1、 第 1 页 共 6 页 11.3 三个正数的算术几何平均不等式1会用三项的平均值不等式证明一些简单问题2能够利用三项的平均值不等式 求 一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题1三个正数的算术几何平均 不等式(1)如果 a1， a2， a3R ，则 叫做这 3 个正数的算术平均数， 叫做a1 a2 a33 3a1a2a3这三个正数的_答案: 几何平均数(2)三个正数基本不等式： .当且仅当 a1 a2 a3时，等号成立a1 a2 a33 3a1a2a3语言表述：三个正数的_平均数不小于它们的_平均数答案: 算术 几何思考 1 若已知 a13， a29， a327，则_， _a1 a2
2、a33 3a1a2a3则有： _ .a1 a2 a33 3a1a2a3答案: 13 9 2 n 个正数的算术几何平均不等式(1)如果 a1， a2， anR ， n1 且 nN *，则 叫做这 n 个正数的算a1 a2 ann术平均数， 叫做这 n 个正数的_na1a2an答案: 几何平均数(2)基本不等式： (nN *， aiR ，1 i n)当且仅当a1 a2 ann na1a2ana1 a2 an时等号成立语言表述： n 个正数的_平均数不小于它们的_平均数答案: 算术 几何思考 2 若 x0，则 _4.x3 x3 x3 27x3答案: 第 2 页 共 6 页 一 层 练 习1函数 y
3、x2(15 x) 的最大值是( )(0 x15)A4 B. C. D.215 4675 52答案: C2若 x0，则 4x 的最小值是( )9x2A9 B3 C13 D不存在336答案: B3已知 a.b.cR ，则 _(ab bc ca)(ba cb ac)答案: 94设 a， bR ，且 a b3，则 ab2的最大值是_答案: 4二 层 练 习5若实数 x， y 满足 xy0，且 x2y2 ，则 xy x2的最小值是( )A1 B2 C3 D4答案: C6设 a b0，则 a2 的最小值是( )1ab 1a（ a b）A1 B2 C3 D4解析：把 a2 变形为 ab a(a b) ，即可
4、利用三个正1ab 1a（ a b） 1ab 1a（ a b）数的算术几何平均不等式求其最小值 a b0， a2 a2 ab ab ab a(a b)1ab 1a（ a b） 1ab 1a（ a b） 1ab 224，当且仅当1a（ a b）即 a ， b 时，取“”号故选 D.ab 1，a（ a b） 1， ) 2 22第 3 页 共 6 页 7若数列 an的通项公式是 an ，则该数列中的最大项是( )nn3 128A第 4 项 B第 6 项C第 7 项 D第 8 项解析： an nn3 128 1n2 128n 1n2 64n 64n n2 3 48，当且仅当 n2 ，即 n4 时，等号成
5、立，64n 64n 3n264n64n 64n an ，该数列的最大项是第 4 项故选 A.148答案：A8求函数 y3 x (x0)的最值是_4x2解析： x0， y3 x 3 3 .当且仅当 ，即 x4x2 3x2 3x2 4x2 33x23x24x2 39 3x2 3x2 4x2时取符号2393当 x 时，函数 y 的最小值为 3 .2393 399已知正数 a， b 满足 ab21，则 a b 的最小值是_解析：因为 a， b 是正数， ab21，所以 a b a 3 .b2 b2 3ab24 3232故 a b 的最小值是 ，3232当且仅当 即 时取到最小值ab2 1，a b2，
6、) a1232，b 32 )10已知 a， b， c 为正数，求证：(a b c)(a2 b2 c2)9 abc.证明： a， b， c 为正数， a b c3 ， a2 b2 c233abc 3a2b2c2( a b c)(a2 b2 c2)3 3 9 .3abc 3a2b2c2 3abca2b2c2( a b c)(a2 b2 c2)9 abc，当且仅当 a b c 时等号成立三 层 练 习11 为锐角，则 ysin cos2 的最大值是第 4 页 共 6 页 _分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2 cos 2 1 的应用解析： y2sin 2 cos2
7、 cos2 2sin2 (1sin 2 )(1sin 2 )12 ( )3 .1223 427当且仅当 2sin2 1sin 2 ，即 sin 时取等号33 ymax .23912已知 xR ，有不等式 x 2， x 3，受此启发，可以推1x 4x2 x2 x2 4x2广为 x n1，则 a_axn解析： x ,sdo4(n 个 ) ( n1)axn xn xn xn axn n1， a nn.n 1xnnnaxn答案： nn13已知 a， b， c 均为正数，证明： a2 b2 c2 6 ，并确定 a， b， c(1a 1b 1c)2 3为何值时，等号成立证明：因为 a， b， c 均为正数
8、，由均值不等式得a2 b2 c23( abc) ，23 3( abc) ，1a 1b 1c 13所以 9( abc) .(1a 1b 1c)2 23故 a2 b2 c2 3( abc) 9( abc) .(1a 1b 1c)2 23 23又 3(abc) 9( abc) 2 6 ，2323 27 3所以原不等式成立当 且仅当 a b c 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc) 9( abc) 时，式等号成立2323第 5 页 共 6 页 故当且仅当 a b c3 时，原不等式等号成立1414请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如
9、下图所示)试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式， 然后利用算术几何平均不等式求最值，也可求导求最值解析：设 OO1为 x m，则 1 x4.由题设可得正六棱锥底面边长为 32 （ x 1） 2，于是底面正六边形的面积为 6 ( )2 (82 x x2)，帐篷8 2x x234 8 2x x2 332的体 积为V(x) (82 x x2) (4 x)(x2)( x2) (82 x)332 13（ x 1） 1 32 34(x2)( x2) 64 16 .34（ 8 2x） （ x 2） （ x 2）3 3 34 3当且仅
10、当 82 x x2，即 x2 时取等号故当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为 2 m 时帐篷的体积最大，其值为 16 m2.31三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件(1)“一正”：不论是三个数的或者 n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不 成立的，如 a b c3 ，取 a b2， c2 时 a b c2，而 33abc6 ，显然26 不成立3abc(2)“二定”：包含两类求最值问题：一是已知 n 个正数的和为定值(即a1 a2 an为定值)，求其积 a1a2an的最大值；二是已知积 a1a2an为定值，求其和 a1 a2 an的最小值第 6 页 共 6 页 (3)“三相等”：取“”的条件是 a1 a2 an，不能只是一部分相等2重要不等式 a2 b22 ab 与 a3 b3 c33 abc 的运用条件不一样，前者 a， bR，后者 a， b， cR ，要注意区别3注意算术几何平均不等式中的变形与拼凑方法
