1、一、选择题1设 a， b， cR ，且 a b c1，则 的最大值是( )a b cA1 B 3C3 D9【解析】 由柯西不等式得( )2( )2( )2(121 21 2)( )2，(a b c a b c )231 3.a b c当且仅当 a b c 时等号成立13 的最大值为 .故选 B.a b c 3【答案】 B2已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n为( )A1 B2C1 D不确定【解析】 ( a1x1 a2x2 anxn)2( a a a )(x x x )21 2 2n 21 2 2n111.当且仅当 ai
2、xi (i1,2， n)时等号成立nn a1x1 a2x2 anxn的最大值是 1.故选 A.【答案】 A3若实数 a， b， c均大于 0，且 a b c3，则 的最小值为a2 b2 c2( )A3 B1C. D33 3【解析】 a b c1 a1 b1 c，且 a， b， c大于 0.由柯西不等式，(1a1 b1 c)2(1 21 21 2)(a2 b2 c2) a2 b2 c23，当且仅当 a b c1 时等号成立 的最小值为 .a2 b2 c2 3【答案】 D4已知 x， y， z均大于 0，且 x y z1.则 的最小值为( )1x 4y 9zA24 B30C36 D48【解析】 (
3、 x y z)( )1x 4y 9z( )236 x1x y 2y z 3z 36.1x 4y 9z【答案】 C二、填空题5(2013湖南高考)已知 a， b， cR， a2 b3 c6，则 a24 b29 c2的最小值为_【解析】 a2 b3 c6，1 a12 b13 c6.( a24 b29 c2)(121 21 2)( a2 b3 c)2，即 a24 b29 c212.当且仅当 ，即 a2， b1， c 时取等号1a 12b 13c 23【答案】 126设 a， b， c， x， y， z都是正数，且a2 b2 c225， x2 y2 z236， ax by cz30，则 _.a b c
4、x y z【解析】 由柯西不等式知：2536( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)230 22536，当且仅当 k时取“” ax by cz由 k2(x2 y2 z2)22536，解得 k .56所以 k .a b cx y z 56【答案】 56三、解答题7已知实数 x， y， z满足 x2 y z1，求 t x24 y2 z2的最小值【解】 由柯西不等式得(x24 y2 z2)(111)( x2 y z)2， x2 y z1，3( x24 y2 z2)1，即 x24 y2 z2 .13当且仅当 x2 y z ，即 x ， y ， z 时等13 13 16 13号成
5、立故 x24 y2 z2的最小值为 .138已知 f(x) ax2 bx c的所有系数均为正数，且 a b c1，求证：对于任何正数 x1， x2，当 x1x21 时，必有 f(x1)f(x2)1.【证明】 由于 f(x) ax2 bx c.且 a， b， c大于 0. f(x1)f(x2)( ax bx1 c)(ax bx2 c)21 2( x1 x2 c)2a a bx1 bx2( ax1x2 b c)2x1x2 f( )2 f(1)2.x1x2又 f(1) a b c，且 a b c1， f(x1)f(x2)1.9求实数 x， y的值使得( y1) 2( x y2) 2(2 x y6)
6、2取到最小值【解】 由柯西不等式，得(122 21 2)(y1) 2(2 x y)2(2 x y6) 21( y1)2(2 x y)1(2 x y6) 29，即( y1) 2( x y2) 2(2 x y6) 2 ，32当且仅当 ，y 11 2 x y2 2x y 61即 x ， y 时，上式取等号52 12当 x ， y 时( y1) 2( x y2) 2(2 x y6) 2取到最小值52 12教师备选10 ABC的三边长 a， b， c，其外接圆半径为 R.求证：( a2 b2 c2)( )36 R2.1sin2A 1sin2B 1sin2C【证明】 由三角形中的正弦定理得：sin A ，所以 ，a2R 1sin2A 4R2a2同理 ， ，1sin2B 4R2b2 1sin2C 4R2c2于是由柯西不等式可得 左边( a2 b2 c2)( )4R2a2 4R2b2 4R2c2( a b c )236 R2，2Ra 2Rb 2Rc原不等式得证
