBC 为 2 2 解,主要据 面平,直每一 平面的 都相等;另外, 题也可通 构造棱 锥,利 等积 来 面 ;如棱锥 A-PBC 棱锥 P-ABC 实为同一锥,而棱锥 P-ABC 的 1 1 2 面积= ABBC=1,高=PD=1;棱锥 A-PBC 的面积= PCBC= , 2 2 2 所可 得棱锥 A-PBC 的高为
8、 2,亦 A 平面 PBC 的 为 2 17,(14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图, 直放置的标杆 BC 高度 h=4m, 仰 ABE=, ADE= (1) 小组经测得一组,的“,tan=1.24,tan=1.20,请据 出 H 的“(2)小组分析若干测得的数据后,发现适 调 标杆 电视塔的 d(单位 m) , 差较大, 可提高测量精确度,若电视塔实际高度为 125m,问 d 为 少,- 大 E C h B d 17题题 D A 解析: 4 11 x2 y2 18.(16 分)在平面直 标 xoy 中,如图,知椭 + =1 的左 顶 为 A,B, 为 F,
9、设 9 5 T(t,m)的直 TA,TB 椭分 于 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m0,y10,y2cSk 都 立. 9 证:c 的 大“为 2 20.(16 分)设 f(x) 在区间(1,+) 的函数,其函数为 f (x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其中 h(x) 任意的 x (1,+) 都有 h(x)0, 得 f (x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 P(a). b+2 设函数 f(x)=h(x)+ (x1),其中 b 为实数 x+1 证:函数 f(x)具有性质 P(b) 函数 f(x)的单调区间 知函数 g(x)具有性质 P(2), 给 x
10、1,x2 (1,+), 11,1,若|g()-g()|b Then m a Else m b End If Print m 5、 1， 3， 数中一随机取两数， 从 2， 4 则其中一数是另一的两倍的概率是_. 6、 某老师从星期一 星期五收 信件数分 是 10， 8， 6， 6， 5， 则组数据的方差 s 2 = _ . 7、知 tan( x + 4 ) = 2, 则 tan x 的“为_. tan 2 x 2 的图象 于 P、Q x 8、在平面直 标 xOy 中， 标 的一直 函数 f ( x ) = 两 ，则 PQ 长的 小“是_. 9、函数 f ( x ) = A sin( wx +
11、? ), ( A, w, ? 是 数， A 0, w 0) 的部分图象如图所示，则 f (0) = _ . 7 3 12 ? 2 10、知 e1 , e2 是 为 的两单位向量， a = e1 ? 2 e2 , b = k e1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ，则 k 的“为_. 11、知实数 a 0 ，函数 f ( x ) = ? _. 12、在平面直 标 xOy 中，知 P 是函数 f ( x ) = e x ( x 0) 的图象 的动 ，图 象在 P 的 l y 于 M， P l 的 y 于 N，设 MN 的中 的 2 3 ?2 x + a , x 0， 证 PA PB. 19
12、 、知 a，b 是实数，函数 f ( x) = x 3+ ax, g ( x) = x 2 + bx, f (x ) 和 g (x ) 是 f ( x ), g ( x ) 的函数，若 f ( x) g ( x ) 0 在区间 I 立，则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 单调性一. （1）设 a 0 ，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间 ?1,+ ) 单调性一, 实数 b 的取“ （2）设a k ， S n + k + S n ? k = 2( S n + S k ) 都 立. （1）设 M=1 a 2 = 2 ， a 5 的“ ， （2）设 M=3，4 ， 数列 a
13、 n 的通项 . 1.若复数 z1 = 4 + 29i, z2 = 6 + 9i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 z2 )i 的实部为. 【答】 20 【解析】 2.知向量 a 和向量 b 的 为 30 , | a |= 2,| b |= 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ib = 【答】3 . 【解析】 a ib = 2 3.函数 3 3 = 3. 2 . f ( x) =x 3 15 x 2 33 x + 6 的单调currency1区间为 【答】 ( 1,11) 【解析】 f ( x ) = 3 x 2 30 x 33= 3( x 11)( x + 1) ,由 y 1
14、 2 3 ( x 11)( x + 1) 0, 0) 在区间 ,0 的图象如图所示,则 = 【答】3 【解析】 . 3 T = 2 ,T 2 = 3 ,所 = 3, 5.现有 5 根“,的长度(单位:m)分 为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一随机 抽取 2 根“,则的长度fi 相差 0.3m 的概率为 【答】0.2 【解析】 6.某校甲,乙两fl 各有 5 为 1,2,3,4,5 的学生 ,每 10 , 中的数如 表: 学生 甲fl 乙fl 1 6 6 2 7 7 2 . 3 7 6 4 8 7 5 7 9 则 两组数据的方差中较小的一为 s = . 2 【答】 5 【解析】
15、 7. 图是一 的currency1图, 后出的 W 【答】22 【解析】 8.在平面 ,若两fl 的 长的 为 1:2,则的面积 为 1:4,”地,在空间,若两fl 面的棱长的 为 1:2,则 的积 为 . 【答】1:8 【解析】 9.在平面直 标 xoy 中, P 在 C : S 0 = . T 1 S T2 S S 10 Y T T + 2 N W S +T y = x3 10 x + 3 , 出 W 结束 fi在象 ,知 C 在 P 的 的 率为 2,则 P 的 标为 . 【答】 ( 2,15) 【解析】 10.知 a = 5 1 x ,函数 f ( x ) = a ,若实数 m, n
16、 满足 f ( m) f (n) ,则 m, n 的大 2 小关 为 . 【答】 m 4 ,所 c = 4. 12.设 和 为不重合的两平面,给出 列 题: (1)若 的两相 直 分 平于 的两直 ,则 平于 ; (2)若 外一直 l 的一直 平,则 l 和 平; (3)设 和 相 于直l ,若 有一直 直于 l ,则 和 直; (4)直 l 直的分必要件是 l 的两直 直. 面 题中, 题的 . 【答】 (2) (1) 【解析】 (出所有 题的). x2 y2 13.如图,在平面直 标 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭 2 + 2 = 1(a b 0) 的 a b 顶
17、,F 为其 , 直 A1 B2 直 B1 F 相 于 T, OT 椭的M fi为 OT 的中 ,则椭的 率为 【答】 e = 2 . y T B2 M 7 5 【解析】 a, b, c 表示 T,得出 M 标,代入椭方currency1 可 解得 率. 14 . 设 an 是 为 q的等 数 列, | q | 1 , 令 A1 O A2 x bn = an + 1( n = 1,2,) 【答】 9 若数列 bn 有 项 在 集 合 . 53, 23,19,37,82 中,则 6q = 【解析】各数绝“从小 大列,各数currency1 1,观察 可得解. ,解答题: 大题 6 小题, 90 分
18、,请在答题指 区 答,解答 出 解答题: 小题, 请在答题指 区 答,解答 出 ,证或 ,证或 . 15. ( 小题满分 14 分) 设向量 a = (4cos ,sin ), b = (sin , 4cos ), c = (cos , 4sin ) + ) 的“; (1)若 a b 2c 直, tan( (2) | b + c | 的 大“; (3)若 tan tan = 16 , 证: a b . = 0, 【解析】由 a b 2c 直, a (b 2c ) = a b 2a c 4sin( + ) 8cos( + ) = 0 , tan( + ) = 2 ; b + c = (sin +
19、 cos , 4cos 4sin ) | b + c |2 = sin 2 + 2sin cos + cos 2 +16cos 2 32cos sin + 16sin 2 = 17 30sin cos = 17 15sin 2 , 大“为 32,所 | b + c | 的 大“为 4 由 tan tan 4cos 2. = 16 得 sin sin = 16cos cos , 4cos sin sin = 0 , 所 a b . 16. ( 小题满分 14 分) 如图,在直棱 ABC A1 B1C1 中, E ,F 分 是 A1B, A1C 的中 , D 在 B1C1 , A1 D B1C 证
20、:(1) EF 平面ABC (2) 平面A1 FD 平面BB1C1C A D F B1 C1 E A 【解析】证: (1) 为E ,F 分 是 A1 B, A1C 的中 B C ,所 EF / BC , EF 面ABC , BC 面ABC ,所 EF 平面ABC ; ABC A1 B1C1 , 所 BB1 面A1B1C1 , BB1 A1 D , (2) 为直棱 A1 D B1C , 所 A1D 面BB1C1C , A1D 面A1FD , 所 平面A1 FD 平面BB1C1C . 17.( 小题满分 14 分) 设 an 是 差不为的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 + a32
21、 = a42+ a52 ,S7 = 7 an 的通项 前 n 项和 Sn ; am am+1 为数列 an 中的项. am + 2 (1) 数列 (2)试 所有的fl 数 m , 得 解析: (1)设 差为 d ,则 a2 由性质得 3d ( a4 为 d 所 a4 2a1 2 2 2 2 a5 = a4 a3 , + a3 ) = d (a4 + a3 ) , 0, + a3 = 0 , + 5d = 0 , = 7 得 7a1 + = 5 , 由 S7 解得 a1 76 d = 7, 2 d =2 所 (2) an 的通项 为 an = 2n 7 ,前 n 项和 Sn = n 2 6n .
22、 am am+1 ( 2m 7 )( 2m 5 ) = ,令 2m 3 = t , am+ 2 ( 2m 3 ) am am+1 ( t 4 )( t 2 ) 8 = = t + 6, am+ 2 t t 为 t 是 数,所 t 可取的“为 1 , t 8 = 1 , m = 2 , t + 6 = 3 , 2 5 7 = 3 ,是数列 an 中的项; t 8 t = 1 , m = 1 , t + 6 = 15 ,数列 an 中的 小项是 5 ,不 合. t 所满足件的fl数 m = 2. 18. ( 小题满分 16 分) 在平面直 标 xoy 中,知 C1 : ( x + 3) 2 + (
23、 y1) 2 = 4 和 y C2 : ( x 4) 2 + ( y 5) 2 = 4 (1)若直 l A(4,0) ,fi C1 得的长为 2 直 l 的方currency1; (2)设 P 为平面 的 ,满足:存在 P 的无 互相 的 直 l1和 l2 ,分 C1 和 C 2 相 ,fi直 l1 C1 得的长 直 l2 C 2 得的长相等, 试 所有满足件的 P 的 标. 【解析】(1) 3 , . . 1 O 1 x y = 0或 y = 7 ( x4) , 24 (2)P 在 C1C2 的中 ,fi C1,C2 等 直 ,利 几何关 可得 P 标为 ( 3 13 5 1 , ) 或(
24、, ) . 2 2 2 2 19.( 小题满分 16 分) 某学 的 , 设一生产某产品单件 为 a 元,如果 出产品的单 为 m 元,则 的满意度为 m ;如果 产品的单为 n 元,则 的满意度为 m+a n .如果一两 ( 出或 )的满意度分 为 h1 和 h2 ,则两 的 n+a 合满意度为 h1h2 . 现 设甲生产 A,B 两 产品的单件 分 为 12 元和 5元,乙生产 A,B 两 产品 的单件 分 为 3 元和 20 元,设产品 A,B 的单 分 为 mA 元和 mB 元,甲 A 出 B 的 合满意度为 h甲 ,乙 出 A B 的 合满意度为 h乙 (1) h甲 和 h乙 关于
25、mA , mB 的表 ; m A 3 = mB , 证: h甲 = h乙 ; 5 (2) 设 m A 3 = mB , mA , mB 分 为 少,甲,乙两的 合满意度 大? 大的 5 合满意度为 少? (3) 记(2)中 大的 合满意度为 h0 ,试问 ”适 选取 mA , mB 的“, 得 h甲 h0 和 h乙 h0 同 立, 等不同 立?试由. (4) h甲 和 h乙 关于 mA , mB 的表 ; m A 3 = mB , 证: h甲 = h乙 ; 5 (5) 设 m A 3 = mB , mA , mB 分 为 少,甲,乙两的 合满意度 大? 大的 5 合满意度为 少? (6) 记(
26、2)中 大的 合满意度为 h0 ,试问 ”适 选取 mA , mB 的“, 得 h甲 h0 和 h乙 h0 同 立, 等不同 立?试由. 【解析】(1) h甲 = mA mB mA mB , h乙 = , (mA 3,12, mB 5, 20) mA + 12 mB + 5 mA + 3 mB + 20 3 mA = mB , 5 mB mB 2 = , 3 (mB + 20)(mB + 5) mB + 5 mB + 12 5 3 mB 5 h甲 = 3 mBmB mB 2 5 h乙 = = , 3 (mB + 5)(mB + 20) mB + 20 mB + 3 5 h甲 =h乙 (2) m
27、 A 3= mB , 5 mB 2 1 1 h甲 = = = , 20 5 1 1 (mB + 20)(mB + 5) (1 + )(1 + ) 100( ) 2+ 25 +1 mB mB mB mB 由 mB 5, 20 得 1 1 1 , , mB 20 5 1 1 10 = mB = 20, m A = 12 , 甲乙两同取 大的 合满意度为 5 mB 20 f ( x) = 2 x 2 + ( x a) | x a | . 20.( 小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1) 若 (2) f (0) 1 , a 的取“; f ( x) 的 小“; f ( x), x (a, +) , 直 出(不 给出 )不等 h( x) 1 的 a 0, 得 a 1) a (2 6 , ) , x ( a, + ) 2 2 a + 3 2a 2 2 2 , +) 2) a , , x 2 2 3a 3 2a 2 a + 3 2a 2 6 2 , +) 3) a ( , , x (a, 2 2 3 3
