1、课 题： 第 11 课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求： 重点难点： 教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小） ，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例 1、若 是自然数，求证n .21321n证明： .,4,)(12 kknn)1(3213222 = )(= .1n注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更232强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放
2、缩法的基本思想。n312例 2、求证： .3213211 n证明：由 （ 是大于 2 的自然数）,3kk得 1.32112123 nnn例 3、若 a, b, c, dR+，求证： 21 cadbcabda证：记 m = cadbcabda三、小结：四、练习：1、设 为大于 1 的自然数，求证n .213121nnn2、设 为自然数，求证n .!1)2()52(3)12( nnn五、作业：A 组1、对于任何实数 ，求证：x（1） ；（2）4312x.4112x2、设 ，求证：ba（1） ；（2）)(2ba ).(6242baba3、证明不等式 .344、若 都是正数，求证：cba, .)()(
3、 2233 ccc5、若 求证 ,0.2babba6、如果 同号，且均不为 0. 求证： ，并指出等号成立的条件.,7、设 是互不相等的正数，求证：cba .3cbca8、已知三个正数 的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于 9.,9、若 ，则 .202cosin10、设 ，且 求证：Ryx, ,1yx.9)1(yx11、已知 ，求证：（1） ；（2） .02232x12、设 是互不相等的正数，求证：ba, .81baba13、已知 都是正数，求证：,（1） （2）;9)1)(2aba .9)( 2222 ba14、已知 求证：,1,22 zyxc .1czbyax15、已知 求证：,.
4、16、已知 都是正数，且有dcba, 22,dcyx求证： )(bcadxy17、已知 都是正数，且 ，n,321 1321na求证： n)()()(3218、设 的三条边为 求证 .ABC,cba )(22cabcbacb19、已知 都是正数，设 求证：yxba, .,1yxvyuxyuv20、设 是自然数，利用放缩法证明不等式n .312nn21、若 是大于 1 的自然数，试证 3122B 组22、已知 都是正数，且 求证：zyxcba, ,czbyax .czbayx23、设 ，试用反证法证明 不能介于 与 之间。0sin24、若 是自然数，求证n .4713212链接：放缩法与贝努利不
5、等式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式 里 都是正数，可以舍掉 ，从而得到一个明显成立的不edcba和 ed和等式 .cba例如，对于任何 和任何正整数 ，由牛顿二项式定理可得0xn.321)(21)()1( 2nn xx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .1)(在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当 是正整数的时候成立，而且当 是任何大于 1 的有理数的时候也成立。这就是著名nn的贝努利不等式。在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设 ，则在 或1x时， ，在 时，0x1)(0.)(x阅读材料：贝努利家族小史在数学发展史上，17-18 世纪出现了一个著名的数学世家贝努利（Bernoulli）家族（瑞士） ，这个家族中的三代人中共出现了 8 位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8） 、约翰贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔贝努利（Danial Bernoulli ，1700.2-1782.3，约翰贝努利的儿子）最为著名。
