1、 学校代码：11517学 号：200911002104HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING_毕业论文题 目 一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 学生姓名 专业班级 信息与计算科学 0941班 学 号 200911002104 系 （部） 理学院 指导教师(职称) 完成时间 2013 年 5 月 20日 河南工程学院论文版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交论文的印刷本和电子版本；学校有权保存论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本论文全文或
2、者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。论文作者签名：年 月 日 河南工程学院毕业设计(论文)原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日河南工程学院毕业设计（论文）任务书题目 一类非线
3、性粘弹性方程解的整体存在性 专业 信息与计算科学 学号 200911002104 姓名 樊辰光 主要内容：Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J 已经研究过方程 t ttt udguu0 0)(， ,0xt （1.1）具有初边值 01(,)(,)(,txx(,)t， ,t.他们得出松弛函数以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。Tater N,Messaoudi S A 研究过如下方程 ubdutguu pttt 20)(, ,0xt （1.2）初边值条件同（1.1） ，用改进的位势井方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式衰减。吴舜
4、堂研究了方程 udutguu ptmtt 0)(， ,0xt （1.3）刘文俊研究了方程 t tmt ubxadugu0 0)()(， ,0xt （1.4）受上述文献的启发，本文拟研究如下方程 0()()0,.ttt tugudaxubuxt （1.5）具有初边值 (,)xt ,0t01(,)(,)(,tuxuxx以 Sobolev 空间基础知识为工具，利用衰减估计方法对非线性粘弹性方程解的存在性进行了研究。基本要求：扎实的英语和数学功底，非常熟悉数学分析的知识，熟练掌握word,maple 等数学工具。主要参考资料：1Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V
5、N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping M.2001 .2Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equationMNonlinear Analysis,2008(68)785-7933韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，M.20094Shuntang Wu.General
6、decay of solutions for a viscoelastic equation with nonlinear damping and source terms M.2011.5Xiaosen Han,Mingxin Wang,General decay of energy for a viscoelastic equat ion with nonlinear damping M.20096Wenjun Liu. Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinea
7、r localized damping M.2010.7同济大学数学系主编，高等数学M.高等教育出版社，1979.8张全德，非线性波动方程整体解的存在性与唯一性J.陕西师大学报(自然科学版),20(1992)8182.9Messaoudi A,Berrimi S. Existence and decay of solutions of a viscoalastic equ ation with a nonlinear sourceM.Nonlinear Analysis,2006,2314-233110Tater N,Messaoudi S A. Global existence and un
8、iform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem. M.11苗长兴 非线性波动方程的现代方法M.2005.12Lions J L,Strauss W A. Some nonlinear evolution equationsM. 1965(01).13Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differe ntial Equations M.1983.14谷超豪，李大潜，沈玮熙，应用偏微分方程M.高等教育出版社，19
9、93.15陆启韶，常微分方程的定性方法和分叉M.北京航天大学出版社，1989.16Tater N,Messaoudi S A.Global Existence and Asymptotic Behavior for a Nonlinear Viscoelastic ProblemM.17张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论M.科学出版社，1985.完 成 期 限： 指 导 教 师 签 名 ： 专业负责人签名： 年 月 日 目 录中文摘要 I英文摘要II1 序论11.1 引言11.2 粘弹性方程的发展概述 12 假设和主要结果42.1 假设 42.2 主要结果 43 预备知识53.1
10、 基本定义 53.2 一系列不等式 53.3 引理 64 主要结论的证明84.1 解的整体存在性 84.2 能量的一致衰减性13致谢 19参考文献 20一类非线性粘弹性方程解的整体存在性I一类非线性粘弹性方程解的整体存在性摘要在本文中，研究一类非线性粘弹性方程解的整体存在性和以指数形式的衰减性。0()()0,.ttt tugudaxubxt (,)x， ,.t 01()(,.txx文章共分为四小节：第一节，简述研究一类非线性粘弹性方程的意义和近年来国际研究的现状，且基于本文的假设条件上研究这个问题。第二节，说明 Sobolev 嵌入定理和多个与本文有关的不等式方程条件。第三节，运用 Faedo
11、-Galerkin 方法证明方程的整体存在性。第四节，我们采取下述的方法证明方程的衰减性。 ():()()ZtMEtAtB设 ：在此中， 为正常数，引入两个泛函：1()=+tAtudx， 0()=-)()-().+1tttut gutdx广义能量 )(E和泛函 tZ在特定意义下是等价的，为了得到 tE的指数衰减，只需证明 t满足指数衰减.关键词 非线性粘弹性方程，Faedo-Galerkin 方法，存在性，唯一性。一类非线性粘弹性方程解的整体存在性IIEXISTENCE OF A CLASS OF NONLINEAR WAVE EQUATIONSAbstactIn this paper, we
12、 study a class of nonlinear viscoelastic equations the global existence and decay.0()()0,.ttt tugudxubxt (,)x， ,.t 01()(,.txxThe article is divided into four sections：In the first section，we briefly study a class of nonlinear viscoelastic equations significance and the status of international resear
13、ch in recent years，It based on this assumption and study this issue。In the second section，explain embedding theorem of SobolevAnd a plurality of documents related to inequality equation conditions.In the third section，we use Faedo-Galerkin to prove the global existence of the equation。In the fourth
14、section，we show that the equation of attenuation。():()()ZtMEtAtBIn this, is a positive constant，and there is1()=.+ttudx 0()=-)()-().+1tttut gutdxKeywords Nonlinear viscoelastic equations，Faedo-Galerkin way，Existence，Unique 。11 绪论1.1 引言作为数学的一个分支，在 18 世纪最早的系统的三个基本的数学物理偏微分方程分别为：波动方程，热传导方程和调和方程，所运用的方法是经
15、典分析。进入了二十世纪以后，在现代科学技术和其他数学分支不断发展的支撑下，对偏微分方程的研究已经突破了经典分析的局限，而在更一般的条件下讨论问题成为可能且十分现实了。事实说明，物理学，生物学甚至金融学等众多不同的领域中运用的基本规律，都可以通过微分方程进行研究和证明。这不但能够了解现象的本质，特性特征，同时可以在此基础上作出新的预测。将它运用到不同的社会领域中，取得了巨大的科学成就和社会效益。伴随着科学技术水平的不断发展，各式各样的非线性问题引起人们日益深切的关注，源自于应用数学，物理学，等各种应用学科中的非线性偏微分方程初边值问题，是目前最受关注的非线性偏微分方程。固体力学有很多不同的研究分
16、类，粘弹性理论就是其中之一。有多种类型的工程材料，如高聚合材料混凝土、某种生物组织以及在高速运动下发生变形的金属材料，不仅有弹性特质，而且还拥有粘性特征，这种兼备两者不同特点的材料称为粘弹性体。运用弹性力学的办法来研究粘弹性体并不能确切的反映真实情况，这是因为在外力作用下，粘弹性体会随着时间的变化而产生弹性变形，而且变形还会不断的变化。弹性力学与粘弹性理论的主要区别在于应变应力不同关系。所以，粘弹性理论的重点研究对象就是粘弹性体的应变应力的关系。近些年来，在理论（包括断裂理论，本构理论）和应用上，非线性粘弹性的研究都取得了重大的进展。人们借助于非线性模型来充分研究年弹性固体的行为，随着研究广度
17、和研究深度的进步，不少学者推导出其运动方程是偏微分-积分方程，用经典的 Galerkin 方法可把它简化为非线性积分-微分方程。在粘弹性力学方程的理论和应用取得不断进展的情况下，粘弹性方程初边植问题成为近些年来在数学领域讨论的热门课题。这其中一个重点的研究方向就是含有记忆项的粘弹性方程。1.2 粘弹性方程的发展概述事实上，Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J 等人在文献1已经研究过带强阻尼的相关方程 0()0,.tttt tuugudxt （1.1）2与本文研究的方程具有相同的初边值 01(,)(,)(,.nuxuxx(,)0ut,
18、.xt他们运用 Galerkin 逼近方法结合能量估计建立了解的存在性、唯一性等结果，假设 是一个实数 .2301nn当 时 ， ,20当 时 ， ，为证明解的整体存在性时考虑 ，为得到能量的衰减速率时设定 0.在假定松弛函数 g以指数形式衰减时，得到了能量的一致衰减。Tater N,Messaoudi S A 在文献2研究过如下问题方程 20()ptttt tuuudbu,0xt （1.2）初边值条件与（1.1）相同。用改进的位势井和全新泛函方法得出了整体解的存在性且能量以指数形式的一致衰减性。将问题转化到带有非线性阻尼的情况下，韩小森和王明新在文献3研究过 0()0t mttt tuugu
19、du,0xt (1.3)在相同的初值条件下，设定 231nmn当 时 ， ， ,2,当 时 ， ，得到能量的一致衰减性.吴舜堂等人在文献4研究过方程 0()pt mttt tuugudu,0xt （1.4）是在初边值与上述相同的情况下，将韩小森和王明新的论证延伸到含有pu的情况。而当以上的问题去掉色散项后，同样引起了广泛关注，相关的方程获得研究，得出一批有关解的存在性、正则性、唯一性与稳定性等结果。例如韩小森和王明新在文献5还研究过如下方程 -20()0t mtt ttugudu,0xt (1.5)在相同的初值条件下，设定 213nnm当 时 ， ,时 ，,()ktkEtKe有 正 常 数 和
20、 使 得本文分别用 Galerkin 方法和扰动能量方法证明此问题解的整体存在性和能量的一致衰减性.刘文俊在文献6研究了方程3 t tmt ubxadugu0 0)()( ,0xt （1.6）其中在有界区域 1nR（ ） 中， 是具有光滑的边界 , m, g是一个指数衰减记忆项的正函数。存在正常数 ，在条件 ()()pgtt, 01p3/2 ,可得出能量的指数衰减。受上述文献的启发，本课题拟研究如下方程01()()0,(,), (1.7),ttt ttugudaxubxtxx 结合 Young 和 Gronwall 等多种不等式，使用 Faedo-Galerkin 方法，即在适当的 Sobol
21、ev 空间中选取适当基函数，在由任意有限个基函数所张成的有限维空间中求解逼近问题，用常微分方程组的局部存在性定理得到逼近问题解的局部存在性。然后得到近似问题解的紧性估计，即可保证近似问题解的整体存在性。再选取近似问题解的一个子序列，使其收敛于原问题的解，即验证近似问题解子序列的极限满足方程和初值条件。本课题与（1.6）题目的区别是将 tu改为 ttu。其中 ttu的计算方法参考方程（1.1）-（1.5）.结合（1.6）的衰减估计得出（1.7）的衰减估计，预期结果是能量以指数形式衰减.42 假设和主要结果2.1 假设当 3n且假设 ， 满足 20n， ，如果 =12， 时， 0， . 对于核函数
22、 g，假设它满足：1X:0,),是正函数且满足 0.gkdL2存在正常数 使得： ,.gtt 2.2 主要结果在以上假设的前提下，即设 100,uH（ ） ，假设（X1） ， （X2）成立，则问题必有唯一的弱解 :,uR，满足120120()()uLHL， ；， ；， ；(2.1)并且来说，假设 ()u是有界且为正的，那么对于任意的 0t，存在 k和K且二者都为正常数，使得能量泛函数满足衰减估计 -0()ektEtt，(2.2)53 预备知识3.1 基本定义 1mmLudx, (3.1)0, (3.2)当 时， inf0;0mLuxl， mLl为 l在 上的本质上界，记为 splel，定义：;
23、 mm LLx在 上 可 测 且. (3.3)3.2 重要的不等式Minkowski 不等式： 如果 ,1pfgL则 pppLLfgfg；H .Older 不等式：设 1,.且若 ,f则 ,f且有fgfgLppfgdxfg；Young 不等式 1：设 ,pqr且满足 1qr若 pnfLR qngLR，则有 fg在 nR上几乎处处存在，且 fgfqA；Young 不等式 2： 10,.,.abpq，则有pab；带 的 Young 不等式： 1,.0,.pq且，则6qqppabbab特别地，当 2pq时，上式变为24（带 的 Cauchy 不等式）Gronwall 不等式（积分形式）（1）设 t是
24、0,T上的非负可积函数， 0,tT, tCdst021)()(对某个 2,0C成立，则 12Ctte；（2）如果 10ttsd， ,t，则 t. Gronwall 不等式（微分形式）()是非负的，且为绝对连续函数，在 0,T的区间上，且对任意情况下的t满足不等式 ()()tptq，在此 和 q是非负的，且为可积函数，在 ,的区间上，则t0t()0+()psdesdtT，特殊情况下，在 ,T的区间上符合条件()=,pt， ，则恒有 ()0t. 3.3 引理引理 1（Sobolev 嵌入定理）设 为 nR中的有界区域，其边界 是光滑的，如果 ,kpuWn，那么（i） , ,kpqnpWLk并有 ,
25、0qkpLWuc，其中 0c为常数（ii） 102,qnH，7并有 10qsLUHuc，其中 sc为常数引理 2（Aubin 引理）设 01,B是三个 Banach 空间，其中 01,B是自反的，且有连续的嵌入关系 ， 0到 B的嵌入映射是紧的01,p记0 101 01;,|,;,;PPWTpBvLTvLT， 01222,;0,;,PPLTBLTBv W则 紧嵌入 0p.引理 3 设 ,XY是 Hilbert 空间或 Banach 空间， XY且是 且的对偶空间， Y.如果 0,;nuLT 在内，,Y 在内，则在 0,;LTY中 =引理（reen 公式）n nRRvdxuvudx84 主要结论
26、的证明4.1 解的整体存在性令 10H为 k=1G的一个完备正交基，且 kG是一个特征函数，其具备负Laplace 含有带齐次 Dirichlet 边界条件，即：-,kx, 0x.k,经过规范化后，存在 2=1k，假设 m 是任意正整数， 1()()mkutOtG,并且记 mu表示 对 t 求一阶导, u表示 对 t 求二阶导.再由（1.1）两边同时乘以 kG，知 mt满足：0(,),+()(,)(),)tmkmk kmkgdaxuG 0buG.且存在有： ,uu，则以上化简成： 0(,)+,()(,)(),)tmkmkmkmkugGdaxuG bG,01,mmu,其中 1,k ， 00111
27、,mmk kk kGuG.当 时，在 10H中， 01,mu. 因为假设中 ()mkaxdx是一个有意义的非线性项.根据标准的常微分方程理论，我们可知存在唯一的解在区间 0,mt上，其中mt大于零 .则求解方程，并由第一估计得，对 0T，这个近似解可以延拓到0,T上.现在验证估计一.9方程两边分别乘以 ()kmOt，并且关于 k求和，得到：01 1 1(,G)+,()(),m mtk kmkk k kutuGguG 1 1()(,)(,)(kmmkmkmk kOtdaxtbuOt .可化为： 011(,G()+,()()(,tmkmkmmuOtuGgu 1 1 1()(),(),()0k mk
28、 tkk ktdaxtbGOt .继而得： +222( )mmmuudt +20()(,()=0tgdax.通过计算得： 0()(,)tmu0- ()t tmmgudxgudx 2 2011()()2t tdt t 0()()t tm mxuxd 2 20 0()()t tdgudguxd 2201111()+()2tmmmmttkgtut.记作符号： 20)()tguutdx,则联系上面的计算可得： +2 2201111(-) ()(tmmmmdkdgutt 10+2 211a(x)=()()mmmugutgtu.在（0，t)区间上积分，并且运用假设条件，该式可化为： +2 22011(1-
29、) ()tmmmmugkdugut +210a(x)Pt,由于 00tgkdkt gd0011tkk,又由 L,000tgkdgkd.因此， 1P是与 10Hu及 10有关的正常数，并由上述式子可得第一估计：+2222()Pmmmugut,在此， 2P是与 10Hu， 10及 L 有关的正常数.从而有下列结果：120()mt在 ， ； 中 一 致 有 界在 ， ； 中 一 致 有 界现在验证估计二.方程两边分别乘以 ()kmOt，并且关于 k 求和，得到：01 1 1(,G)+,()-)(),()m mtk kmkmk k kutuGguGOtd 1 1(),)(,)(mkmkk kaxtbO
30、t .可化为：110,()(,)(,)tmmmmuuguaxu (,)b.通过计算可得： 2,mmuudx,221,4m ,0 02202 20, ,141,04t tmmtmttmtmgudgudxudxugkdLu 20 1(),)(,)(,)m mmdaxuauut,22,mbbudx .计算得： 2+201(,),(,)mtmmudxgudbu 22+2202131() .44mmtmudxLud 在（0，t)区间上积分，并且运用假设条件，该式可化为： 22+230 013t tmmmudxkP ,因此， 3P是及 10H有关联的正常数，并由上述式子可得第一估计：22+2400t tm
31、mudxkudP ,12在此， 4P是与 10Hu， 10及 ()g有关联的正常数.2muLtL在 ， ； 中 一 致 有 界.综上所述，根据以上方程解得， mu存在子列 m，使得：1202120,;().(1).2,;().(3)mtuLHtL 在 中在 中在 中下面处理非线性项.10,;muLt 在 中 意味着 210,;muLtH 在 而（3) 220()H 在 中 210,;(),pmt 在进一步而有：2luL 且利用 Aubin 引理得：相当于 120101=B=LPH且22,;muLt 在， 这意味着 0,muaet ),()();,(02 TQtt .),( 上 几 乎 处 处
32、收 敛在意 味 着 T.),0( 上 几 乎 处 处 收 敛在因 此 xauxam下面验证初值，已知 1luinH 在 10H中， 0， 0,Lt中， ,ltu 且在 0,Lt中 2 2,lllddutt ，其中 ,表示 10与 10的对偶积注意到 2utL，上式可写为,.ldut 因此可知 ,0,lu又 10,lu，故13对任意 l有 10,duut 因此在 2L中， 1,0x144.2 能量的一致衰减性在本文中，我们将证明此方程的解以指数形式衰减的定理.设 u是方程的解，由此可定义广义能量方程 ()Et满足 -0()ekttKt， ，其中 ()Et为： +2 2 20111=(1)()tt
33、tugkdugtu ,其中 20()-(-)t ttg xd.并由此可知， +2 211()-()-()+()tEtaxudgutgtu （ t .引入两个泛函数， 1()=+tAtudx,0()-)()-()1tttBt gutdx,并且设： ():()()ZtMEtAtB.其中 和 是未知的正整数.本文先证明下述引理，由此说明泛函数 ()Zt和广义能量 ()Et在下述问题的意义中是等价的.引理：设 u是上述方程得到的解，则存在两个正的常数项 ,ab，使得其满足下述不等式： tZEabt .证 由 ()A的定义1=+ttudx运用 Young 不等式，得到：15+2+22 2111+2t t
34、 tpudxuuNu由 ()Bt的定义， 0=-)()-()+1tttut gutdx运用 Young 不等式，易得： 0-()()()1tttugutdx2+2200()()()tttt gutdx +22 211()tt pkuNt运用上述的公式，将 M选取适当大的数，将 选取适当小的数，则一定会存在符合方程两边要求的 a和 b.我们为了证明 Et的衰减性，只需要将 Zt证明出其满足指数衰减。因此，我们先计算 Z的导数.+20()=-()ttAuugdx()tdxadx.上式右端的第三项可计算得： 0()tug2 201+()()tutudx（ ）.我们可以根据 Young 不等式，得到：
35、 20()()tgutdt x20()()ttd02()()t tgugudx162001()()()()ttgutdx22tudx(1)L0()(tgt.继续根据 Young 不等式，可得式子最后一项： 22()()()t taxudhaxudChaxud222+tCh.综上所述， +2(t)-tAuudx21()L 20()(+C)(2t tgthaxud 22+hCu.将 /(1),/4LhC，可得： 2+22)-t LAudx20()(+()tgdtha.下面我们来根据 B的定义，直接估计可得：0()=()()tBtutudx（ ）0 0()t tgtgd()()()taxx0tuut
36、d 20 01 1-()()()+t tt tgtxgdux 20)tt tudxdu.当 时，首先估计式子右端第一项：170()()tugtudx201()4tdxgut.估计第二项： 0 0()()()()t tgutddx2 20 01()4t txgutdx20()()tgutd20121()(4tLxgut()tuddg .估计第三项： 0()()()taxgtx2 ()4tCudgut.估计第四项： 0()()tgtdx21()4udxgut,其中， 2(1)2(+1) 20)ECL,综上所述， 0()()tugutdx2(0+4EduL.估计第五项：通过 Sovolev 嵌入定理
37、,且 ()0,tt，可以得出：2(1) 2(0t tudxCEudx.继而得：1801()-()+ttugutdx20(2)()(41)tCgCEut.估计第六项： 0()()tugutdx2 2()-4tt odxCgutdx()t t.综上所述， 22(0)()1()+(20)1ECBtLEu 0+()(2tCgdut4()()1)gt20(1ttaudx0-).+t ngdU且 0(,t时 存 在 使得：0 00)().ttgdgt整理以上，我们可得： ():()()ZtMEtAtB2-tChaxud204(1)tLgudx 22(0)(+(0)41LECEu 1901+2()(tCgd
38、utL+2(0)()4tgMut.在此，我们让 0/2g,，则存在足够小的 ，使得：02min, (0)2(1)(1)+(20)1LECa E .同理： 0()g.2(0)1(+(20)41LECLE .而对于任意存在的 和 ，我们可以找出足够大的 M，使其满足M-()0Ch. 012()42tgCgdL.因此，在假设 ()gx（ )的条件下，对于些 ，可得： +222() ()ttttZtuu .由上述可知，存在正常数 a，可得 (ZtaEt， 0t ，利用定理可推知 ()()Zttb， 0 .最后将上述不等式积分，得到： 0()()atbZte， 0t.因此也就证明了衰减性。20致 谢首先
39、我把这篇论文献给我亲爱的的父母亲，感谢他们给了我生命，给了我一个完整的家庭，给了我深造的机会，他们教会我踏实做人本分做事一步一个脚印，也感谢他们给予我无保留的的爱和奉献的精神，事实证明，这足以受用终生。我要感谢我大学四年来的所有的老师，他们的兢兢业业的教诲共同铸就了这篇论文，没有他们孜孜矻矻的教化，难以想象这一切是如何开始又如何结尾的，尤其感谢我们的李文清老师，在我写论文之伊始，李老师就倾注了大量心血，指点我如何选材，如何查询必要的资料，如何深入浅出地分析案例，李老师严谨的治学态度、诲人不倦的精神、渊博的知识对我产生了无法估量的影响，在这里我要祝福李老师，身体健康，万事通达。本文是对我大学四年
40、的学习成果的总结，大家的阅读是我至上的荣耀，如果大家能提出一些意见和建议，我更是求之不得，感激不尽。时光飞逝，在这四年里我经历了许许多多难以忘怀的时刻，在这生命最美丽的四年里和将近四年的学习生活中，我要感谢我的一些同学和朋友们，你们的支持是我前进的动力，你们的帮助更是对我的激励，感谢在最美丽的年华遇到所有的你们。 最后，感谢自己，曾经的努力，造就一个更加自信，更加完美的自己，告诉自己，路一直都在，不抛弃，不放弃。21参考文献1Cavalcanti M M,Domingos Cavalcanti V N ,Ferrira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoalastic equation with strong damping M.2001 .2Tater N,Messaoudi S A. Exponential and polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equationMNonlinear Analysis,2008(68)785-7933韩小森，王明新，带非线性阻尼的粘弹方程解的整体存在性和一致衰减性，M.20094Shuntang Wu.General decay of solu
