1、2.线性变换的基本性质与矩阵的乘法 学案 （新人教 A 版选修 4-2）一、数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设 ， 是任意一个实数，则xyxy2.平面向量的加法：设 ， ，则12xy12性质 1：设 A 是一个二阶矩阵， 是平面上的任意两个向量， 是任意一个实数，则,数乘结合律： ；分配律：()()AA【探究 1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。二、直线在线性变换下的图形研究 分别在以下变换下的像所形成的图形。ykxb伸缩变换： 102旋转变换：312切变变换： 0特别地：直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？性质 2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变
2、成 .（证明见课本 P19）三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。 恒等变换： 10旋转变换： cosini切变变换： 10k反射变换： 10投影变换： 10【练习：P 27】【应用】试研究函数 在旋转变换 作用下得到的新曲线的方程。1yx2四、复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量 先在旋转变换 ： 作用，再经过切变变换 ：xy30oR12作用的向量120xy2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵 A ， B ，则 A 与 B 的乘积1abcd2abcdAB 1c2【应用】1.计算 21-102.A ，B ，求 ABcosinicosin-i3
3、.求 在经过切变变换 ：A= ，及切变变换 ：B= 两次变换后的13102120像 。4.设压缩变换 ：A ，旋转变换 ：B ，将两个变换进行复合10290oR1，求向量 在复合变换下的像；求 在复合变换下的像；在复合90oR3 xy变换下单位正方形变成什么图形？5.试研究椭圆 伸缩变换： 旋转变换： ；切变变换：2134xy0.51132；反射变换： ；投影变换： 五种变换作用下的新曲线方程。120010进一步研究在，等变换下的新曲线方程。【练习：P 35】【第二讲.作业】A.B.C.D.1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（ ）A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变
4、换2. 在切变变换 ： 作用下，直线 y=2x-1 变为 1023. 在 A 作用下，直线变为 y=-2x-3,则直线为 0.514.在 对应的线性边变换作用下，椭圆 变为 0214xy5.已知平面内矩形区域为 （0x 11,0x 22）,若一个线性变换将该矩形变为12ij正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为 6.将椭圆 绕原点顺时针旋转 45 后得到新的椭圆方程为 234xy7.在 对应的线性边变换作用下，圆(x+1) 2+(y+1)2=1 变为 108.计算： 3240 210 19.向量 经过 和 两次变换后得到的向量为 21010.向量 先逆时针旋转 45o，再顺时针旋转 15o 得到
5、的向量为 3111.函数 的图像经过 的伸缩变换，和 的反射变换后的函数是 sin()yx2011012. 椭圆 先后经过反射变换 和伸缩变换 后得到的曲线方程为 214300.513.已知 ，且 ，求矩阵。2114.分别求出在 、 、 对应的线性边变换作用下，椭圆102.510变换后的方程，并作出图形。24xy15.函数 先后经过怎样的变换可以得到 ？写出相应的矩阵。1yx214xy答案：1. 2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 6. 01227240xyx7.y=x（2x0） 8. 、 、 9. 10. 11.132801013513sin()3y12. 13. 14.y=-2x( 2x2)、y=0(2x2)、 21x10 21xy15. 0221
