1、第3讲 数学归纳法【课前热身】第3讲 数学归纳法(本讲对应学生用书第6264页)1.(选修 2-2 P88练习2改编)用数学归纳法证明1+a+a 2+an=1-a(a1，nN *)，在验证n=1时，左边计算所得的式子是 .【答案】1+a【解析】n=1时，左边的最高次数为 1，即最后一项为 a，所以左边是1+a.2.(选修 2-2 P88例4改编)若nN *，f(n)= 5n+23n-1+1，通过计算n= 1，2，3，4时f (n)的值，可以猜想f(n) 能被数值 整除.(填最大的正整数 )【答案】8【解析】f(1)= 8=81，f(2)=32=8 4，f(3) =144=818，f(4)=68
2、0=8 85，所以猜想f(n)能被8整除 .3.(选修 2-2 P91习题7改编)已知数列 na满足a 1=1，且4a n+1-anan+1+2an=9，则可以通过求a 1，a 2，a 3的值猜想出a n= .【答案】6-5n【解析】由a 1=1，a 2=73，a 3=15，a 4=97进行猜想，可得a n=6-521.4.(选修 2-2 P98复习题7改编 )从1=1 2，2+3+ 4=32，3+4+5+6+ 7=52中得出的一般性结论是 .【答案】n+(n+1)+( n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN *)【解析】第n个式子的左边首项为n，公差为1，共2n-1项，所以左边=n+(
3、n+1)+( n+2)+(3n-2)，式子右边是 (2n-1)2.5.(选修 2-2 P103复习题13改编)已知数列113579， ， ，12-)()n，计算S 1，S 2，S 3，由此推测出S n= .【答案】【解析】S 1= 3= 2，S 2= 5= 1，S 3= 7= 21，推测S n= 21.【课堂导学】利用数学归纳法证明等式例1 已知f(n) =1+ 2+ 3+1n(nN *).求证： f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2，nN *).【分析】与自然数有关的等式证明，可以采用数学归纳法，但要注意n 0的取值.【解答】当n=2时，左边 =f(1)=1.右边=21-=
4、1，左边=右边，等式成立.假设n=k(k2，k N *)时，结论成立，即f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1.那么，当n=k+ 1时，f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)1-k=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1，所以当n=k+1 时结论仍然成立.所以f(1)+f(2)+f(n-1) =nf(n)-1(n2，nN *)成立.【点评】用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n 0的值，如本题要取n0=2，在第(2) 步的证明中应在归纳假设的基础上推证n=k+1等式也成立，但必须用上述
5、归纳假设.变式 当nN *时，求证：1-12+ 3- 4+12-n-12= + 2+ 3+ n+ .【解答】当n=1时，左边 =1- 2= ，右边=1= 2，左边= 右边.所以当n=1时，等式成立.假设当n=k (kN *，k 1)时，等式成立，即1- 2+ 3-14+ 2-1= k+12+ 3k+12k.则当n=k+1时，左边=1- 2+ 3- 4+12-k- +1k- 2()= k+ + + + - ()=12k+ 3+12k+-12()k= ()+ ()+ + 1+ ()=右边，所以当n=k+1 时，等式也成立.由知1- 2+ 3-14+ 2-n-1= +12n+ 3+12-n+ ，即对
6、任意的nN *，等式都成立.利用数学归纳法证明不等式例2 (2016扬州期末)已知函数f( x)=2x-3x2，设数列a n满足a1= 4，a n+1=f(an).(1)求证： nN *，都有0n2=1，当n=2时，2 2+2=6n2=4，当n=3时，2 3+2=10n2=9，由n=4时，2 4+2=18n2=16，由此可以猜想，2 n+2n2(nN *)成立.下面用数学归纳法证明：当n=1时，左边=2 1+2=4，右边= 1，所以左边右边，所以原不等式成立 .当n=2时，左边=2 2+2=6，右边= 22=4，所以左边右边；当n=3时，左边=2 3+2=10，右边= 32=9，所以左边右边.
7、假设n=k(k3且k N *)时，不等式成立，即2 k+2k2.那么当n=k+1 时，2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又因为2k 2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0，即2k 2-2(k+1)2，故2 k+1+2(k+1)2成立.根据和，知原不等式对于任何nN *都成立.2.(2016淮阴信息卷 )已知f( n)=1+ 32+ + 34+ 31n，g(n)= 2-1，nN *.(1)当n=1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n) 与g(n) 的大小关系，并给出证明.【解答】(1)当 n=1时，f (1)=1，g(1) =1
8、，所以f(1)=g(1)；当n=2时，f(2) =98，g(2)=1，所以f(2)13；(2)求证：当n 3时，g( n) .6.(2016南通一调 )已知函数f 0(x)=x(sin x+cos x)，设f n(x)为f n-1(x)的导函数，nN *.(1)求f 1(x)，f 2(x)的解析式；(2)写出f n(x)的解析式，并用数学归纳法证明.7.(2016南京三模 )在平面直角坐标系xOy中，点P(x 0，y 0)在曲线y=x 2(x0)上.已知点A(0，-1)，P n( 0ny，)，nN *，记直线AP n的斜率为k n.(1)若k 1=2，求点P 1的坐标；(2)若k 1为偶数，求
9、证：k n为偶数.8.(2016苏锡常镇二模 )设实数a 1，a 2，a n满足a 1+a2+an=0，且|a1|+|a2|+|an|1(nN *且n2) ，令b n= (nN *).求证：|b 1+b2+bn|1-n(n N*).【检测与评估答案】第3讲 数学归纳法一、 解答题1. 当n=1时，左边=12= ，右边= = ，左边=右边.所以n=1时，等式成立.假设当n=k 时成立，即12+ 3+1()k=k，则n=k+1时，2+ 3+1()k+ (2)1k= 1k+ (2)1k= ()k=21()=2()k=1()k，所以当n=k+1 时，等式也成立.由知 2+ 3+14+ (1)n= .2
10、. 当n=1时，12= ()2k ，可以转化为证明1k1()2k，即证明 ()2 + .又 1k-21k=k2+3k+2- ()=k2+k+1-2 ()k=0，于是有 ()k 1k+ 成立.所以当n=k+1 时，原不等式也成立.由可知，当nN *时，原不等式都成立.3. 由f(n) =(2n+7)3n+9得 f(1)=36，f(2) =336，f(3) =1036，f(4) =3436，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：当n=1时，结论显然成立；假设当n=k 时，结论成立，即 f(k)能被36整除，设f(k)=(2k+7)3 k+9=t36.则当n=k+1时，f(k+1)=2(k+1)+
11、73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1)=336t+182s=36(3t+s)，所以当n=k+1 时结论成立.由可知，对一切正整数n，f(n)= (2n+7)3n+9能被36整除，m的最大值为36.4. (1) x2=f(x1)= 3，x 3=f(x2)=1=24，x 4=f(x3)=12= 5.(2) 根据(1)的计算结果，可以归纳猜想 xn= .(3) 当n=1时，x 1= =1，与已知相符，归纳出的公式成立.假设当n=k (k1，k N *)时成立，即x k=21；则当n=k+1时，有 xk+1=f(xk)= 2k= 1=42k=
12、 1，所以当n=k+1 时公式也成立.由知，对任意nN *，有x n= .5. (1) 由题意知 an=3n-2，g(n)=1+ n+ 2+ 21n，当n=2时，g(2)= 2a+ 3+ 4= + 7+10=694 3.(2) 用数学归纳法加以证明：当n=3时，g(3)= 31a+ 4+ 5+ 91a= 7+ 0+ + 6+ + 2+ 5=17+1036+1925 8+ + 3=1+36+ 218+ 6+ 1，所以当n=3时，结论成立 .假设当n=k (k3，k N *)时，结论成立，即g( k)13，则当n=k+1时，g(k+1)=g(k)+ 21a+ 2k+ 2(1)ka- 3+ 2221
13、(1)kkk +2()- 3=13+22(1)-()kk= + 2-73()()k，由k3可知，3k 2-7k-30，即 g(k+1)1.所以当n=k+1 时，结论也成立.综合可得，当n3时，g(n) 3.6. (1) 因为f n(x)为f n-1(x)的导函数，所以f 1(x)=f0(x)=(sin x+cos x)+x(cos x-sin x)=(x+1)cos x+(x-1)(-sin x)，同理，f 2(x)=-(x+2)sin x-(x-2)cos x.(2) 由(1)得f 3(x)=f2(x)=-(x+3)cos x+(x-3)sin x，把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)
14、分别改写为f1(x)=(x+1)sin+(x-1)cos2，f2(x)=(x+2)sin2x+(x-2)cosx，f3(x)=(x+3)sin3+(x-3)cos32，猜测f n(x)=(x+n)sinnx+(x-n)cosnx(*).下面用数学归纳法证明上述等式.当n=1时，由(1)知，等式(*)成立；假设当n=k 时，等式( *)成立，即fk(x)=(x+k)sin2kx+(x-k)cos2kx，则当n=k+1时，fk+1(x)=fk(x)=sin2k+(x+k)cos2kx+cos2kx+(x-k)-sin=(x+k+1)cos+x-(k+1)-sin=x+(k+1)sin12x+x-(
15、k+1)cos12kx，即当n=k+1时，等式 (*)成立.综上所述，当nN *时，f n(x)=(x+n)sin 2nx+(x-n)cos2nx.7. (1) 因为k 1=2，所以01yx=20=2，解得x 0=1，y 0=1，所以点 P1的坐标为(1，1).(2) 因为0nx=20nx+1+ 0nx+ ，kn=01yx=20n=n+ 01，所以k n+2=k1kn+1-kn.k2= 0x+2=20x-2= 1k-2.设命题p(n) ： kn，k n+1均为偶数 .以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”.因为k 1是偶数，所以 k2= 1-2也是偶数.当n=1时，p(n) 是真命题；假
16、设当n=m(mN *)时，p(n)是真命题，即k m，k m+1均为偶数，则k m+2=k1km+1-km也是偶数，即n=m+1时，p(n) 也是真命题.由可知，对nN *，p(n)均是真命题，从而k n是偶数.8. 当n=2时，a 1=-a2，所以2|a 1|=|a1|+|a2|1，即|a 1| ，所以|b 1+b2|=a=| 4= 2- ，即当n=2时，结论成立.假设当n=k (kN *且k2)时，结论成立，即当a 1+a2+ak=0，且|a 1|+|a2|+|ak|1时，有|b 1+b2+bk|1- 2.则当n=k+1时，有 a1+a2+ak+ak+1=0，且|a 1|+|a2|+|ak+1|1，因为2|a k+1|=|a1+a2+ak|+|ak+1|a1|+|a2|+|ak+1|1，所以|a k+1| 2.又因为a 1+a2+ak-1+(ak+ak+1)=0，且|a 1|+|a2|+|ak-1|+|ak+ak+1|a1|+|a2|+|ak+1|1，由假设可得2-kb - k，所以|b 1+b2+bk+bk+1|=-kkab=1112-1-kkab - k+1ka= 2- +-|ak+1|1- k+- 2= - ()k，即当n=k+1时，结论也成立.综上可知，结论成立.
